湖南省岳阳一中高一数学上学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（上）期末数学试卷一、本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合a=0，1，2，4，b=xr|1x4，则ab=（）a1，2，3，4b2，3，4c2，4dx|1x42函数y=log3（2x1）的定义域为（）a（1，+）bc1，+）d3某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（）a三棱锥b三棱柱c四棱锥d四棱柱4下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）ay=by=excy=x2+1dy=lg|x|5函数f（x）=ax1+4（a0，且a1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）a（5，1）b（1，5）c（1，4）d（4，1）6两圆和的位置关系是（）a相交b外离c外切d内切7如图，在长方体abcdabcd中，ab=6，aa=bc=4，则ad与bc所成的角等于（）a30b45c60d908设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若l，l，则b若，l，则lc若l，l，则d若l，l，则9水平放置的abc的直观图如图，其中bo=co=1，ao=，那么原abc是一个（）a等边三角形b直角三角形c三边中只有两边相等的等腰三角形d三边互不相等的三角形10一条直线经过点a（2，3），并且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程是（）ay+3=（x2）by3=（x+2）cy+3=（x2）dy3=（x+2）11若圆（x3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（）a（0，2）b（1，2）c（1，3）d（2，3）12设函数f（x）的定义域为d，若存在闭区间a，bd，使得函数f（x）满足：f（x）在a，b上是单调函数；f（x）在a，b上的值域是2a，2b，则称区间a，b是函数f（x）的“和谐区间”下列结论错误的是（）a函数f（x）=x2（x0）存在“和谐区间”b函数f（x）=2x（xr）不存在“和谐区间”c函数（x0）存在“和谐区间”d函数f（x）=log2x（x0）不存在“和谐区间”二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上.13已知两个球的表面积之比为1：9，则这两个球的半径之比为14log24=15已知点a（2，0），b（0，2），若点c是圆x22x+y2=0上的动点，则abc面积的最小值是16已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，当x0时，f（x）=x（x2）（1）画出函数f（x）的图象；（2）写出函数的解析式18已知全集u=r，a=x|3x782x，b=x|xm1，（1）求ua；（2）若ab，求实数m的取值范围19已知三角形三个顶点是a（5，0），b（4，4），c（0，2），（）求bc边上的中线所在直线方程；（）求bc边上的高ae所在直线方程20如图，在三棱锥pabc中，d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点已知paac，abbc，pa=6，ab=bc=8，df=5（1）求证：直线pa平面def；（2）求证：平面bde平面abc；（3）求直线pb与平面pac所成角的正弦值21已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+2x4y+k=0（kr）表示圆c（1）求圆心c的坐标；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，使直线l：x2y+4=0与圆c相交于m、n两点，且omon（o为坐标原点）？若存在，请求出k的值，若不存在，说明理由22已知函数f（x）对一切x，yr都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）证明f（x）在r上是减函数；（3）若关于x的不等式f（4x32x）+f（4xk）0在x0，1上有解，求实数k的取值范围2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合a=0，1，2，4，b=xr|1x4，则ab=（）a1，2，3，4b2，3，4c2，4dx|1x4【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】由a与b，求出两集合的交集即可【解答】解：a=0，1，2，4，b=xr|1x4，ab=2，4，故选：c【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2函数y=log3（2x1）的定义域为（）a（1，+）bc1，+）d【考点】函数的定义域及其求法 【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据对数函数的定义，真数大于0，列出不等式求出解集即可【解答】解：函数y=log3（2x1），2x10，解得x；函数y的定义域为（，+）故选：d【点评】本题考查了求对数函数定义域的应用问题，是基础题目3某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（）a三棱锥b三棱柱c四棱锥d四棱柱【考点】简单空间图形的三视图 【专题】空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形【解答】解：根据该几何体的三视图，得出该几何体是平放的三棱柱，如图所示；故选：b【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图，得出几何体表示什么图形，是基础题4下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）ay=by=excy=x2+1dy=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据偶函数的定义，可得c，d是偶函数，其中c在区间（0，+）上单调递减，d在区间（0，+）上单调递增，可得结论【解答】解：根据偶函数的定义，可得c，d是偶函数，其中c在区间（0，+）上单调递减，d在区间（0，+）上单调递增，故选：c【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5函数f（x）=ax1+4（a0，且a1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）a（5，1）b（1，5）c（1，4）d（4，1）【考点】指数函数的单调性与特殊点 【专题】计算题【分析】由题意令x1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出y的值为5，故所求的定点是（1，5）【解答】解：令x1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+4=5，即函数图象恒过一个定点（1，5）故选b【点评】本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标6两圆和的位置关系是（）a相交b外离c外切d内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【专题】计算题；规律型；直线与圆【分析】求出圆心与半径，利用圆心距与半径的关系推出结果即可【解答】解：圆的圆心（0，0）半径为1，的圆心（2，0）半径为3圆心距为：2=31等于半径差，所以两个圆内切故选：d【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，是基础题7如图，在长方体abcdabcd中，ab=6，aa=bc=4，则ad与bc所成的角等于（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】由bcad，知ada是ad与bc所成的角，由此能求出ad与bc所成的角【解答】解：bcad，ada是ad与bc所成的角，ab=6，aa=bc=4，aa=ad=4，又aaad，ada=45ad与bc所成的角为45故选：b【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧8设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若l，l，则b若，l，则lc若l，l，则d若l，l，则【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】空间位置关系与距离【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若l，l，则与相交或平行，故a错误；若，l，则l与相交、平行或l，故b错误；若，l，则l与相交、平行或l，故c错误；若l，l，则由平面与平面平行的判定定理知，故d正确故选：d【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养9水平放置的abc的直观图如图，其中bo=co=1，ao=，那么原abc是一个（）a等边三角形b直角三角形c三边中只有两边相等的等腰三角形d三边互不相等的三角形【考点】平面图形的直观图 【专题】计算题；转化思想【分析】由图形和ao=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边bc=bc，aobc，且ao=，故三角形为正三角形【解答】解：由图形知，在原abc中，aobc，ao=ao=bo=co=1bc=2ab=ac=2abc为正三角形故选a【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题10一条直线经过点a（2，3），并且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程是（）ay+3=（x2）by3=（x+2）cy+3=（x2）dy3=（x+2）【考点】直线的倾斜角 【专题】直线与圆【分析】设直线y=x的倾斜角为，0，），则，解得由于要求的它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，可得要求的直线倾斜角为，其斜率k=即可得出【解答】解：设直线y=x的倾斜角为，0，），则，解得要求的它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍，要求的直线倾斜角为，其斜率k=要求的直线的点斜式方程是y+3=（x2），故选：c【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系、点斜式，属于基础题11若圆（x3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（）a（0，2）b（1，2）c（1，3）d（2，3）【考点】直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】设圆心（3，5）到直线4x3y=17的距离为d，则由题意可得r1dr+1，利用点到直线的距离公式求出d的值，解不等式求得半径r的取值范围【解答】解：设圆心（3，5）到直线4x3y=17的距离为d，则由题意可得r1dr+1即r1r+1，解得 1r3，故选c【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题12设函数f（x）的定义域为d，若存在闭区间a，bd，使得函数f（x）满足：f（x）在a，b上是单调函数；f（x）在a，b上的值域是2a，2b，则称区间a，b是函数f（x）的“和谐区间”下列结论错误的是（）a函数f（x）=x2（x0）存在“和谐区间”b函数f（x）=2x（xr）不存在“和谐区间”c函数（x0）存在“和谐区间”d函数f（x）=log2x（x0）不存在“和谐区间”【考点】命题的真假判断与应用 【专题】新定义；函数的性质及应用【分析】a、b、c中，可以找出定义域中的“和谐区间”，从而作出正确的选择d中，假设存在“和谐区间”a，b，会得出错误的结论【解答】解：a中，当x0时，f（x）=x2在0，2上是单调增函数，且f（x）在0，2上的值域是0，4，存在“和谐区间”，原命题正确；b中，当xr时，f（x）=2x在1，2上是单调增函数，且f（x）在1，2上的值域是2，4，存在“和谐区间”，原命题错误；c中，当x0时，f（x）=2在0，1上是单调增函数，且f（x）在0，1上的值域是0，2，存在“和谐区间”，原命题正确；d中，当x0时，f（x）=log2x是单调增函数，假设存在a，b满足题意，则f（a）=2a，且f（b）=2b，即log2a=2a，且log2b=2b；22a=a，且22b=b，即4a=a，且4b=b；这与函数的单调性矛盾，假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题正确；故选：b【点评】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，是易错题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上.13已知两个球的表面积之比为1：9，则这两个球的半径之比为1：3【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；球【分析】运用球的表面积公式s=4r2，计算即可得到所求值【解答】解：设两个球的半径分别为r，r则由球的表面积公式可得，4r2：4r2=1：9，即有r2：r2=1：9，则有r：r=1：3故答案为：1：3【点评】本题考查球的表面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题14log24=0【考点】对数的运算性质 【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用【分析】利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：log24=lg4lg252=lg100+2=2+2=0故答案为：0；【点评】本题考查对数运算法则的应用，基本知识的考查15已知点a（2，0），b（0，2），若点c是圆x22x+y2=0上的动点，则abc面积的最小值是【考点】点到直线的距离公式 【专题】计算题【分析】将圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，由a和b的坐标求出直线ab的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线ab的距离d，用dr求出abc中ab边上高的最小值，在等腰直角三角形aob中，由oa=ob=2，利用勾股定理求出ab的长，利用三角形的面积公式即可求出abc面积的最小值【解答】解：将圆的方程整理为标准方程得：（x1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径r=1，a（2，0），b（0，2），直线ab解析式为y=x+2，圆心到直线ab的距离d=，abc中ab边上高的最小值为dr=1，又oa=ob=2，根据勾股定理得ab=2，则abc面积的最小值为ab（dr）=3故答案为：3【点评】此题考查了点到直线的距离公式，圆的标准方程，勾股定理，以及直线的两点式方程，其中求出abc中ab边上高的最小值是解本题的关键16已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是（21，24）【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得log3a=log3b=c2c+8=d2d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24由此求得abcd的范围【解答】解：由题意可得log3a=log3b =c2c+8=d2d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24故有 21abcd24，故答案为（21，24）【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，当x0时，f（x）=x（x2）（1）画出函数f（x）的图象；（2）写出函数的解析式【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】（1）化简可得f（x）=|x|（|x|2），从而作其图象，（2）化简解析式可得【解答】解：（1）函数f（x）是定义在r上的偶函数，且当x0时，f（x）=x（x2），故f（x）=|x|（|x|2），故作其图象如下，（2）【点评】本题考查了函数的图象的作法及函数的奇偶性的应用，同时考查了解析式的求法18已知全集u=r，a=x|3x782x，b=x|xm1，（1）求ua；（2）若ab，求实数m的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；补集及其运算 【专题】计算题；集合【分析】（1）化简集合a=x|3x782x=x|x3，从而求补集；（2）由ab知m13，从而解得【解答】解：（1）a=x|3x782x=x|x3，又全集u=r，ua=x|x3；（2）b=x|xm1，且ab，m13，m4，实数m的取值范围是m|m4【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题19已知三角形三个顶点是a（5，0），b（4，4），c（0，2），（）求bc边上的中线所在直线方程；（）求bc边上的高ae所在直线方程【考点】直线的两点式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式 【专题】计算题；直线与圆【分析】（i）求得线段bc的中点坐标为d（2，1），利用直线的斜率公式算出ad的斜率为，利用点斜式方程列式，化简即得bc边上的中线所在直线方程；（ii）求得直线bc的斜率，利用垂直直线斜率的关系算出bc边上的高ae的斜率为，再利用点斜式方程列式，化简即得bc边上的高ae所在直线方程【解答】解：（i）b（4，4），c（0，2），bc的中点坐标为d（2，1），可得直线ad的斜率为=因此直线ad方程为y=（x+5），化简得x+7y+5=0，即为bc边上的中线所在直线方程； （ii）直线bc的斜率为kbc=bc边上的高ae的斜率为k=由此可得直线ae的方程为y=（x+5），化简得2x3y+10=0即bc边上的高ae所在直线方程2x3y+10=0【点评】本题给出三角形三个顶点的坐标，求中线和高线所在直线的方程着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题20如图，在三棱锥pabc中，d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点已知paac，abbc，pa=6，ab=bc=8，df=5（1）求证：直线pa平面def；（2）求证：平面bde平面abc；（3）求直线pb与平面pac所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由d、e为pc、ac的中点，得出depa，从而得出pa平面def；（2）要证平面bde平面abc，只需证de平面abc，即证deef，且deac即可；（3）证明be平面pac连接pe，则bpe即为所求【解答】（1）证明：由于d，e分别是pc，ac的中点，则有pade，又pa平面def，de平面def，所以pa平面def （2）证明：由（1）知pade，又paac，所以peac，又f是ab的中点，所以deef，又efac=e，所以de平面abc，又de平面bde，所以平面bde平面abc（3）解：由（2）知de平面abc，又de平面pac，所以平面pac平面abc，又平面pac平面abc=ac，beac，be平面abc，所以be平面pac连接pe，则bpe即为所求，故【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，考查线面角，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是中档题21已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+2x4y+k=0（kr）表示圆c（1）求圆心c的坐标；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，使直线l：x2y+4=0与圆c相交于m、n两点，且omon（o为坐标原点）？若存在，请求出k的值，若不存在，说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；二元二次方程表示圆的条件 【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）由方程x2+y2+2x4y+k=变形为（x+1）2+（y2）2=5k，可得圆心c的坐标；（2）由于此方程表示圆，可得5k0，解出即可；（3）设m（x1，y1），n（x2，y2）与圆的方程联立可得0及根与系数关系，再利用omon，可得x1x2+y1y2=5y1y28（y1+y2）+16=0，即可解出k【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x4y+k=变形为（x+1）2+（y2）2=5k圆心c的坐标为（1，2）；（2）此方程表示圆，5k0，解得k5，故k的取值范围是（，5）；（3）设m（x1，y1），n（x2，y2）联立直线与圆可得5y216y+8+k=0，直线与圆相交，=16220（8+k）0，化为ky1+y2=，y1y2=x1x2=（42y1）（