5.4-T-C版教参.docx

第1讲 分数和小数混合运算补充1.计算：【解答】发现分母是一样的，先转化为假分数，然后提取公因数。补充2.计算下面各题：（1）0.76 （2）【解答】（1）原式（2）原式补充3.计算： 【解答】原式补充4.已知真分数的小数点后第一位数字开始的连续若干个数字之和是2000，求a。【解答】无论a取几，真分数的循环节均由1、4、2、8、5、7组成。所以每个循环节的和均为。，此真分数化成小数时，74个循环节过后的几位和是2。循环节以2开头，而只有的循环节是以2开始的，所以a2。讲次：5.4.1课题：分数小数混合运算序号题目讲授顺序1例12例23例34补充15例46补充27例58补充39例610补充4第2讲 定义新运算补充1.定义新运算“”：ab3a2b。（1）运算“”满足交换律吗？（2）运算“”满足结合律吗？（3）已知4k2，求k。【解答】（1）323322945，233223660，所以没有交换律。（2）3215113，3（21）317，所以没有结合律。（3）4k122k2，解得：k5。补充2.定义运算“”：abab（ab）。（1）运算“”满足交换律吗？（2）已知3（5x）3，求x。【解答】（1）baba（ba）ab（ab）ab，所以运算“”满足交换律。（2）3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5） 8x 133解得：x2。补充3.AB表示A、B之间（不包括A、B）所有奇自然数的和，例如12791120，计算（216）19。【解答】2到16之间奇数有3、5、7、9、11、13、15，所以216（315）7263。19和63之间的奇数从21到61，个数为（6121）2121，所以6319(6121)212861。补充4.对于任意自然数x、y，定义一种运算“”，规定:xyaxbycxy。其中的a、b、c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算。又知道123，234，并且对任意x总有xmx(m0)。m是多少？【解答】由0m0得a0bmc0m0，所以bm0。又m0，故b0。因此xyaxcxy。由123、234得：解得a5、c1。所以xy5xxy，5m1，故m4。讲次：5.4.2课题：定义新运算序号题目讲授顺序1例12补充13例24例35补充26例47例58补充39例610补充4第3讲 容斥原理 补充1.某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队。其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人；足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人。三项都参加的有多少人？【解答】根据容斥原理，每想参加的减去两项参加的加上三项参加的就是一共参加的。即 2522241298三项参加45，三项都参加的人数为45（2522241298）3。补充2.在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 【解答】100033331，能被3整除的有333个。10005200，能被5整除的有200个。1000156610，能同时被3和5整除的有66个。所以能被3或5整除的有33320066467（个）。不能被3或5整除的数共有1000467533（个）补充3.分母是1001的最简分数一共有多少个？【解答】100171113，分子在不大于1001，并且不能含质因数7，11，13。 在1至1001这1001个自然数中，能被7、11、13、77、91、143、1001整除的数分别有143、91、77、13、11、7、1个。能被7或11或13整除的数有1439177131171281（个），最简分数有1000281719（个）。补充4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧中的至少一种。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影；既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人；三种都喜欢看的有12人。只喜欢看电影的有多少人？【解答】根据容斥原理，设既喜欢看电影又喜欢看球赛的有x人，则显然有5838521816x12100。x26。那么只喜欢看电影的人就是喜欢看电影的人减去电影戏剧的减去电影球赛的再加上三样都喜欢的，有5216261222（人）。讲次：5.4.3课题：容斥原理序号题目讲授顺序1例12例23例34例45补充16补充27例58补充39例610补充4第4讲 数阵图补充1.将1至9 填人下图的圆圈内，使得每个圆周和每条直线上的3 数之和都相等，并且7 , 8 , 9 依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【解答】令每条直线和每个圆上数字和为S，则有6S（l23456789）2， 解出S15。将9 个数字分为3 组，每组3 个数字和为15。7、8、9在三条不同的直线上，剩下的易尝试出答案。补充2.下图中有3 个正三角形将1至9 填人它们顶点处的9 个圆圈内。要求每个正三角形顶点的3 个数之和都相等，并且通过4个圆圈的每条线上的4个 数之和也相等【解答】令每个三角形顶点3 数之和为S ，则3Sl23456789，S15。将所有数字分成数字和为15的三组（1,5,9）、(2,6,7)、(3，4，8)，任选其中一组填入最里面三角形。设里面三角形三个数是a、b、c，每条直线上的4 个数之和为K。列出等式 3K（123456789)(abc)60，K20。剩下的只需尝试。补充3.把1.2 、3.7、6.5、2.9、4.6 分别填在下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。这个最小的数是多少？【解答】设各小圆中的数依次为a1、a2、a3、a4、a5，则3 个正方形中的数依次为，继而求出三角形中的数值为。要使数值最小，a3中应该填入最小的数1.2 ，a2、a4中应该填入次大的2.9 和3.7 , a1、a5中填入4.6 和6.5，这样三角数等于3.1。补充4.把1至9这九个数填入下图中的九个小三角形中，使得每条边上的五个小三角形内的数的和都相等。这个和的最小值是多少？【解答】用a、b、c表示每边中间的数，如图所示。用S表示每边5个之和，由标次图可知：3S(1239)2(abc)90(abc)。要使和S最小，则abc尽量大，a、b、c可以取7、8、9,S90(789)322，尝试可得一解。 讲次：5.4.4课题：数阵图序号题目讲授顺序1例12例23例34例45例56例67补充18补充29补充310补充4第5讲 质数与合数 补充1.有三个自然数a、b、c，已知，求的积是多少？【解答】将30、35、42分解质因数：，。因为35和42共有的质因数是7，那么可以猜测。由此可知，所以abc657210。补充2.将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、5、14、24、27、55、56、99【解答】先分解质因数，然后把含有相同质因数的两个数分别放到两组中。、。根据质因数11，55和99会分在不同的组，不妨设55在第一组，99在第二组。根据质因数5，5在第二组。根据质因数3，27在第一组，24在第二组。即（2，27，55，56）一组，（5，14，24，99）一组。补充3.在36的因数中有多少个奇数？有多少个3 的倍数？【解答】先需要将36分解质因数，。奇因数不考虑质因数2，所以其余的质因数质数加1再相乘。有213（个）。3的倍数就是至少要有1个质因数3，所以质因数3的指数不需要加1，3的倍数有（21）26（个）。补充4.判断353是质数还是合数？【解答】假设353能分解成，因为，所以a18。因为353不能被2、3、5、7、11、13、17中任何一个数整除，所以a无解，即353是质数。讲次：6.5.5课题：质数与合数序号题目讲授顺序1例12例23补充14例35例46补充27例58例69补充310补充4第6讲 分数应用题 补充1.泡泡养了24只兔子，有白色和黑色两种，其中白兔占。后来又买了几只黑兔，这时黑兔占总数。泡泡买了几只黑兔？【解答】这道题白兔没变，根据白兔来求。白兔有（只），占后来兔子总数的。此时共有兔子（只），30246（只），买了6只黑兔。补充2.人民公园里原来柳树是树木的。今年又栽种了50棵柳树。这样，柳树的棵数就占了全部棵数的。原来一共有多少棵树？【解答】柳树意外的树棵树不变，设为单位“1”。柳树最初有，后来有，所以柳树以外的树有50（）300（棵）。柳树最初有300200（棵），原来共有树300200500(棵)补充3.加工一批零件。甲乙二人合作需12 天完成；现由甲先工作3 天，然后由乙工作2 天，还有的工作没完成。已知甲每比乙少加工4 个，这批零件共有多少个？【解答】甲工作3 天，乙工作2天”，相当于“二人合作2 天，再由甲独干1天”。甲、乙2天完成，所以甲一天完成。乙一天完成。这批零件共有（个）补充4.某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10 秒钟后他下车去追小偷。如其速度比小偷快一倍，比汽车慢。追上小偷要多少秒？【解答】设小偷的速度为单位“1”，则某人的速度为2，汽车速度为10。开始追时，两人相距10（110）110，追及时间为为110（21）110（秒）。讲次：5.4.6课题：分数应用题序号题目讲授顺序1例12例23例34补充15补充26例47例58例69补充310补充4第7讲 百分数应用题 补充1.哥哥和弟弟共有人民币10.8 元，哥哥用去自己的75 ，弟弟用去自己的80，两人所剩的钱正好相等。哥哥原来有多少钱？【解答】假设两人最后剩下的钱为单位“1”，则哥哥原来钱有，弟弟原来钱有。每人剩下的的钱为（元），哥哥原来有（元）。补充2.有一堆糖果，其中奶糖占45，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25那么，这堆糖果中有奶糖多少块？【解答】奶糖不变，把奶糖的数目看成单位“1”，刚开始时水果糖占奶糖的。后来水果糖是奶糖的倍，所以奶糖有（个），即奶糖有9块。补充3.甲校学生人数是乙校学生人数的40%，甲校女生人数是甲校学生人数的30%，乙校男生人数是乙校学生人数的42%。那么，两校女生总数占两校学生总数的百分之几？【解答】不妨设乙校学生人数为100人，那么甲校学生有10040%40（人）。甲校女生有4030%12（人），乙校中女生有100（142%）58（人）。所以，两校女生总数占两校学生总数的百分比为（1258）（10040）100%50%。补充4.如果一个三角形的底边长增加10%、底边上的高缩短10%，那么这个三角形的面积是原来三角形面积的百分之几？【解答】不妨设底边长为单位“1”，高为“2”。那么现在底边长为，高为。原来三角形的面积为，现在三角形的面积为，那么现在的三角形面积是原来的。 讲次：5.4.7课题：百分数应用题序号题目讲授顺序1例12例23补充14例35例46例57例68补充29补充310补充4第8讲 比例应用题 补充1.幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班中男生数与女生数的比为5：3，中班中男生数与女生数的比为2：1。大班有女生多少名？【解答】设大班女生有x名，则中班女生有（18x）名。根据男生数可列出方程：x35（18x）1232，解得x12，大班有女生12名。补充2.从一堆围棋子拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5。开始时黑棋子和白棋子各有多少枚？【解答】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（10：5）变为1:5。而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑棋有4591050（枚），白棋有5021540（枚）。补充3.一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2：5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8：13。小明原来有多少钱？【解答】这两种情况下两天的总钱数没有变化。第一次钱数有257份，第二次钱数有81321份。将每份的钱数统一，那么第一次钱数也分成21份，2:56:15。所以小刀是862（份）钱，小明原来有32812（元）钱。补充4.参加植树的同学共有720人。已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人。三个年级参加植树的各有多少人？【解答】假设四年级再来80人就和六年级人数同样多，即参加植树的同学共有72080800（人）。四、五、六三个年级的人数比为3:2:3，所以六年级参加植树的有800（323）3300（人）。五年级的有800（323）2200（人），四年级的有30080220（人）。讲次：5.4.8课题：比例应用题序号题目讲授顺序1例12例23例34例45补充16补充27例58例69补充310补充4第9讲 多人行程问题 补充1.甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，沿同一地点追赶前面的小明。他们三人分别用9分钟、15分钟、20分钟追上小明，已知甲每小时行24千米，乙每小时行20千米。丙每小时行多少千米？【解答】甲9分钟走了249603.6（千米），乙15分钟走了2015605（千米）。说明小明在6分钟走了1.4千米，速度为（53.6）（159）6014（千米/时）。丙20分钟走了514（2015）606（千米），丙速度为6206018.5（千米/时）。补充2.A、B两旅客分别从东、西两镇同时相向而行，A每分钟行120米，B每分钟行100米。一段时间后，A离中点还有480米的路程，B离中点还有880米的路程。东、西两镇距离多少千米？【解答】B比A少走了880480400（米），两人走了400（120100）20（分钟）。全程的一半为120204802880（米），两镇为288025760（米）。补充3.李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。三人同时在途中某地相遇，请问：骑车人每小时行驶多少千米？【解答】老师出发时，李华已经走了40.52（千米），相遇所需要的时间为（20.42）（441.2）2（小时）。相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算，4（20.5）10（千米）。所以张明要用21.50.5小时到相遇地点，速度为100.520（千米/时）。补充4.一列长110米的火车以每小时30千米的速度，向北缓缓驶去。铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。工人与学生将在何时相遇？【解答】工人速度为30（1101000）（153600）3.6（千米/时），学生速度为（0.111000）（123600）303（千米/时）。14时16分到两人相遇需要时间为（303.6）（660）（3.63）0.4（小时）24（分钟），162440，所以工人与学生在14时40分相遇。讲次：5.4.9课题：多人行程问题序号题目讲授顺序1例12例23补充24例35例46补充17例58补充39例610补充4第10讲 时钟问题 补充1.从3时开始，分针与时针第二次形成30度角的时间是3时几分？【解答】3时整，分针比时针落后90，到分针与时针第二次形成30度角时，分针在时针前30，所以分针比时针多走了9030120。时针每分钟走0.5，分针每分钟走6，所以用时120（60.5）21分，所以时间是3时21分。补充2.老王的手表是走时准确的，小李的表比老王的表每小时慢2分钟，小周的表比老王的表每小时快2分钟。8点时三只表对准，当小李的表指示12点时，小周的表指示几点几分？【解答】老王的表每走60分钟，小李的表走58分钟，小周的表走62分钟。小李表和小周表的速度比为58:62，小李的表走4小时后，小周的表走458624（小时），6016，所以小周的表指示12点16分。补充3.一天下午泡泡四点多到家，他发现此时时针和分针恰在“5”的两端，并且与“5”的距离相等，那么现在是几时几分？【解答】从四点到该时刻，时针与分针共走了180。时针每分钟走0.5，分针每分钟走6，180（60.5）27，所以现在是4时27分。补充4.小明家有一个老时钟，它的时针与分针每隔66分钟重合一次。如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际时间是几点几分？【解答】正常状态下时针与分针重合的时间间隔为（分），所以老式时钟每重合一次就比标准时间慢（分）。从12点开始的24时。分针转24圈，时针转2圈，分针比时针多转22圈，24小时恰好重合22次。所以24小时之后，老时钟慢了（分），实际时间是8点12分。讲次：5.4.10课题：时钟问题序号题目讲授顺序1例12例23例34例45补充16例57补充38例69补充210补充4第11讲 一元一次方程之分数篇补充1.用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32 块，缝制成一个足球。每个黑色皮块邻接的都是白色皮块，每个白色皮块相间的与3 个黑色皮块及3 个自色皮块邻接。这个足球上共有多少块白色皮块？【解答】设黑色皮块有x块，根据每个黑色皮块邻接的都是白色皮块，所以黑色周围共有个白色皮块。又因为每个白色皮块相间的与3 个黑色皮块邻接，所以每个白色皮块重复计算了3次，那么实际白色皮块应该有个。可列方程：，解得x12，白色皮块有321220（块）。补充2.【解答】此题可以先去小括号，再去中括号。也可以利用等式性质先去大括号：补充3.已知是方程的解，求m的值。【解答】将带入方程，得。整理得：，去分母并整理后可以解得：。补充4.包包看一本故事书。第一天看了全书的还多30页，第二天看了全书的少4页，还剩全书的没有看。这本故事书一共有多少页？【解答】设这本故事书共有x页，根据题意可列方程：解得x240，所以故事书一共240页。讲次：5.4.11课题：一元一次分数方程序号题目讲授顺序1例12例23例34补充25例46例57补充48例69补充110补充3第12讲 圆的周长与面积 补充1.下图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解答】阴影部分有4个圆减去他们重叠的部分。先看左图，黑色部分面积等于扇形面积减去三角形面积。再看右图，每个圆少的面积是黑色部分面积的四倍。那么，题目中求阴影部分面积就可以用四个圆的面积减去16个黑色部分。 黑色部分面积为（平方厘米），阴影部分面积为（平方厘米）。补充2.下图中两个相连的正方形的边长分别是6厘米、3厘米，求阴影部分的面积。【解答】左边的三角形底边为3、高为 6，面积为（平方厘米）。右边的图形可以看成是一个正方形去掉一个扇形得到的图形，面积为（平方厘米）。那么，阴影部分面积为是（平方厘米）。补充3.下图为一圈心相印圈纸的截面图，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴。若纸的厚度为0.4毫米，则中心的卷轴到纸用完时大约会转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（取3.14）【解答】层数可以用圆环的宽度除以厚度来计算，圆环的面积等于纸平铺后的横截面的面积。大约会转（206）20.04175（圈），纸的长度约为（厘米）。补充4.下图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的面积是多少？（3.14） 【解答】利用整体的面积减去白色的面积即可。大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3。阴影部分的面积就等于1个大圆的面积减去7个小圆的面积，阴影面积为（平方厘米）。讲次：5.4.12课题：圆的周长与面积序号题目讲授顺序1例12例23补充14例35例46例57补充48补充39例610补充2第13讲 扇形的周长和面积 补充1.下图中阴影部分的面积是多少？(单位：厘米，3.14）【解答】将所求阴影部分中的弓形沿圆弧移到右侧，则两块阴影构成了一个直角三角形，底为4、高为2，所以所求阴影部分的面积为4224（平方厘米）。补充2.如图，大圆半径为小圆的直径。已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为。这两个部分的面积之比是多少？（取3.14）【解答】将图中中间位置的阴影部分进行拆分，按箭头所指方向分别补到各圆中小弓形所缺失的部分中。空白区域构成了中心的大正方形，阴影部分构成了四个弓形的面积。 设小圆半径为r，则大圆的半径为2r。大圆面积为，正方形面积为。所以，。补充3.如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知ABBC10，那么阴影部分的面积是多少？【解答】阴影部分面积是一个三角形和一个弓形。其中三角形的底为10、高为5，面积为。弓形面积为扇形面积减去一个等腰直角三角形，是（平方厘米）。所以，阴影部分的面积为就是（平方厘米）。补充4.如图，AOB90，C为弧AB的中点。已知阴影甲的面积为16平方厘米，则阴影乙的面积是多少？【解答】甲在一个半圆中，半圆减去甲的面积就是下面空白的面积，而这部分面积比八分之一圆的面积少了一个乙。所以先比较半圆和八分之一圆的面积。设半圆的半径为r，那么半圆的面为，八分之一大圆的面积是。面积相等，那么他们减去同一块空白的面积，面积也相等。所以甲乙面积相等，乙的面积也是16平方厘米。讲次：5.4.13课题：扇形的周长和面积序号题目讲授顺序1例12例23补充14例35例46补充37例58补充49例610补充2第14讲 抽屉原理 补充1.有100个孩子，每人胸前都有1个号码，号码从1到100各不相同。请你挑出若干个