第七章 弯曲强度.ppt

第七章弯曲强度 第一节工程实际中的弯曲问题 简支梁 外伸梁 悬臂梁 根据梁的支承情况 在工程实际中常将梁分为三种类型 通过梁的轴线和截面对称轴的平面叫做纵向对称面 在多数情况下 梁上的外力均垂直于梁的轴线 并作用在纵向对称面内 在这样的外力作用下 梁的轴线在纵向对称面内弯曲成为一条平面曲线 这种弯曲变形称为平面弯曲 分析弯曲构件时要进行三方面的简化 一是构件的简化 二是载荷的简化 三是支座的简化 第二节梁的内力 剪力和弯矩 1 剪力和弯矩梁弯曲时横截面上一般存在两个内力分量 其中力FQ称为剪力 力偶矩M称为弯矩 它们的大小 方向或转向可根据截面法确定 符号规定 左上右下 剪力为正 左顺右逆 弯矩为正 解 1 首先取整个梁为研究对象 画受力分析图 由平衡方程求出梁的支座反力为 2 用截面法求内力在用截面n n截取左段梁为研究对象 并设截面上剪力Q的方向和弯矩M的转向均为正 如图4 10b所示 由平衡方程 规律 所取部分的全部外力向截面形心简化的主矢FQ 主矩M 横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧或右侧梁上外力的代数和 符号按刚才规定确定 横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上外力对该截面形心的力矩的代数和 符号按上面规定确定 例如 运用这一方法再来求解例1时 如欲取截面右侧的一段梁为研究对象 只须假想一张纸将左段梁盖住 将右段梁的外力按内力符号规定向截面形心简化就可写出 2 剪力图和弯矩图 梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的 其变化规律 可以用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置 将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数 即 这两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程 平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置 以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩 画出剪力和弯矩与x的函数曲线 这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图 解 1 列剪力方程和弯矩方程由平衡方程 2 画剪力图和弯矩图从上知道 剪力FQ不随截面位置而变 弯矩在OxM坐标中可由两点确定 在x 0处 M 0 在 处 M pl 由此可作出梁的弯矩图如图4 12所示 由于各截面上的弯矩皆为负值 故画在横坐标下面 由图可见 绝对值最大的弯矩位于B端 其绝对值为 解 1 求支座反力在求此梁横截面上的剪力或弯矩时 无论截取哪一边的梁为研究对象 其上的外力都不可避免地包括一个支座反力 因此须先求出梁的支座反力 2 列剪力方程和弯矩方程列平衡方程 由于q是单位长度上的载荷 所以梁上的总载荷为ql 又因梁左右对称 可知两个支座反力相等 由此得 3 画剪力图和弯矩图由剪力方程可知剪力图为一直线 且在x 0处 Q ql 2 x l处 Q ql 2 由此可画出梁的剪力图如图4 13c所示 由弯矩方程可知弯矩图为一抛物线 在x 0和x l处 M 0 在x l 2处 M ql2 8 再适当确定几点后可作弯矩图如图4 13d所示 在梁的中点截面上 剪力Q 0 弯矩最大 其值为 由剪力图及弯矩图可见 在靠近两支座的横截面上剪力的绝对值最大 为 例4图a所示为一简支梁 在C点受集中力P的作用 作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力以整个梁为研究对象 由平衡方程 可求得 2 列剪力方程和弯矩方程在此题中 由于C处有集中力P作用 故AC和CB两段梁的剪力方程和弯矩方程不同 必须分别列出 AC段 在距A端x处取一横截面 其左侧梁上的外力只有RA 方向向上 按左上右下的规则知 由它引起的剪力为正值 故可列出方程为 0 x a a RA对截面形心之矩为RAx 顺时针方向 按左顺右逆的规则知 由它引起的弯矩为正值 故可列出弯矩方程为 CB段 在CB段内距A端x处取一横截面 其上的剪力为截面左侧梁上的外力RA和P的代数和 按左上右下的规则 RA取正值 P取负值 故得剪力方程为 横截面上的弯矩为截面左侧梁上外力RA和P对截面形心之矩的代数和 并按左顺右逆的规则可列出弯矩方程 集中力使剪力图突变 集中力使弯矩图折曲 3 画剪力图和弯矩图 在机械传动中 常常使用斜齿轮和锥齿轮 作用在斜齿轮和锥齿轮上的啮合力 可分解为径向力Pr 切向力Pt和轴向力Pa 图4 15a 现在分析其中的轴向力Pa对轴的作用 图4 15b 将力Pa平移到轴线上 可简化为一个矩为M0 Par的力偶和一个轴向推力Pa 图4 15c 式中r为轴向力Pa与轴线之间的距离 轴向推力使轴产生压缩 力偶则使轴产生弯曲 解 1 求支座反力设支座反力RA和RB皆向上 由平衡方程 2 列剪力方程和弯矩方程在集中力偶作用处将梁分为AC和CB两段 分别在两段内取截面 列梁的剪力方程和弯矩方程 3 画剪力图和弯矩图由两段的剪力方程可知 AC段和CB段各横截面上的剪力相同 两段的剪力图为同一水平线 由两段的弯矩方程可知 两段梁的弯矩图为倾斜直线 可作出梁的剪力图和弯矩图如图 b c 所示 由图可见 全梁各横截面上的剪力均为M0 l 在a b的情况下 绝对值最大弯矩在C点稍右的截面上 其值为 集中力偶使弯矩图突变 集中力偶不使剪力图变化 解 1 求支座反力设RA RB方向向上 由平衡方程 2 求弯矩方程分别在AC CB两段内取截面 由截面左侧梁上的外力 可得 3 画弯矩图由上式可知 两段梁的弯矩图为倾斜直线 确定直线端点的坐标后 作出梁的弯矩图如图b所示 绝对值最大的弯矩可能在梁的中点或B端的截面上 视P M0的具体数值而定 集中力偶使弯矩图突变 集中力使弯矩图折曲 思考题 规律 1 在梁上没有分布载荷的地方 剪力图为一水平线 弯矩图为一直线 且一般为一倾斜直线 2 在有均布载荷的一段梁内 剪力图为倾斜直线 弯矩图则为一抛物线 3 在集中力作用处 剪力图有突变 突变之值即为该处集中力之大小 弯矩图在此则为一折角 4 在集中力偶作用处 剪力图没有变化 弯矩图则有突变 突变之值即为该处集中力偶之力偶矩 集中力偶使弯矩图突变 集中力偶不使剪力图变化 叠加法 注意事项 1 不是简单形状叠加 是纵坐标值的叠加2 要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同符号纵坐标的累加3 按纵坐标方向划出有效区标志线 正负抵消的部分不可划标志线4 标明有效区的正负符号5 标注极值大小 解 先作梁在载荷作用下的弯矩图 再作梁在分布载荷作用下的弯矩图 这两个弯矩图的纵坐标均为正值 但为便于叠加 故将其分别画在横坐标轴的上下两侧 此即在集中载荷P和分布载荷共同作用下梁的弯矩图 横坐标轴上下两弯矩图纵坐标之和即代表叠加后的弯矩值 由图可见 最大弯矩在梁中点的截面上 其值为 3 剪力 弯矩和分布载荷集度间的关系 微分关系说明 剪力图中曲线上某点的斜率等于梁上对应处的载荷集度 弯矩图中曲线上某点的斜率等于梁在对应截面上的剪力 载荷集度 剪力图和弯矩图三者之间的一些关系 常遇到的情况 1 在梁上某一段内q 0时 Q为常数 M为x的一次函数 计算特殊点按x顺序连直线 2 在梁上某一段内q 常数时 Q为x的一次函数 M为x的二次函数 附加中间的特殊点值 用三点连抛物线 3 若均布载荷向下 剪力图曲线的斜率为负 为一向右下倾斜的直线 此时弯矩图曲线的斜率在逐渐减小 为一条凸形曲线 4 集中力使剪力图跳变 集中力偶使弯矩图跳变 跳变点左右值要分别计算 解 1 求支坐反力取全梁为研究对象 由平衡方程 2 画剪力图 i 分段 初步确定剪力图形状根据梁上载荷情况 将梁分为CA AD DB三段 CA段有均布载荷 剪力图为一倾斜直线 AD和DB段为同一条水平线 在A处剪力有突变 其突变之值即为该处支座反力的大小 在集中力偶作用的D处 剪力无变化 ii 求特殊截面上的剪力为画出CA段梁的剪力图 须确定C处横截面和A稍左处横截面上的剪力 因AD和DB段的剪力图为同一条水平线 则只须确定AB段内任一截面的剪力值即可 根据各横截面一侧 左侧或右侧 梁上的外力 可得 iii 作图将各特殊截面的剪力值标于坐标上 以直线连接 即可得全梁的剪力图如图4 21所示 由图可见 在A稍左处横截面上剪力的绝对值最大 其值为 3 画弯矩图 i 分段 初步确定弯矩图形状仍将全梁分为CA AD DB三段 CA段有向下的均布载荷 弯矩图为凸形的抛物线 在C处截面的剪力QC 0 故抛物线在C处为极值 应切于横坐标轴 AD DB两段则为傾斜直线 在A处因有集中力 弯矩图有一折角 在D处弯矩有突变 突变之值即为该处集中力偶之力偶矩 ii 求特殊截面上的弯矩为画出各段梁弯矩图 需求以下各横截面上弯矩 iii 作图在CA段内再适当算出几个弯矩值 标于坐标上 并与MC MA的坐标相连 画出抛物线 再以直线MA MD左和MD右 MB的坐标 可得全梁的弯矩图如图4 21c所示 由图可见 在D稍右处横截面上有绝对值最大的弯矩 其值为 小结 1 梁弯曲时横截面上有两个内力分量 剪力和弯矩 确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法 在掌握这一方法的基础上 也可以直接利用外力确定剪力和弯矩的数值和符号 即 横截面上的剪力等于此截面一侧梁上外力的代数和 横截面上的弯矩等于此截面一侧梁上外力对该截面形心之矩的代数和 左上右下 剪力为正 左顺右逆 弯矩为正 2 本章介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法 一是根据剪力方程和弯矩方程作图 二是用叠加法作图 三是根据内力图的一些规律来作图 其中 用剪力和弯矩方程作图是最基本的方法 是本章学习的重点 3 作剪力图和弯矩图的基本方法 可分为