湖北省2019届高三数学1月联考测试试题文（含解析）.docx

湖北省2019届高三数学1月联考测试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】解：由2+iz（1i），得z，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知集合，则（ ）A. 空集 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由求其解集得到集合M，由值域得到集合P，求其交集即可.【详解】因为，所以，即M=;又=.所以，因此.【点睛】本题主要考查交集及其运算，属于基础题型.3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角函数定义先求出,再由二倍角的正切公式代入即可得出结果.【详解】由三角函数的定义可得，所以.【点睛】本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，只需熟记定义和公式即可解题，属于基础题型.4.下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5.已知椭圆：的离心率是，则椭圆的焦距是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得c，再由即可求出焦距的值.【详解】由得c，所以所以，因此焦距为.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，只需掌握a,b,c三者之间关系即可，属于基础题型.6.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体所以：v，故选：A【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型7.已知函数，则函数的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知g(x)图像与f(x)的图像关于原点对称，由f(x)的图像即可得出结果.【详解】因为，所以g(x)图像与f(x)的图像关于原点对称，由f(x)解析式，作出f(x)的图像如右图.,从而可得g(x)图像为A选项.【点睛】本题主要考查函数图像变换问题，属于基础题型.8.已知、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面.给出下列4个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.则其中真命题个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由线面平行的判定定理和直线与平面位置关系可得（1）（4）错误；由线面垂直的判定定理和性质定理可得(2)(3)正确.【详解】对于(1),若，则或，故(1)错;对于(4), 若，则或与相交，故(4)错；由线面垂直的判定定理可得（2）正确；由线面垂直的性质定理可得(3)正确.故选B.【点睛】本题主要考查线面位置关系的性质和判定定理，只需熟记相关定理和定义即可,属于一般难度题型.9.已知等边内接于，为线段的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题10.在长为的线段上任取一点，再作一个矩形，使其边长分别等于线段，的长，则该矩形面积小于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x,则BC=10-x,由矩形面积可求出x的范围，利用几何概型的概率公式即可求出结果.【详解】设AC=x,则BC=10-x，由题意矩形面积，所以或,又,所以该矩形面积小于16的概率为.【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，只需熟记几何概型的概率公式即可求解,属于基础题型.11.函数的一部分图像如图所示，把函数的图像先向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图像，则函数的表达式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图像求出A,T，从而求出，利用点在曲线上，求出，即可得出f(x)的解析式，再由三角函数的平移变换即可求出结果.【详解】有图像可得:A=1,，所以=2，由点在曲线上，所以，因此+,所以，因为，所以，从而;函数图像向右平移个单位，得到的图像，再向上平移2个单位，得到的图像.【点睛】本题主要考查由三角函数的部分图像来求三角函数的解析式，以及三角函数图像变换问题，属于基础题型，需要考生熟记A、T、的求法.12.椭圆：与双曲线：焦点相同，为左焦点，曲线与在第一象限、第三象限的交点分别为、，且，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设双曲线的右焦点为，由椭圆与双曲线的特征可知，A与B关于原点对称，可得，由，可得，再由椭圆与双曲线定义可得，从而可得，由余弦定理可得，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设双曲线的右焦点为,由题意点A与点B关于原点对称，因此，又，所以；由椭圆与双曲线定义可得，所以，根据余弦定理可得，即，化简得，所以离心率乘积为，当且仅当时，去等号;由，所以，所以，再将（1）（2）代入可得，所以双曲线的渐近线方程为或，故选C.【点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义与简单几何性质，需要学生灵活掌握圆锥曲线的定义与性质，难度系数较大.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为_【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线3x+4y0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z5故答案为：5【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.如下图所示的茎叶图为高三某班30名学生的某次考试成绩，该班学生的学号依次为1，2，3，30.算法框图中输入的为该班这次考试中的学号为的学生的成绩，则输出的值为_【答案】15【解析】【分析】该算法的功能是计算在30名学生的成绩中，成绩大于等于60且小于80的人数,根据茎叶图即可得出结果.【详解】有程序框图可知：该算法的功能是计算在30名学生的成绩中，成绩大于等于60且小于80的人数;有茎叶图可知：60,62,65,67,67,69,71,72,73,73,75,76,76,78,79共15个在范围内，因此输出值为15.【点睛】本题主要考查程序框图中的判断条件，只需准确理解判断框中的判断条件，即可结合茎叶图求解.15.过点和，且与轴相切的圆的方程为_【答案】或（或）【解析】【分析】先设圆的标准方程,再由题意可得方程组,解方程组即可得出结果.【详解】设圆的标准方程，因为圆过点A(0,1)，B(1,2),且与x轴相切，所以有，解之得或，因此所求圆的方程为或.【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的方程，只需设出圆的方程，结合题中条件列出方程组，求解即可,属于基础题型.16.在中，角的对边分别是，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理可将化为，所以可得，又，由基本不等式,即可求其最小值.【详解】由正弦定理，可化为化简得，即，所以，当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角函数与基本不等式的综合，需要学生熟记三角恒等变换、正弦定理、基本不等式等相关知识点，属于中档题型.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列为递增数列，且，数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) , (2) 【解析】【分析】(1)先由，求出等比数列的通项公式；然后由可知数列为等差数列，又由，即可确定其首项和公差，从而可得的通项公式;(2)由可先出的通项公式，再由错位相减法即可求其前n项和.【详解】（1）对于数列，（，）即 又为递增数列则 对于数列，由，为定值知数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，（2）由（1）得【点睛】本题第（1）问主要考查等比数列与等差数列的通项公式，只需熟记公式即可求解；第(2) 问主要考查错位相减法求数列的前n项和，按错位相减法的一般步骤，认真计算即可得出结果.18.如图，在四棱锥中，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）已知点在线段上，且，求点到平面的距离.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)要证平面，只需证明，即可.由勾股定理易证，又由可得 平面，进而可得，因此可得结论成立.(2)法一：可由等体积法求解，由，易得点到平面的距离；法二：先证，由三角形相似，也可求出点到平面的距离.【详解】（1）在底面中，且，又，平面，平面平面 又平面 ， 又，平面，平面平面（2）方法一：在线段上取点，使，则又由（1）得平面，平面又平面，作于 又，平面，平面平面 又平面 设点到平面的距离为则由得点到平面的距离 方法二：由（1）知平面，平面平面，平面平面，平面平面 平面平面平面又平面，平面 ， 平面平面由得平面，平面平面又平面平面 过作交于点 平面即的长就是点到平面的距离.在中， 【点睛】本题第（1）问主要考查直线与平面垂直的判定，由线面垂直的判定定理即可求解;第（2）主要考查空间中点到面的距离，一般采用等体积法求解.19.某企业共有员工10000人，下图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入（单位：万元）频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图计算样本的平均数.并以此估算该企业全体员工中年收入不低于样本平均数的人数（同一组中的数据以这数据所在区间中点的值作代表）；（2）若抽样调查中收入在万元员工有2人，求在收入在万元的员工中任取3人，恰有2位员工收入在万元的概率；（3）若抽样调查的样本容量是400人，在这400人中：年收入在万元的员工中具有大学及大学以上学历的有，年收入在万元的员工中不具有大学及大学以上学历的有，将具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工人数填入下面的列联表，并判断能否有的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异？具有大学及大学以上学历不具有大学及大学以上学历合计万元员工万元员工合计附：；0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）5100人（2）（3）见解析【解析】【分析】先由频率分布直方图得到每个收入区间对应的频率；(1)先求样本平均数等于每组收入区间中点的值与该组频率乘积的和，再由频率分布直方图即可得到年收入不低于平均数的频率，进而可得对应人数；(2)用列举法分别写出在万元的员工中任取3人和恰有2位员工收入在万元所包含的基本事件，即可得出结果.(3)根据题中条件先完善列联表，再由，计算出的观测值k,对应附表即可做出判断.【详解】由频率分布直方图得收入区间与频率对应如下表收入区间 频率0.100.150.400.250.10（1）根据统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表.所以样本平均数 （万元）由频率分布直方图的抽样得：年收入不低于平均数的频率是0.51.以此估计该企业全体员工中年收入不低于平均数的频率是0.51.该企业不低于年均收入的人数约是人（2）由上面收入区间与频率分布对应表可求得：若在有2人（分别记这2人为甲、乙），那么在就有3人（分别记这3人为、），所以在有5人.甲乙 12345678910由表知，从收入在的5人中任意抽取3人共有10种抽法，其中恰有2位员工收入在抽法共有6种所求概率（3）样本容量为400人时，由收入区间与频率对应表知：在收入在和内都有40人.由已知条件下面的列联表具有大学及大学以上学历不具有大学及大学以上学历合计万元员工162440万元员工281240合计443680 有的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异【点睛】本题第（1）问主要考查利用频率分布直方图求样本均值；第（2）问主要考查列举法求古典概型的概率；第（3）问主要考查独立性检验，均属于基础题型.20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆的周长为.（1）求抛物线的方程；（2）已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线于、两点，试求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】(1)由的外接圆与抛物线的准线相切可得，外接圆的半径，从而可得p,进而可得抛物线方程;(2)先设直线的方程为，由直线方程与抛物线方程联立可得，由判别式等于0，可得，再由题意求出点A、点B坐标，即可直接求的值.【详解】（1）的外接圆的圆心必在线段的中垂线上且外接圆与准线相切，外接圆的周长为外接圆的半径 即抛物线的方程为（2）解法一：由题知直线的斜率存在且不为0 可设：由消去得直线与抛物线只有一个公共点，即直线：与准线交于即 同理 解法二：由题知直线不与坐标轴垂直可设：由消去得直线与抛物线只有一个公共点即直线：与准线交于即 同理 解法三：设切点为则：令得即令得即【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法和直线与抛物线位置关系，思路较清晰，但计算量较大，需要学生认真计算，属于中档题型.21.（1）已知函数，函数的导函数为.求函数的定义域；求函数的零点个数.（2）给出如下定义：如果是曲线和曲线的公共点，并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则称曲线与曲线在点处相切，点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线：与曲线：是否在某点处相切？若是，求出所有切点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）定义域在定义域上的零点个数(2)见解析【解析】【分析】(1)由得，即可得定义域; 先由题意得 ，再构造函数，讨论或，研究函数F(x)单调性，即可得出其零点个数;(2)由（1）中知在定义域上有且只有0一个零点,则方程在定义域上有且只有1这一个解，从而可得公共点为，分别求函数f(x)、g（x）在处的导数，即可验证该点为公共切点.【详解】（1）令得 即定义域由题意得 其中是增函数 若 则有下表0-0+-0+ 极小值在定义域上有且只有0一个零点 若在上是增函数且，存在唯一的，使得，且有下表-0+-0+ 极小值 （i）令 则0-0+极小值， （ii）由（i）上方表格的最后一行及（）（）得在定义域上有且只有两个零点综上，在定义域上的零点个数（2）由（1）中知在定义域上有且只有0一个零点方程在定义域上有且只有1这一个解又 曲线与曲线有且只有一个公共点又，曲线与曲线在处的切线方程均为即曲线与曲线仅在一个点处相切，这个点的坐标为【点睛】本题第（1）问主要考查利用导数的