数学分析期末总复习(有答案).docx

第一讲 极限 连续数学分析选讲第一讲极限 连续一、 数列极限的若干方法1、-N方法（定义+柯西准则）例1 证明limnnn+1=1例2证明limn n2an = 0 ( a 1 )例3 证明 xn= 收敛例4 证明limnsinn不存在2、利用迫敛性例5 证明limn例6 求limn （ 1 ）3、利用定积分定义例7 求limn （ln2）例8 求limn （）迫敛性+定积分 求limn 练习：limn （1ln2）4、利用stolz定理严格且limn= +limn=limn(a是有限数、+、-)注：stolz公式可重复使用例9 证明limn（P N*）例10 设,求limn*例11 设，（n=1,2） 证明：limnn=1*例12设,，证明limn5、单调有界定理判断单调性 1） nN*， -0 2） nN*，1 -0 1 3）若=f()，f ( x ) 0，当 时， 当 时， 例13 设，n=0,1,2，证明收敛并求其极限值 （a=2）6、利用收敛级数余项性质例14 求limn （0）7、利用收敛级数通项性质例15 求limn （0）例16 求limn （0）8、利用“压缩映像”原理若存在常数r，使 nN,恒有xn+1-xnrxn-xn-1 0r1且为常数，n=1、2) 证明：收敛并求limnxn (c)9、利用基本结果，归结原理、洛必达法则基本结果：limn； limn； limn； limn； limn； limn(，,)例21 limn ( 1 )例22 limn 例23 limn 1例24 limn 例25 设，求limn 练习：求limn（） 二、 函数的极限例1 limx0 例2 limx- 1例3 limx 2例4 limx0 例5 limx0 1例6 求limx0 例7 limx0 -例8 limx0 例9 limx+ 1例10 limx0 1例11 limx1 不存在例12 求limx0 1例13 求limn 例14 已知limn)例15 将limx1 （4,-6）例16 设limx+（25,20）例17 设limx+证明limx+10第二讲 一元函数微分学三、函数的连续性与一致连续性例1 讨论limx+的连续性例2 设在点处连续且满足(-，+) 证明：为(-，+)上的常量函数。例3 设在(0,+ )上满足且limx+，证明，(0,+ )例4 设在处连续且对任何，有，证明为常函数例5 证明方程必有实根例6 设在连续，证明存在使得成立例7 设在0,1上连续，证明对 nN+,存在使得例8 证明在(0,+ )上一致连续例9 设在a,+）上一致连续，在a,+）上连续，且有limx证明在a,+）上一致连续第二讲 一元函数微分学一、导数与微分及其求导例1 设，则limn0 -1例2 设存在，则limx0 fx0+ax-f(x0-bx)x =_ 例3 设可导，若使在处可导，则必有_ a)a) ;b) ;c) 例4 设可导，且对任何实数a、b满足， 求与之间的关系例5 设在有定义，且对任意非零实数x、y，且存在证明：存在（对一切）并求例6 证明：黎曼函数= ，（p、qN+，q/p为互质真分数） 在0,1上任一点处不可微0， 例7 证明= 的各阶导数（n=1、2） 0 例8 设=，求例9 设=，求二、微分中值定理及其应用例1 若为实数，且满足 证明方程：在（0,1）内至少有一实根例2 若在上连续，在（0,1）上可导，且， 证明：在（0,1）内至少有一点，使得例3 设在上连续，在可导，且证明：存在一点，使得（k为不等于0的常数）例4 若在上连续，在可导，且， 证明对任意实数k,存在，使得例5 试确定方程的实根个数例6 设，证明：例7 设在(-，+)上满足，则，x(-，+)例8 设在（0，+)上可微，并且存在A0，使得对x0，+)，有 证明：例9 设a、b0,试证存在，使得例10设在上连续，在上可导，且 试证：存在，使例11 设在上连续，在上可导，且试证：存在，使 （柯西+拉格朗日中值定理）例12设在上有连续一阶导数，在二阶可导，且， 证明：对一切有例13 设在上二阶可导，试证在0,1内存在一点，使三、泰勒展式的应用例1 设在上有二阶导数，且当时，例2 设在上有二阶连续导数，且满足及 试证对一切，有例3 设为上二次可微函数，（k=0,2） 试证：，且例4 设在上连续可微，若limx+存在，且在上有界 试证：limx+例5 设上的,证明：limn0=例6 设在内n阶连续可微，且，但，当时，有， 试证：limn0四、导数的应用例1 设例2 设例3 设例4 设例5 设：例6 设利用凸函数性质证明不等式例1 证明伯努利（Bernoulli）不等式: 当且仅当x=0时等号成立，,例2 设证明：例3 设，证明： 例4 应用詹森（Jensen）不等式证明：1） 设（i=1，2n） 2） 设（i=1，2n）有，且例5 设当时成立不等式：例6 证明：、导数的综合应用例1 设在的某个领域内可导，且limx0，则 a)a) 一定是极大值b)一定是极小值c)不是极值例2 设在的某领域内有定义，且limx，则_ b)a)取极小值b)取极大值c）不取极值例3 设有二阶连续导数，limx0，则a）极大值b)极小值 c）（0，f（0）为拐点例4