11月份数学重难点讲解.pdf

09 届钻石卡专用 第 1 页 共 11 页 第一部分 概率第一部分 概率 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 一 离散型一 离散型 这部分题考查的实质是联合分布 ij p与边缘分布 ij pp的关系 iij j pp j ij i pp 如果两个随机变量是独立的 那么 ijij pp p 如果不独立 由条件概率 ijiji pp x p yx iij j pp 1 ij ij p 1 i i p 1 j j p 此种题的做题思路 1 把两个随机变量所有的可能取值用列表的形式写出来 2 根据已知条件往表里填数 Y X 1 y 2 y 3 y i p 1 x 11 p 12 p 13 p 1j j p 2 x 21 p 22 p 23 p 2 j j p 3 x 31 p 32 p 33 p 3 j j p j p 1 i i p 2i i p 3i i p 1 如上表所示 例例 1 设A B为两个随机事件 且 4 1 AP 3 1 ABP 2 1 BAP 令 不发生 发生 A A X 0 1 0 1 不发生 发生 B B Y 求 二维随机变量 YX的概率分布 22 YXZ 的概率分布 例例 2 设 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量 已知 的分布律为 1 1 2 3 3 pii 又设max min XY 1 写出二维随机变量 X Y的分布律 Y X 1 2 3 1 2 3 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 2 页 共 11 页 二 连续型二 连续型 1 已知联合密度函数求联合分布函数 已知联合密度函数求联合分布函数 例例 3 95 3 假设随机变量X和Y的联合概率密度为 4 01 01 0 xyxy x y 其他 求X和Y联合分布函数 2 求两个连续型随机变量函数的分布 求两个连续型随机变量函数的分布 已知 X Y的联合密度函数 f x y 而随机变量 Zg X Y g X Y为已知 求随机变量Z的分布具体步骤如下 由定义法求 g x y范围内的分布函数 Z g x yz FzP ZzP g X Yzf x y dxdy 根据 g x y及联合密度函数的定义域确定z的讨论范围 根据z的范围求解上面的二重积分 这步是考生最容易犯错的地方 很多学生不会求这 个二重积分 主要是积分区间划分会出问题 首先是用 g x yz 这个区域与 f x y的定 义域取交集 然后在这个交集上把二重积分化成累次积分 把分布函数写成分段函数的形式 如果要求密度函数 写出密度函数的形式 Z Z dFz fz dz 密度函数同样要写成分段 函数的形式 例例 4 设二维随机变量 X Y的概率密度为 20 10 0 1 其他 xyx yxf 求 I X Y的边缘概率密度 yfxf YX II YXZ 2的概率密度 zfZ 例例 5 07 1 设二维随机变量 X Y的概率密度为 2 01 01 0 xyxy f x y 求ZXY 的概率密度 Z fz 例例6 01 3 设随机变量X和Y对联和分布是正方形 13 13Gx yxy 上的 均匀分布 试求随机变量UXY 的概率密度 p u PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 3 页 共 11 页 三 离散型与连续型相结合三 离散型与连续型相结合 如果已知的随机变量Z是离散型Y是连续型 求关于Z Y函数的分布 用定义求解 但是这两个随机变量既没有联合分布密度函数 也没有联合分布率 而用定义求解的时候 我们同样是在求概率 所以往往用到的方法就是把离散型随机变量的分布率看成是完全事件 组 利用全概率公式来求解 例例 7 08 3 设随机变量X与Y相互独立 X的概率分布为 1 1 0 1 3 P Xii Y的概率密度为 101 0 Y y fy 其它 记ZXY 1 求 1 0 2 P ZX 2 求Z的概率密度 第二部分 高等数学第二部分 高等数学 一一 多元函数微分学 多元函数微分学 1 偏导数与全微分 偏导数与全微分 一 基本定义一 基本定义 定义定义 1 偏导数 偏导数 函数 yxfz 在点 00 yx处对x的偏导数 x yxfyxxf yxf x x lim 0000 0 00 定义定义 2 全微分 全微分 如果函数 yxfz 在点 yx处的全增量 可表示为 oyBxAz 其 中A B不 依 赖 于x y 而 仅 与x y有 关 22 yx 则称函数 yxfz 在点 yx可微分 二 基本定理二 基本定理 定理定理 1 关于函数连续 偏导存在和可微之间的关系 关于函数连续 偏导存在和可微之间的关系 偏导数存在且连续 能 否 函数可微 能 否 函数连续 函数可微 能 否 偏导数存在 否 否 函数连续 定理定理 2 复合函数偏导数公式 链式法则 复合函数偏导数公式 链式法则 复合函数 yxyxfz 在点 yx的 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 4 页 共 11 页 两个偏导数存在 而且有 x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 定理定理 3 微分形式不变性 微分形式不变性 无论u v是自变量或是中间变量 函数 vufz 的全微分的 形式 zz dzdudv uv 总是正确的 这个性质称为全微分形式不变性 定理定理 4 隐函数存在定理及求导公式 隐函数存在定理及求导公式 设函数 xfy 由方程0 yxF确定 得 0 xfxF两边对x求导数 得0 dx dy FF yx 因此得 y x F F dx dy 对于函数 xfy 求二阶导数 得 2 2 xx yy FFd y xFyFdx dy dx 22 yxxxyxyxyxyy x y yy F FF FF FF F F F FF 22 3 2 xxyxyxyyyx y F FF F FF F F 三 题型讲解三 题型讲解 解题思路 从定义出发 通过求解函数的极限值是否等于函数值判断连续 利用左右导数 的定义判断是否可导 利用可微的定义判断是否可微 题型一 连续 偏导 可微概念相关题型一 连续 偏导 可微概念相关 例例 1 设 22 22 22 1 sin 0 0 0 xyxy xyz x y xy 判断在 0 0 点函数是否连续 偏导是否 存在 连续 是否可微 练习练习 2 97 1 考察函数 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 在点 0 0 处的连续性与偏导 数存在性 练习练习 3 设 22 22 22 22 0 0 0 x y xy xyf x y xy 讨论 f x y在 0 0 处的可微性 若可微求 0 0 df 题型二 连续 偏导 可微之间的关系题型二 连续 偏导 可微之间的关系 例例 4 设 f x yxyx y 其中 x y 在点 0 0 处连续 则 0 0 0 是 f x y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 5 页 共 11 页 在点 0 0 处可微的 A 必要而非充分条件 B 充分而非比较条件 C 充要条件 D 既非充分又非比较条件 练习练习 5 94 1 二元函数 f x y在点 00 f xy处两个偏导数 0000 xy fxyfxy 存在是 f x y在该点连续的 A 充分条件而非必要条件 B 必要条件而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 练习练习 6 02 1 考虑二元函数 f x y的下面 4 条性质 f x y在点 00 xy处连续 f x y在点 00 xy处的两个偏导数连续 f x y在点 00 xy处可微 f x y在点 00 xy处的两个偏导数存在 若用 PQ 表示可由性质P推出Q 则有 A B C D 题型三 复合函数求偏导 全微分题型三 复合函数求偏导 全微分 解题思路 对于复合函数的导数就是利用求导数的链式法则 分步求解 特别提示 求出 的各阶偏导亦是复合函数 再求高阶导数时依然要对其使用链式法则求导 例例 7 设 x y uf y z 求 2u y z 及du 例例 8 05 1 设函数 x y x y u x yxyxyt dt 其中函数 具有二阶导 数 具有一阶导数 试证 22 22 uu xy 练习练习 9 92 1 设 22 sin x zf ey xy 其中 f 具有二阶连续偏导数 求 2z x y 练习练习 10 94 1 设sin x x ue y 则 2u x y 在点 1 2 处的值为 题型四 隐函数求偏导 全微分题型四 隐函数求偏导 全微分 解题思路 利用一阶微分形式不变性求解最为方便 例例 11 95 1 设 2 0 sin y uf x y zx ezyx 其中f 都具有一阶连续偏 导数 且0 u z 求 du dx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 6 页 共 11 页 例例12 99 1 设 yy x zz x 是由方程 zxf xy 和 F x y z 0所确定的函数 其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数 求 dz dx 练习练习 13 96 1 设变换 2uxy uxay 可把方程 222 22 60 zzz xx yy 化简为 2 0 z u v 求常数a 其中 zz x y 有二阶连续的偏导数 练习练习 14 05 4 设 f u具有二阶连续导数 且 y x yf x y fyxg 求 2 2 2 2 2 2 y g y x g x 2 极值与条件极值 极值与条件极值 一 基本定义一 基本定义 定义 极值 定义 极值 二 基本定理二 基本定理 定理定理 1 极值存在的必要条件 极值存在的必要条件 具有偏导数的极值点一定是驻点 具有偏导数的极值点一定是驻点 驻点不一定是极值点 驻点不一定是极值点 例如 xyz 有驻点为0 0 但是该点不是极值点 极值点不一定是驻点 极值点不一定是驻点 例如 22 yxz 0 0 是其极值点 但是该点偏导数不 存在 所以不是驻点 定理定理 2 二元函数极值的充分条件 二元函数极值的充分条件 求极值的一般方法求极值的一般方法 第一步 解方程组 0 00 yxfx 0 00 yxfy 以求得所有的驻点 第二步 对于每一个驻点 00 yx 求出二阶偏导数值A B和C 第三步 对于每一个驻点 00 yx 确定 2 BAC 的符号 以判定该点是否为极值点 对极值点确得极大值与极小值 并求出极值 定理定理 3 拉格朗日乘拉格朗日乘数法 数法 三 题型讲解三 题型讲解 解题思路 注意驻点和极值点的关系 按照求解极值的一般方法 认真计算求解 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 7 页 共 11 页 题型一 极值的概念相关题型一 极值的概念相关 例例 1 03 4 设可微函数 f x y在点 00 yx取得极小值 则下列结论正确的是 A 0 yxf在 0 yy 处的导数等于零 B 0 yxf在 0 yy 处的导数大于零 C 0 yxf在 0 yy 处的导数小于零 D 0 yxf在 0 yy 处的导数不存在 例例 2 06 1 设 f x y与 x y 均为可微函数 且 0 y x y 已知 00 xy是 f x y 在约束条件 0 x y 下的一个极值点 下列选项正确的是 A 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy B 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy C 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy D 若 00 0 x fxy 则 00 0 y fxy 练习练习 3 03 1 已知函数 f x y在点 0 0 的某个邻域内连续 且1 lim 222 0 0 yx xyyxf yx 则 A 点 0 0 不是 f x y的极值点 B 点 0 0 是 f x y的极大值点 C 点 0 0 是 f x y的极小值点 D 根据所给条件无法判断点 0 0 是否为 f x y的极值点 题型二 二元函数极值题型二 二元函数极值 例例 4 07 1 求函数 2222 2 f x yxyx y 在区域 22 4 0Dx y xyy 上的 最大值和最小值 练习练习 5 05 4 求 22 2f x yxy 在椭圆域 1 4 2 2 y xyxD上的最大值和 最小值 题型三 条件极值题型三 条件极值 解题思路 首先写出拉格朗日函数 然后分别对自变量求偏导 最后解方程求出极值点 代入函数求出极值 例例 6 08 2 求函数 222 uxyz 在在约束条件 22 zxy 和4xyz 下的最大和 最小值 练习练习 7 08 1 已知曲线 222 20 35 xyz C xyz 求曲线C距离XOY面最远的点和最近 的点 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 8 页 共 11 页 二 多元函数积分学二 多元函数积分学 1 二重积分 二重积分 题型讲解题型讲解 解题思路 一 画出图形 二 确定积分区间 三 化累次积分求解 题型一 变换积分次序题型一 变换积分次序 例例 1 cos 2 00 cos sin Idf rrrdr 2 1 00 y y Adyf x y dx 2 11 00 y Bdyf x y dx 11 00 Cdxf x y dy 2 1 00 x x Ddxf x y dy 例例 2 04 2 设函数 f u连续 区域 22 2Dx y xyy 则 D f xy dxdy 等于 A 2 2 11 11 x x dxf xy dy B 2 22 00 2 y y dyf xy dx C 2sin 2 00 sincos df rdr D 2sin 2 00 sincos df rrdr 例例 3 02 3 交换积分次序 111 422 1 0 4 y yy dyf x y dxdyf x y dx 练习练习 4 06 2 设 f x y为连续函数 则 1 4 00 cos sin df rrrdr 等于 A 2 2 1 2 0 x x dxf x y dy B 2 2 1 2 00 x dxf x y dy C 2 2 1 2 0 y y dyf x y dx D 2 2 1 2 00 y dyf x y dx 练习练习 5 07 2 设函数 f x y连续 则二次积分 1 sin 2 x dxf x y dy 等于 A 1 0arcsin y dyf x y dx B 1 0arcsin y dyf x y dx C 1arcsin 0 2 y dyf x y dx D 1arcsin 0 2 y dyf x y dx 题型二 不题型二 不同同形式的二形式的二重积重积分分 例例 6 02 1 计算二重积分 22 max xy D edxdy 其中 01 01 Dx yxy PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 09 届钻石卡专用 第 9 页 共 11 页 例例 7 05 2 计算二重积分 dyx D 1 22 其中 10 10 yxyxD 练习练习 8 07 2 设二元函数 2 22 1 1 12 xxy f x y xy xy 计算二重积分 D f x y d 其中 2Dx yxy 练 习练 习 9 03 3 计 算 二 重 积 分 sin 22 22 dxdyyxeI D yx 其 中 积 分 区 域 22 Dx y xy 第二部分第二部分 曲线曲线 曲面积曲面积分分 一 基本定理一 基本定理 定理定理 1 对弧长曲线积对弧长曲线积分的分的计算计算 dsyxf L 22 ftttt dt 定理定理 2 对坐标对坐标的的曲线积曲线积分的分的计算计算 L