南京航空航天大学《高等数学》91二重积分的概念与性质.pdf

将定积分概念加以推广到多元函数将定积分概念加以推广到多元函数 重积分重积分 积分区域为空间一区域 域积分区域为平面上一区 积分区域为空间一区域 域积分区域为平面上一区 zyxfu yxfz 这就是重积分的概念这就是重积分的概念 y f x 积分区域为区间积分区域为区间 重积分与定积分区别在于被积函数中自变量重积分与定积分区别在于被积函数中自变量 个数与积分区域个数与积分区域 问题的提出问题的提出 二重积分的概念二重积分的概念 二重积分的性质二重积分的性质 曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 一 问题的提出一 问题的提出 柱体体积柱体体积 特点 曲顶特点 曲顶 上连续且在 顶是曲面 轴的柱面而母线平行 的边界为准线面是以 侧为底的有界闭区域 面上以曲顶柱体指 上连续且在 顶是曲面 轴的柱面而母线平行 的边界为准线面是以 侧为底的有界闭区域 面上以曲顶柱体指 D yxfz z D D xoy 0 o x y z D z f x y 柱体体积柱体体积 底面积 高底面积 高 特点 平顶特点 平顶 取极限来解此问题求和近似代替分割 以平代曲 样 类似于曲边梯形面积那解决的方法 取极限来解此问题求和近似代替分割 以平代曲 样 类似于曲边梯形面积那解决的方法 在变高顶是曲的现在的问题在于在变高顶是曲的现在的问题在于 D ii i z f x y iiii fV lim 1 0 ii n i i fV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 o x y z ii f x y o 设有一平面薄片 占有设有一平面薄片 占有xoy面上的闭区域面上的闭区域 D 在点 在点 yx处的面密度为处的面密度为 yx 假定 假定 yx 在在D上连续 平面薄片的质量为多少 上连续 平面薄片的质量为多少 求平面薄片的质量 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块 取典型小块 将其近似 看作均匀薄片 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 将薄片分割成若干小块 取典型小块 将其近似 看作均匀薄片 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim 1 0 ii n i i M ii i iiii M 定义定义 设 设 yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域 上的有界函数 将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域 1 2 n 其中 其中 i 表示第表示第i个小闭区域 也表示它的 面积 在每个 个小闭区域 也表示它的 面积 在每个 i 上任取一点上任取一点 ii 作乘积 作乘积 ii f i 2 1 ni 并作和 并作和 ii n i i f 1 二 二重积分的概念二 二重积分的概念 积分区域积分区域积分区域积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时 这和式的 极限存在 则 称此极限为函 数 趋近于零 时 这和式的 极限存在 则 称此极限为函 数 yxf在闭区域 D 上的在闭区域 D 上的二重积分二重积分 记为 记为 D dyxf 即 即 D dyxf ii n i i f lim 1 0 积分和积分和积分和积分和 被积函数被积函数被积函数被积函数 积分变量积分变量积分变量积分变量 被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式 面积元素面积元素面积元素面积元素 1 在二重积分的定义中 对闭区域的划分是 任意的 在二重积分的定义中 对闭区域的划分是 任意的 2 当当 yxf在闭区域上连续时 定义中和式 的极限必存在 即二重积分必存在 在闭区域上连续时 定义中和式 的极限必存在 即二重积分必存在 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 曲顶柱体体积当 曲顶柱体体积当 D dyxfyxf 0 柱体体积的代数和 若干部分为负在若干部分为正上 当在 柱体体积的代数和 若干部分为负在若干部分为正上 当在 D dyxf yxfD 曲顶柱体体积的负值当曲顶柱体体积的负值当 D dyxfyxf 0 注 DDD dddyxf yxf 1 1 时当思考题时当思考题 以以D为底面积 为底面积 高为高为1的柱体体积的柱体体积 D的面积的面积 二重积分与定积分有类似的性质 二重积分与定积分有类似的性质 三 二重积分的性质三 二重积分的性质 DDD DD dyxgdyxfdyxgyxf dyxfkdyxkf 2 1 1 线性性质线性性质 21 2 21 DDD dyxfdyxfdyxf DDD 个部分由有限条曲线分成有限分为 对区域的可加性 个部分由有限条曲线分成有限分为 对区域的可加性 0 0 1 3 D dyxfyxfD 则上若在 比较性质 则上若在 比较性质 DD dyxfdyxf 3 DD dyxgdyxf yxgyxfD 2 则 上若在 则 上若在 yxfyxfyxf MdyxfmMyxfm D 4 设 估值性质 设 估值性质 1 fD Mdyxfm D 上至少存在一点在 证明 上至少存在一点在 证明 5 fdyxfD DDyxf D 一点至少 的面积为上连续在有界闭设 中值定理 一点至少 的面积为上连续在有界闭设 中值定理 例 1例 1 估计估计 D xyyx d I 162 22 的值 的值 其中其中 D 20 10 yx 区域面积区域面积2 16 1 2 yx yxf 在在D上上 yxf的最大值的最大值 0 4 1 yxM yxf的最小值的最小值 5 1 43 1 22 m 2 1 yx 故故 4 2 5 2 I 5 04 0 I 解解 例 2例 2 比较积分比较积分 D dyx ln 与与 D dyx 2 ln 的大小的大小 其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域 三顶点各为三顶点各为 1 0 1 1 2 0 三角形斜边方程三角形斜边方程2解解 yx 在在 D 内有内有 eyx 21 故故