收敛数列的性质(经典课件).doc

收敛数列的性质教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学学时：4学时。u 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限。 分析：设数列有两个极限，只需证明，即证可小于任一给定充分小的数。证明：设与，根据数列极限的定义，有 取. ,于是， 这就说明，从而收敛数列的极限唯一。定理2.3（有界性）若数列收敛，则为有界数列。分析：即证证明：设，根据数列极限定义，对，有，从而 ，有，取，于是，即收敛数列必为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。定理2.4（保号性）若（或），则对任何（或），存在正数，使得当时有（或）。 证明：设，取，则，有，这就证得结果。对于，的情形，也可类似地证之。 注：应用保号性时，经常取定理2.5（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。 证明：设，则， 取，则当时有：，故有，由的任意性便知（参见第一章1例2），即。思考：如果把条件“”换成“”，那么能否把结论换成？（答：不行，考虑数列与。保不等式性的一个应用：例1 设，证明：若，则.证明：由保不等式性可得. 若，则由，使得当时有，从而 ，故有. 若，则由，使得当时有，从而 ，故有.定理2.6（迫敛性）设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.证明：由已知有 ，从而取 ，当时有，即有，故得数列收敛，且.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：例2 证明.证明：，有，令，则，所以，于是易知，从而由迫敛性便知.有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2)(保序性) 若,且,则存在正数，使得当时有 证明：根据数列极限的定义，对， 由知 由知 取，则当时便有，命题得证。 注： 利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理。二、数列极限的四则运算法则：定理2.7（极限的四则运算法则）若、为收敛数列，则也都收敛，且有;.若再做假设及，则数列也收敛，且有.证明：证明思路大致如下设，则，取，则当时便有同时成立。 于是；于是；又有界性定理收敛数列必有界，设数列有界，即使得，都有， 于是；由知（上节课后习题7），由数列极限保号性知，使得当时有，取，则当时便有 于是.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；例3 求 解：.例4 求，其中. 解：，已知，从而.例5 求，其中. 解：若，；若，；若，例6 求. 解：例7 求. 解：由于且易知（参考例1结论），于是由数列极限迫敛性便知1.三、数列的子列：1引言：极限是个有效的分析工具。但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。2 子列的定义：定义 设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列，简记为.注1 由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序。简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）。注2 子列中的表示是中的第项，表示 是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有. 特别地，若，则，即.注3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列。如都是的非平凡子列。3数列与其子列敛散性关系：由上节例8易知：性质：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列收敛于的任何非平凡子列都收敛且都收敛于。证明：必要性 设是的任一子列。由知，使得当时有，而，于是，从而，所以也收敛于。 充分性 设，由数列极限的定义 ， 取，当（），有 ，即知数列收敛于。 注：此定理的证明也可由上节例7直