导数与微分教案.doc

教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日授课章节第二章导数与微分 第一节导数的概念目的要求1导数定义2导数的几何意义重点难点导数定义复习3分钟第一节导数的概念一、 引例1变速直线运动的速度：由推出瞬时速度概念。2曲线切线斜率：由推出切线斜率概念。二、 导数定义给出函数y=f (x)增量的概念：自变量增量；函数增量。1导数定义：设 f (x)在点x0 的某个邻域内有定义，且存在，则称y=f (x)在点x0可导，且称该极限值为y=f (x)在点x0的导数，记等。说明：导数的等价形式 ,导数不存在，但称为导数为无穷大。导函数（简称导数）左可导、右可导。42分钟2求导数举：例 的导数注：“n”换成任意实数上述结论仍然成立。例 的导数同理可求的导数。例 的导数特别是的导数。例 的导数特别是的导数。例 的可导性三、 导数的几何意义：曲线在x0点的切线斜率：过x0点的切线方程：过x0点的法线方程：例 求等边双曲线在点（1/2，2）处的切线方程及法线方程例 求通过点（0，4）的切线方程四、 函数可导性与连续性的关系可导一定连续，而连续不一定可导。（简单分析）42分钟内容小结：导数定义导数的几何意义思考题：导数与导函数的关系.作业：P 85 6，7（3）（4）（6），11，15备注：分钟授课章节第二章导数与微分 第二节 导数的求导法则目的要求会求导数重点难点复合函数的求导问题复习（首先复习一下初等函数的求导公式）分钟第二节 导数的求导法则一、 函数的导数四则运算公式1 定理1 u(x),v(x)是可导函数，则 推广： 推广： 特例：2 举例例 ，求例 ，例 ，求例 ，求例 ，求同理可求得 二、 反函数的求导法则1定理2 如果函数在区间Iy内单调、可导，且，则它的反函数在对应区间Ix内单调、可导, 且分析：2举例例，求同理可求其它三个反函数的导数。42分钟三、 复合函数求导法则1 定理3 如果在点x可导，在点可导，则复合函数在点x可导，且其导数为注：与的区别。分析：2举例,求下列各函数的例 例 例 例 例 例 例 设x0, 证明(可不讲)例 例 ,(自己做)42分钟内容小结：导数的求导法则思考题：常数导数为零的几何意义.作业:P96 6(6)(9),7(8)备注：分钟授课章节第二章导数与微分 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数, 相关变化率目的要求导数计算重点难点隐函数求导、参数方程求导复习分钟第三节 高阶导数（首先复习一下初等函数的求导公式）一、 高阶导数二阶导数；记法。n阶导数；记法。二、 举例例 ，求例 ，求例 证明函数满足关系式例 求指数函数的n阶导数例 求的n阶导数（）例 求的n阶导数例 的n阶导数三、 莱布尼茨公式（只做作业中的一道题）42分钟第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数, 相关变化率一、 隐函数的导数1 显函数：如2 隐函数：如3 隐函数的显化：如4 隐函数的导数：举例例7 求由所确定的隐函数的导数。例8 求由所确定的隐函数在处的导数。例9 求椭圆在点（2，）处的切线方程。例10 求由所确定的隐函数的二阶导数导数。例11 求的导数。求的导数。二、 由参数方程所确定的函数的导数1 参数方程：如抛射体的运动轨迹，其中v1为水平方向初速度，v2为垂直方向初速度。2 由参数方程所确定的函数的导数分析：由可得3 二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求一次导）例7 已知椭圆参数方程，求在点相应的点处的切线方程。例8 计算参数方程的二阶导数。（可补充例题，把相关变化率放在下一次课讲）三、 相关变化率对于参数方程，与相互依赖的变化关系称为相关变化率。如500m v=140m/min(分) 0 500m一个气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速度为140m/分当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少？分析：42分钟内容小结： 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导思考题：若的导数存在, 作业:P96 3(1)，6(2)(4),8(5),P101 3(1)备注：分钟授课章节第二章导数与微分 第五节 函数的微分目的要求了解微分的计算公式及几何意义重点难点微分的计算公式复习分钟第五节 函数的微分一、 引例 二、 微分定义定义：设函数 在某区域内有定义，x0及x0+x在这区间内如果函数的增量为可表示为，其中A是不依赖于的常数，则称函数在点x0是可微的，称为函数的微分，记dy，即。三、 可微条件及计算公式函数在点x0是可微的充分必要条件是函数在点x0是可导，且分析：注：1 ，称为的线性主部。2 函数增量；值变量增量，且。3 由于，称导数为微商。四、 微分的几何意义（画图，简介用微分近似等于函数增量的近似计算方法。）42分钟五、 基本初等函数的微分公式与微分运算法则（书上P115）六、 举例例1 求函数在x=1和x=3处的微分。例2 求函数当的微分。例3 已知函数，求。例4 已知函数，求。例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。（1） d( )=x