勾股定理培优讲义.doc

戴氏教育蜀汉路校区 学生： 教师： 江老师 时间：戴氏教育蜀汉路校区数学讲义北师大版数学八年级上第一章、勾股定理复习讲义1、 要点概况、勾股定理（1）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么（3）勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：，化简得证、勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。、勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边勾股定理的逆定理：判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，（1）若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；（2）若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；（3）若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）、勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。勾股定理的巧用：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等。、勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论。、勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体。通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。常见图形：二、典例精讲及变式训练（一）直接考查勾股定理例：在中，。已知，求的长已知，求的长变式训练1-1：在ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（ ）.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于71-2：在tABC中，AC=9，BC=12，则AB2= 。1-3：直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用例2：请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？（三）利用勾股定理求边长、角、周长及面积例3：在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个直角三角形的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）变式训练3-1：中，=13，=15，高=12，求的周长。3-2：如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积（四）三角形形状的判定例4： 已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？变式训练4-1：如果一个三角形的三边长分别， ，判断这三角形的形状。4-2：如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是，那么这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定（五）实际问题中应用勾股定理例5：如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了变式训练5：如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？ （六）勾股定理及逆定理的综合运用例6：已知中，边上的中线，求证：证明：变式训练6-1：已知：四边形ABCD中，B ，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形ABCD的面积。变式训练6-2：如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么DEF是直角三角形吗？为什么？（七）勾股定理在折叠题中的运用例7：如图中，求的长变式训练7：矩形纸片中，厘米，厘米，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，重叠部分AEF的面积（八）极具“热点”的动态探究题例1：在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？图1变式训练8：如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角为求AO与BO的长；若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?三、课堂练习 1、以一个直角三角形的一条直角边为边长的正方形的面积为225，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为625，则以这个直角三角形的另一条直角边为边长的正方形的面积为 。2、如图，一只蚂蚁在一个长方体表面沿图中所示方向从A爬到G，已知AB=4cm，BC=5cm，CG=12cm，则蚂蚁爬过的路程是 cm；若要使蚂蚁从A到G爬过的路程最短，则最短路程是 cm。 3、 下列说法中，错误的是（ ）A. ABC中，若B=C-A，则ABC是直角三角形B. ABC中，a2=(b+c)(b-c), 则ABC是直角三角形CABC中，A:B:C=3:4:5, 则ABC是直角三角形D. ABC中，a:b:c=3:4:5, 则ABC是直角三角形4、等腰三角形一条腰上的高与底边所成的角的度数等于（ ）A顶角 B.顶角的一半 C. 2倍的顶角 D. 全不对 5、下列各组线段中，不能作为直角三角形三边的是（ ）A16，30，34 B. 14，24，30 C24，30，40 D. 14，48，506、若ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（ ）A14 B.4 C.14或4 D.以上都不是7、已知：ABC中，BAC=Rt，ADBC于D，AB=4，AD=，求AC、BC的长。8、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，梯足将向外移多少米？四、中考体验1、（2011贵州贵阳，7，3分）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）72、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）（A） （B） （C）