高中数学竞赛综合训练讲义含参考答案.pdf

1 高中数学竞赛综合训练讲义含参考答案 一 选择题 1 若点 P x y 在直线 x 3y 3 上移动 则函数 f x y yx 93 的最小值等于 A 5 1 4 27 5 B 7 1 9 27 7 C 7 1 9 16 7 D 3 1 2 5 3 2 满足20073 xxy的正整数数对 x y A 只有一对 B 恰有有两对 C 至少有三对 D 不存在 3 设集合 M 2 0 1 N 1 2 3 4 5 映射 f M N 使对任意的 x M 都有 xxfxfx 是奇数 则这样的映射 f 的个数是 A 45 B 27 C 15 D 11 4 设方程 1 19cos 19sin 2007 2 2007 2 yx 所表示的曲线是 A 双曲线 B 焦点在 x 轴上的椭圆 C 焦点在 y 轴上的椭圆 D 以上答案都不正确 5 将一个三位数的三个数字顺序颠倒 将所得到的数与原数相加 若和中没有一个数字是 偶数 则称这个数为 奇和数 那么 所有的三位数中 奇和数有 个 A 100 B 120 C 160 D 200 6 函数 xfy 与 xgy 有相同的定义域 且对定义域中的任何x 有 1 0 xgxgxfxf 若1 xg的 解 集 是 0 xx 则 函 数 1 2 xf xg xf xF 是 A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数 二 填空题 7 边长均为整数且成等差数列 周长为 60 的钝角三角形共有 个 8 已知三个正整数 x y z 的最小公倍数是 300 并且 032 023 222 zyx zyx 则方程组的解 x y z 9 已知关于 x 的实系数方程022 2 xx和012 2 mxx的四个不同的根在复平面 上对应的点共圆 则 m 的取值范围是 10 设平面上的向量 yxba 满足关系 yxbyxa2 又设 a与 b的模为 1 且互 相垂直 则 x与 y的夹角为 11 设函数 2 1 12010 xfxfxfxfxxf 则函数 2 xf的图象与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 2 12 若正整数 n 恰有 4 个正约数 则称 n 为奇异数 例如 6 8 10 都是奇异数 那么在 27 42 69 111 125 137 343 899 3599 7999 这 10 个正整数中奇异数有 个 三 解答题 13 已知 ABC 的三边长分别为 a b c 且满足 abc 1 1 1 2 cba 1 是否存在边长均为整数的 ABC 若存在 求出三边长 若不存在 说明理由 2 若 a 1 b 1 c 1 求出 ABC 周长的最小值 14 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x 过定点 A 1 0 且焦点在 x 轴上 椭圆与曲线 y x 的交点为 B C 现有以 A 为焦点 过点 B C 且开口向左的抛物线 抛物线的顶点坐标为 M m 0 当椭圆的离心率 e 满足1 3 2 2 e时 求实数 m 的取值范围 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 3 数学竞赛训练讲义参考答案 1 A 解 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 2 3 3 3333 2 1 3 2 1 53333 2 1 3 2 1 33339393 xxx xx xxx xx x x x x x xyx xf 5 1 5 3 4 27 53 4 1 5 等号当且仅当 x x 3 2 1 33 2 1 即 2log1 5 3 3 x时成立 故 f x y 的最小值是 5 1 4 27 5 2 B 解 设2007 3 22 xbxa 其 中a b均 为 自 然 数 则y a b 167322004 222 ababab 因为 b a 与 b a 有相同的奇偶性 且 b a b a 所以 2 1002 ab ab 或 6 334 ab ab 解得 502 500 b a 或 170 164 b a 3 A 解 当 x 2 时 x f x xf x 2 f 2 为奇数 则 f 2 可取 1 3 5 有三种 取法 当 x 0 时 x f x xf x f 0 为奇数 则 f 0 可取 1 3 5 有 3 种取法 当 x 1 时 x f x xf x 1 2f 1 为奇数 则 f 1 可取 1 2 3 4 5 有 5 种取 法 由乘法原理知 共有 3 3 5 45 个映射 4 C 解 1360 19 1360 19 19 1919 1003100322007 Nnn 于是 19sin 1919360sin 19sin 2007 n 同理 19cos 19cos 2007 因为019sin19cos 故应选 C 5 A 解 设三位数是 321 aaa 则 321 aaa 10 100 312231123 aaaaaaaaa 若 31 aa 不进位 则和数的十位数必为偶数 不符合题意 所以 31 aa 11 13 15 17 因 11 9 2 8 3 7 4 6 5 所以 3 1a a取值有 2 2 4A种可能 因 13 9 4 8 5 7 6 所以 3 1a a取值有 2 2 3A种可能 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 4 因 15 9 6 8 7 所以 3 1a a取值有 2 2 2A种可能 因 17 9 8 所以 3 1a a取值有 2 2 A种可能 由于 22 aa 不能进位 所以 2 a只能取 0 1 2 3 4 因此 满足条件的数共有 5 2 2 4A 2 2 3A 2 2 2A 2 2 A 100 个 6 B 解 由 12511 1256 12 2 11 1 aa猜想 125 1 n n a 由已知递推关系式 易用数学归纳法给予证明 略 于是 当 n 1 时 10 mod1 n a 故 10 mod220066 200721 aaa 因此 应选 B 7 20 60 100 解 记方程组中的两个方程为 1 2 消去 x 得 0385 22 zyzy 即0 35 zyzy 所以035 zy 3 或 0 zy 4 由 1 3 得xzxy5 3 即 x y z 1 3 5 于是 由已知条件 必有 x 20 y 60 z 100 由 1 4 得 x y z 与已知条件矛盾 8 m 1 m 1 或 m 3 2 解 易知方程022 2 xx的两根为 1 1 21 ixix 当044 2 m 即11 m时 方程012 2 mxx有两个共轭的虚根 4 3x x 且 4 3x x的实部为1 m 这时 4321 xxxx在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形 它 们共圆 当044 2 m 即1 m或0 m时 方程012 2 mxx有两个不等的实根 4 3x x 则 21 x x对应的点在以 4 3x x对应的点为直径端点的圆上 该圆的方程为 0 2 43 yxxxx 即0 4343 22 xxxxxyx 将1 2 4343 xxmxx 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 5 及 21 x x对应点的坐标 1 1 代入方程 即得 2 3 m 故 m 的取值范围是 m 1 m 1 或 m 3 2 9 10 10 arccos 解 由 已 知 得 3 2 3 ab y ba x 设 x与 y的 夹 角 为 则 10 10 cos yx yx 所以 10 10 arccos 10 7 解 函数 2 xfy 的图象如图的实线部分所示 所求的封闭部分的面积为 712 2 1 2 62 2 1 CDEABCD SS梯形 11 x y 3 6 2 6 解 当 AQ x 时 设 GQ 与面 BDE 交于 点 N 作 NM BD 于点 M 联结 QM 交直 线 BC 于点 P 取点 P为点 P 知此时 y MN 最小 建立如图 1 的空间直角坐标系 则 Q 0 x 1 且 BDE 所在平面上的点 x y z 满 足 x y z 故可令 0000 yxyxN 由点 N 在 QG 上 知在 0 1 内存在 使 QN QG 代入消去 得 1 12 0000 xyxxyx 从而 x x y x x x 3 1 3 1 00 于是 3 2 3 1 3 1 xx x x x N 而点 M 在 BD 上 故可令 1 1 11 xxM 由0 BDMN 知 3 1 2 3 1 x x x 于是 3 6 2 6 3 1 2 6 xx x MNy 12 2007 4012 A B D 2 C 1 E 3 2 1 O 1 2 3 x y x y z A Q D H G F B E M P C N 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 6 解 设 i i a x 2 2 则 i i i x x a 1 2 且1 2007 1 i i x 所以 1 2 200621200731200732 200721 2007 200721 xxxxxxxxx xxx aaa 2006 200621 2006 200731 2006 200732 200721 2007 200620062006 1 2xxxxxxxxx xxx 200720072007 401220062 13 解 1 不妨设整数 a b c 显然 c 2 若 c 5 这时 5 1111 cba 由 1 1 1 2 cbaabc 可得 3 5 4 1 1 1 1 1 1 2 1 cba 矛盾 故 c 只可能取 2 3 4 当 c 2 时 1 1 baab 有 1 ba 又 a b 2 故无解 当 c 3 时 1 1 43baab 即12 4 4 ba 又 a b 3 故 14 124 b a 或 24 64 b a 或 34 44 b a 解得 5 16 b a 或 6 10 b a 或 7 8 b a 能构成三角形的只有 a 8 b 7 c 3 当 c 4 时 同理解得 a 9 b 4 或 a 6 b 5 能构成三角形的只有 a 6 b 5 c 4 故存在三边长均为整数的 ABC 其三边长分别为 4 5 6 或 3 7 8 2 由 1 1 1 2 cbaabc 可得 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 cba cba 所以 3 2 2 3 111 cba 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 7 又9 111 cba cba 则有 12 23 2 2 3 9 111 9 3 3 3 cba cba 故 ABC 的周长最小值为 12 23 3 3 当且仅当 12 2 3 3 cba时 取得此最小值 14 解 椭圆过定点 A 1 0 则 a 1 c 22 1 1beb 1 3 2 2 e 3 3 0 b 由对称性知 所求抛物线只要过椭圆与射线 y x x 0 的交点 就必过椭圆与射线 y x x 0 的交点 解方程组 1 0 2 2 2 b y x xxy 得 2 1