解数学竞赛题的两个局部策略下.pdf

数学活动课程讲座 解数学竞赛题的两个局部策略 下 王 连 笑 天津市实验中学 300074 收稿日期 2005 09 13 本讲适合初中 2 分步推进策略 为了解决一个比较复杂的题目 常常不 能一步到位 只能把一个问题分成若干个局 部问题 这些局部问题往往是层层递进的 当 解题者一步一步地把这些局部问题解决了 整个问题也就解决了 用分步推进策略解题 的关键是弄清题意 设计好层层递进的解题 步骤 例4 n n 4 个盘子里放的糖块总数 不少于4块 从任选的两个盘子中各取1块 糖 放入另一个盘子中去 称为一次操作 问 能否经过有限次操作 把所有的糖块都集中 到一个盘子里去 证明你的结论 讲解 本题的解题目标是设法经过有限 次操作 把所有的糖块都集中到一个盘子里 可以这样设计解题步骤 1 先尽量减少放有糖块的盘子 只要能 减少 就想办法将糖块集中到两个盘子中去 2 使这两个盘子中糖块较少的一个盘 子的糖块尽量减少 3 把两个盘子的糖块都集中到一个盘 子中去 下面完成本题的证明 1 证明经过有限次操作可将糖块集中 到两个盘子里去 设n个盘子里的糖块数依次为 0 a1 a2 an 即把盛糖块的盘子按糖块数由少到多排列 一个自然的想法是 先将糖块数最少的 盘子拿空 按规则 先从第1 2两个盘子中各取1 块糖 放入第n个盘子中去 这样 经过a1次操作 第1个盘子拿空 如此下去 使第2 第3 直至第 n 2个盘子拿空 这时 只剩下第n 1 n这两个盘子盛 有糖块 2 设法使这两个盘子中盛糖块较少的 盘子的糖块尽量少 使得糖块较少的盘子中 至多还有1至2块糖 为此 先借一个空盘子 设有较多糖块的 盘子为A盘 有a块糖 有较少糖块的盘子 为B盘 有b块糖 且a b 3 进行如下操作 a b 0 a 1 b 1 2 a 1 b 2 1 a 3 b 3 0 这样 只要B盘的糖块b 3 按上述操 作 就可以3块3块地减少 直到B盘中剩 下的糖块数为0 1 2 若B盘有0块糖 则问题得证 若B盘有1或2块糖 再进行第三步 3 设法把所有糖块都放到一个盘子中 为此 借来两个空盘子帮助操作 若B盘的糖块数是2 则进行如下操作 a 2 0 0 a 1 1 2 0 a 2 0 2 2 a 0 1 1 a 2 0 0 0 2中 等 数 学 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 若B盘的糖块数是1 则进行如下操作 a 1 0 0 a 1 0 2 0 a 2 2 1 0 a 3 2 0 2 a 1 1 0 1 a 1 0 0 0 由此可以证明 按题设要求的操作方法 经过有限次操作 可以把所有糖块都集中到 一个盘子里 例5 有m块同样大小的巧克力 每块 至多分为两小块 不一定相等 若能够平均 分给n名儿童 求m n应满足的充要条件 讲解 我们先采用特殊化策略 通过具体 情况研究解题的思路 显然 巧克力块数多 儿童人数少 是不 难做到的 例如 有9块巧克力分给3名儿童 平均 每名儿童3块 这时 每块巧克力不用分割 就可以满足要求 再如 有9块巧克力分给4名儿童 这 时 每名儿童应分到2 1 4 块 如何分呢 为便于叙述 把9块巧克力 编上号 1 2 9 把4名儿童命名为A B C D 可以这样分 儿童A得到第1块 第2块和第3块的 1 4 儿童B得到第3块的 3 4 第4块和第5块 的 1 2 儿童C得到第5块的 1 2 第6块和第7 块的 3 4 儿童D得到第7块的 1 4 第8块和 第9块 从以上分法可以看出 只需把第3块 第 5块和第7块分成两小块 而其他不动就能 满足要求 对上面的分配方法 可以用图7表示 即 把这9块巧克力一块连一块地排成一横排 图7 对于图7 可以抽象为在数轴上的闭区 间 0 9 中 画出三个分点 使这三个分点将 区间 0 9 四等分 这时 每一个区间 i i 1 i 0 1 8 中至多有一个分点 从9块巧克力分给4名儿童这个具体例 子中 我们得到什么启发呢 显然 n m时 可以用这种分法 n m 是本题的一个充分条件 这样 就从具体情况过渡到简单情况 即 n m 这是解本题的第一步 当n m时 把m块巧克力排成一横 排 看作一大块巧克力 从而 得到区间 0 m 而每一块巧克力是一个小区间 0 1 1 2 m 1 m 用n 1个分点 不包括0 m 将区间 0 m 分成n等份 每一等份为 m n 1 此时 每个区间 0 1 1 2 m 1 m 中至多 有一个分点 即每块巧克力至多被分为两小 块 满足题目要求 第二步 研究n m时 为满足题目要求 应具备的条件 在这一步中 最简单的情形是n m 1 仍然按上面的方法 注意到 m n m m 1 m 1的情形 设n m d 注意到 若d m 则一定有d n 此时 n d m d 1 这又归结为上一种情形 即把 m d 块巧克 力分给 n d 名儿童 这是能够实现的 既然如此 我们可以把n名儿童分成d 组 把m块巧克力分成d组 就化归为上一 32006年第1期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 种情形了 综上可知 n m及n m d 且d m 是满足题目要求的充分条件 从以上研究中可以看出 我们是这样分 步递进的 找出了充分条件 就可以证明必要性了 即把m块巧克力 每块至多分成两块 且平 均分给n名儿童的必要条件是n m及n m d且d m n m的情形是显然的 只须研究另一个必要条件 n m d 且d m 由于每块巧克力至多分为两块 所以 n 2m 因此 只须考虑m na2 a2 at at b1 b1 b2 b2 bt bt 这时 b1 1 a1 1 m n n m n 令d n m 下面只须证明d m a2必须与若干块b1搭配成一份 m n 即 a2 m n kb1 b2 1 a2 1 m n kb1 d n k d n k 1 d n 依次类推 ai必须与若干块b1 b2 bi 1搭配成一份 m n 因此 每个bi均是 d n 的倍数 于是 若干个b1 b2 bt也会搭配成 m n 从而 m n 也是 d n 的倍数 这就说明m是d的倍数 即d m 所以 d n m 即n m d 且d m 必要性得证 由上可知 把m块巧克力 每块至多分 成两小块 且能均分给n名儿童的充分必要 条件是 n m或n m d 且d m 例6 一凸n边形的任意相邻内角的差 都是18 求n的最大值 讲解 本题可分三步解决 1 证明n为偶数 2 证明n 0 确定k的范 围 k 5 4 2 求k的值 k 1 3 求A B的 坐标 0 0 3 0 4 由S AMB 3求点M的坐标 M 2 2 角元塞瓦定理及其应用 一 李 成 章 南开大学数学科学学院 300071 收稿日期 2005 08 26 本讲适合高中 塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范 围内的两个重要定理 近几年来 使用这两个 定理证明的试题频频出现 因而 不会运用这 两个定理证题的人是很难取得好成绩的 20世纪90年代中叶 国内很多教练员 开始认识到这两个定理的重要性 起初 大家 认为梅涅劳斯定理的应用更灵活一些 也更 广泛一些 但后来却发现 塞瓦定理及其逆定 理在证明三线共点时非常有用 加之角元塞 瓦定理不但介入竞赛圈而且所占分量越来越 重 使得塞瓦定理的地位日益提高 如今 单 独的角元塞瓦定理大有与梅涅劳斯定理和塞 瓦定理成三足鼎立之势 此外 对于某些关于角度的计算题 使用 角元塞瓦定理的解法往往别具一格 是其他 方法所