数学奥林匹克高中训练题(200).pdf

2 0 1 6年第2期 4 1 熬静 蓖寓 删拣题 2 0 0 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 2 0 0 4 1 0 7 第 一 试 一 填空题 每小题 8 分 共 6 4分 1 设 函 数 y l 量 I的 定 义 域 为 m n 值域为 0 2 则区间 m t 长度的最小值为 2 已知向量 口 满足 I 口I I 6 I 口 西 2 且 口一c 一 c 0 则 I 2 b c I 的最小值为一 3 若复数 满足 l z l 2 则 I 2 z l 一 4 3 1 I 的最大值为一 4 设 函数 A s i n 雠 A 0 O 若 在 区 间 詈 墨 上 具 有 单 调 性 且 詈 一 詈 则 的最小正周期为一 5 已知方程 a y b 2 x c 中的 0 b c 一 3 一 2 3 且 a b c 互不相同 在所有 这些方程所表示的曲线中 不 同的抛物线共 有 条 6 已知高为等的四棱锥S A B C D的底 面是边长为 1 的正方形 点 s A C D均在 半径为 1的同一球面上 则侧棱 s A长度的最 大值为 7 设 函数 一 1 定Y U 如下 f f 记 为厂 0的所有根的算术平 均值 则 1 2 o l 5 12 8 已知数列 n n 一 记 a o a l a 则l i ra 二 解答题 共 5 6分 9 1 6 分 设常数 a R 函数 厂 a一 I I 存在反 函数f 若关于 的不等式 f 一 m 12 满足 ai s rai n b 1 证明 厂 n A B n s n 1 一1 四 5 O分 设 1 2 R 2 且 1 记 2 2 1 l 1 1 证 明 一 一 孵 一 1 i 1 1 f 8或 由于函数在 区间 0 2 上单调递减 在 区间 2 上单调递增 故 2 2 8 1 c E m 综 上 所 求 为 妻 2 一1 注意到 e s 口 西 丢 j 口 詈 由此可设 b 2 0 a 1 设 c m n 由 a c b C 0 1 一 n 2 一 n 0 一 n 3一 凡 0 吾 2 n 一 设 m 3 c s n 譬 s i n 又 2 b c 4一m 一 贝 0 I 2 b c I 4 一 n 8 一 5 c o s 一 3 s i n O 8 n a rctan 砉 8 2 一 1 因此 I 2 b c I i 7 1 3 设 2 C O S 0 i s i n 0 0 0 2 r r 则 f 一 J 2l 一 l s s i n 0 2 c o s 0 2 in 詈 2 3 当 0 时 上式等号成立 故所求最大值为 4 丁 c 由 在 区 间 詈 上 单 调 知 I厂 2 0 1 6年第 2期 4 3 的 最 小 正 周 期 2 三 一 詈 因 为 詈 一 詈 所 以 李j o 又 jF 号 且 o 一 詈 以 的可能位置 均 在 一 个 与半 囱 A B C D半 行 的半 面 上 设平面 与 鲫 有交点 G 且 伽 4 则 O G 4 设点 A在平面 0 c 上的投影为A 如图 2 在平面 上 半径为 的圆 上的点均为点 s 的可能位置 且 A G 要使 s的长度最大 只要使 A S的长度 最 大 易知 A G S 三点共线 且点 s 在点 G的异侧 时 s的长度最大 其 最大值为 4 t 2 则 脬可 2 7 易知f O为2 次方程 有 2 个根 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 对 任 意 的 z r f 当 1 时 易知 r 1 1 假设结论对 成立 考虑 i 1 的情形 注意到 厂 0 f f 0 设 0的根为 则 O 或卢 中 等 数 学 由归纳假设 知以上两方程的各根之和为 2 于是 f 0的各根之和为2 故 1 即结论对 1 也成立 因此 对任意的 z r f 从而 r 8 令 2 则 1 故 n 熏 0 一 n 二 十 1 o o 一 熏 n 0 n 0 1 一 1一 3 一 1 一 一7 二 9 因为 厂 0 a 0且存在反 函 数厂 所以 a 0 一 显然 函数 在 R上递减 故f m 且 I in Aft 一 厂 对所有的 一 2 2 恒成立 记 g x 一 十 一 I 戈 一 2 2 注意到 g 一 一 2 一 号 一 2 当 2时 上式等号成立 故 g 1 2 1 0 设直线 O A的斜率为 1 若k O 则 直 线O B 的 斜 率 为一 去 1 j 2 2kX B 2k j k 1 O A 而I x A I DB 一 一 丽 OA OB 2 1 1 2 若 k 0 则 0 B O 故d 盟 2 1 综上 点 0到直线 A B的距离为定值 1 1 由题意 知整数 n 在数列 a 中首次 出现的位置为 l 2 n 紊 n 2 2 J f 2 2 则 k l 2 一 一 l n 二 一一 一 l 一 一 l 寸 In 2 0 1 6年第 2期 4 3 对任意的 k z 令 m p n o n p一1 记 X一 则 旦 P P P 故 巳 一 口 一 1 P P 类 似 地 寺 p 一 L 口 J 口 J 以上两式相加得 p q一 2 兰1 ro o d 2 故 一1 寺 f 一 1 寺 一 1 1 0 2 p q 为奇数 于是 p g 均为奇数 设 模 q 的余数分别为p q 0 P 一1 0 g g一1 O 1 P q一1 则 寺 三 p 寺 g 寺 三 k P k g p g ro o d 2 考虑映射f k P q k 由中国剩余定理 知 为一一映射 因为 P g 1 则 一 1 寺 1 吼 0 k 0 宝 一 1 州 萎 1 1 宝 1 2 巫兰 2 当 3 时 数列 收敛于 O 于是 3 此时 l i m 二 n j 因 此 仅 可 能 有 一 组 解 寻 芋 对任意 m z 考虑 n 使得 m 令 m 州 1 1 z 则 叫 l n n n n 1 丁 由上式两端极限均为 知 j l i m A T 2 n j 故 一 1 2 Ip q 因为 p g 1 所以 p q 一奇一偶 P q 为奇数 中 等 数 学 k 0 P q I 1 J司 毙 二 先证明一个引理 引理 设 A B C的外心 为 0 P Q为 A B C内部的一对等角共轭点 直线 P与 A B C的外接圆交于点 D 不同于点 直 线 O D与 A B C的外接圆交于点 不 同于 点 D 与线段 B C交于点 则 P MB Q N A 证 明 如图 3 设直线 A Q与o0交于点 D D 与点 A不重合 图 3 由 D A B D A C B D D C 注意到 P O B Q D B 且 B P D B A P P B A C B D Q B C Q B D 财 船 D j P D Q D B D B D 又注意到 B D M B D N 且 M B D c D B D B N D 故 B MD N B D M D N D B D B D 由式 知 P D Q D MD 又 P D M Q D N 则 P D M N D Q P MD N Q D 易知 B MD N B D 则 B MD N B D N A D j P MD一 B MD N Q D 一 N A D P MB Q N A 回到原题 P H B C于 H 令 为弧 B C 的中点 易见 P Q为 A B C的一对等角共轭点 由引理知 Q N A P MB 因此 A Q N H P M 删 注意 到 N A D 9 0 于是 Q P M N四点共圆 故 P Q M 的外心在 MN的中垂线 h 三 分两步证明 1 将集合 S 几 n 1 瑚 n s 一1 一l 分成两个集合 S 2 n s 1 n s 一1 S l S S 2 因为对任意的 S b 1 1 b 2 x 2 b k x r t s 所以 集合 5 为 一好的 对任意的 S j j 1 2 分如下 两种情形 若 一l i 1 2 k 贝 0 口 l l a 2 x 2 n s 一 1 若存在 i 使得 珊 1 瑚 n s 1 一 1 贝 0 n s 1 0 1 l a 2 x 2 a k x 综上 a l l 2 2 a k X S 1 于是 集合 s 为 A 一好的 从而 厂 n A B n s n s 1 一1 2 假设集合 S n n 1 a s n s 1 可以分成 5 s 满足集合 5 为 4 一好的 集 合 为 B 一好的 不妨设 n S 1 取 1 2 2 则 a1 1 2 2 a k S1 于是 n s S 2 2 0 1 6年第 2期 4 7 得 取 1 2 贝 0 2 6 1 l 6 2 2 b k S 2 于是 t S S 1 妨设 口 b 1 1 1 n s 2 2 3 矗 贝 0 2 02 2 03 3 0 瑚 一n S1 于是 一n S 2 若 n s 1 S 取 1 n 2 3 s 1 0 l 1 n 2 2 口 S 1 矛盾 若 n s 1 S l 取 1 n s 2 3 后 n s 1 得 6 1 1 6 2 2 6 瑚 一 S 2 矛盾 1 n 2 一 2 n 一 1 k q k q 2 由柯西不等式知 隔 注意到 I I I 1一 一 I 1 n 故 1 n 2 一 一 l 1 一 2 2 I 1 矗 n I c q 一 n一1 因 曼 皇 g S 1 2 n n s 一 1 不可以分成 S S 满 足集合 S 为 一好 的 于是 为证式 只要证 S 2 为 一好的 即 一 1 一 2 2 q A B 瑚 n s 一1 一 1 综上 A B n 8 1 一 1 四 注意到 o 且 1 一 0 1 若 o 则 1 n 孵 i 1 1 o 则记q 1 f k n 1 f