甘肃省天水一中高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=1，2a，b=a，b，若，则ab为（）abcd2设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）a1bcd23下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （）abcd4等比数列an中，a3a5=64，则a4=（）a8b8c8或8d165已知函数f（x）=，若ff（0）=a2+4，则实数a=（）a0b2c2d0或26一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a3b4c2+4d3+47若动圆与圆（x+2）2+y2=4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）ay212x+12=0by2+12x12=0cy2+8x=0dy28x=08执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）a4b9c7d59已知，若，那么向量的夹角等于（）abcd10函数y=的图象大致为（）abcd11以双曲线（a0，b0）上一点m为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点f，且与y轴交于p、q两点若mpq为正三角形，则该双曲线的离心率为（）a4bcd12对于任意实数a，b，定义mina，b=，定义在r上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0x2时，f （x）=min2x1，2x，若方程f （x）mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）a1，1（ln2，）（，ln2）b1，）c1，1（ln2，）（，ln2）d（，）（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13若x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值是14（xy）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为（用数字填写答案）15已知数列an满足a1=3，an+1an=2n，则an=16在四面体abcd中，已知ab=ac=3，bd=bc=4，bd面abc则四面体abcd的外接球的半径为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值18袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子（1）求得分x的分布列；（2）求得分大于6的概率19直三棱柱abca1b1c1中，aa1=ab=ac=1，e，f分别是cc1，bc的中点，aea1b1，d为棱a1b1上的点（1）证明：abac；（2）证明：dfae；（3）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由20已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为f1，f2，且|f1f2|=2，点（1，）在椭圆c上（）求椭圆c的方程；（）过f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，且af2b的面积为，求以f2为圆心且与直线l相切的圆的方程21已知函数（）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当x0时，恒成立，求整数k的最大值；（）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）e2n3四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）选修4-1：几何证明选讲22如图所示，锐角三角形abc的内心为i，过点a作直线bi的垂线，垂足为h，点e为圆i与边ca的切点（1）求证a，i，h，e四点共圆；（2）若c=50，求ieh的度数选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的方程为（为参数），曲线c2的极坐标方程为c2：cos+sin=1，若曲线c1与c2相交于a、b两点（1）求|ab|的值；（2）求点m（1，2）到a、b两点的距离之积选修4-5：不等式选讲24（1）已知实数a，b满足|a|2，|b|2，证明：2|a+b|4+ab|；（2）已知a0，求证：a+22015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合a=1，2a，b=a，b，若，则ab为（）abcd【考点】子集与交集、并集运算的转换；并集及其运算【分析】由集合a与b的交集求出a，b的值，再求出集合a、b和它们的并集【解答】解：由得，a=1， ，b=1， ，ab=1，1， 故选d2设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）a1bcd2【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z=i（1i）=i+1，则|z|=故选：b3下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （）abcd【考点】变量间的相关关系【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是和【解答】解：两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，两个变量具有线性相关关系的图是和故选b4等比数列an中，a3a5=64，则a4=（）a8b8c8或8d16【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意和等比数列的性质可得a42=64，解方程可得【解答】解：等比数列an中，a3a5=64，由等比数列的性质可得a42=a3a5=64，解得a4=8，故选：c5已知函数f（x）=，若ff（0）=a2+4，则实数a=（）a0b2c2d0或2【考点】分段函数的应用【分析】由分段函数的表达式，先求f（0），再求ff（0），解关于a的方程即可【解答】解：函数f（x）=，f（0）=20+1=2，ff（0）=f（2）=4+2a=a2+4，a=0或a=2故选：d6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a3b4c2+4d3+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为s几何体=12+12+22=3+4故选：d7若动圆与圆（x+2）2+y2=4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）ay212x+12=0by2+12x12=0cy2+8x=0dy28x=0【考点】轨迹方程【分析】令动圆圆心p的坐标为（x，y），c1（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得p（x，y）到c1（2，0）与直线x=4的距离相等，化简可求【解答】解：设圆（x+2）2+y2=4的圆心c1（2，0），动圆圆心p的（x，y），半径为r，作x=4，x=2，pq直线x=4，q为垂足，因圆p与x=2相切，故圆p到直线x=4的距离pq=r+2，又pc1=r+2，因此p（x，y）到c1（2，0）与直线x=4的距离相等，p的轨迹为抛物线，焦点为c1（2，0），准线x=4，顶点为（1，0），开口向右，可得p=6，方程为：y2=12（x1）故选：b8执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）a4b9c7d5【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，执行循环体后，t=2，s=18，n=3，不满足退出循环的条件，当n=3时，执行循环体后，t=8，s=36，n=5，不满足退出循环的条件，当n=5时，执行循环体后，t=32，s=54，n=7，不满足退出循环的条件，当n=7时，执行循环体后，t=128，s=72，n=9，满足退出循环的条件，故输出的n值为9，故选：b9已知，若，那么向量的夹角等于（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【分析】代入向量夹角公式计算【解答】解：设向量的夹角为，则cos=故选：a10函数y=的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可【解答】解：由lnx0得，x0且x1，当0x1时，lnx0，此时y0，排除b，c，函数的导数f（x）=，由f（x）0得lnx1，即xe此时函数单调递增，由f（x）0得lnx1且x1，即0x1或1xe，此时函数单调递减，故选：d11以双曲线（a0，b0）上一点m为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点f，且与y轴交于p、q两点若mpq为正三角形，则该双曲线的离心率为（）a4bcd【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可设f（c，0），mfx轴，可设m（c，n），n0，设x=c，代入双曲线的方程，可得m的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|pq|=2，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：由题意可设f（c，0），mfx轴，可设m（c，n），n0，设x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，即有m（c，），可得圆的圆心为m，半径为，即有m到y轴的距离为c，可得|pq|=2，由mpq为等边三角形，可得c=2，化简可得3b4=4a2c2，由c2=a2+b2，可得3c410c2a2+3a4=0，由e=，可得3e410e2+3=0，解得e2=3（舍去），即有e=故选：d12对于任意实数a，b，定义mina，b=，定义在r上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0x2时，f （x）=min2x1，2x，若方程f （x）mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）a1，1（ln2，）（，ln2）b1，）c1，1（ln2，）（，ln2）d（，）（，）【考点】函数奇偶性的性质【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除b，d易得当过（3，1），（3，1）点时恰有三个交点，此时m=，故选a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13若x，y满足不等式组，则z=x+y的最小值是【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，z=x+y，化为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过a（1，1）时，目标函数有最小值，zmin=1+1=故答案为：14（xy）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为20（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8含x2y6的系数是28，（xy）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：828=20故答案为：2015已知数列an满足a1=3，an+1an=2n，则an=n2n+3【考点】数列递推式【分析】依次写出a1=3，a2a1=2，a3a2=4，anan1=2（n1），从而解得【解答】解：a1=3，a2a1=2，a3a2=4，anan1=2（n1），上式相加可得，an=2（n1）+2（n2）+2（n3）+4+2+3=n2n+3，故答案为：n2n+316在四面体abcd中，已知ab=ac=3，bd=bc=4，bd面abc则四面体abcd的外接球的半径为【考点】球的体积和表面积【分析】利用余弦定理和正弦定理求出：abc的外接圆半径r，结合球心到平面abc的距离，可得球半径【解答】解：在abc中，ab=ac=3，bc=4，cosa=，则sina=，由正弦定理得：abc的外接圆半径r满足：2r=，则r=，又由bd面abc，bd=4，故球心到面abc的距离d=2，故四面体abcd的外接球的半径r=，故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinc，进而求得c（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csina正弦定理得，a锐角，sina0，又c锐角，（2）三角形abc中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosc即7=a2+b2ab，又由abc的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=518袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子（1）求得分x的分布列；（2）求得分大于6的概率【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】（1）x的取值为5、6、7、8分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列（2）根据x的分布列，能得到得分大于6的概率【解答】解：（1）x的取值为5、6、7、8，x的分布列为 x 5 6 7 8 p（2）根据x的分布列，可得到得分大于6的概率为：19直三棱柱abca1b1c1中，aa1=ab=ac=1，e，f分别是cc1，bc的中点，aea1b1，d为棱a1b1上的点（1）证明：abac；（2）证明：dfae；（3）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明ab面a1acc1即可（2）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明（3）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】（1）证明：aea1b1，a1b1ab，aeab，又aa1ab，aa1ae=a，ab面a1acc1又ac面a1acc1，abac，（2）以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则有，设且（0，1），即（x，y，z1）=（1，0，0），则d（，0，1），所以dfae；（3）结论：存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为，理由如下：由题可知面abc的法向量，设面def的法向量为，则，即，令z=2（1），则平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为，即，解得或（舍），所以当d为a1b1中点时满足要求20已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为f1，f2，且|f1f2|=2，点（1，）在椭圆c上（）求椭圆c的方程；（）过f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，且af2b的面积为，求以f2为圆心且与直线l相切的圆的方程【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程（）先看当直线lx轴，求得a，b点的坐标进而求得af2b的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设a（x1，y1），b（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而根据表示出|ab|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程【解答】解：（）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆c两焦点坐标分别为f1（1，0），f2（1，0）a=2，又c=1，b2=41=3，故椭圆的方程为（）当直线lx轴，计算得到：，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0显然0成立，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，又即，又圆f2的半径，所以，化简，得17k4+k218=0，即（k21）（17k2+18）=0，解得k=1所以，故圆f2的方程为：（x1）2+y2=221已知函数（）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当x0时，恒成立，求整数k的最大值；（）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）e2n3【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明【分析】（）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（）当x0时，恒成立，即在（0，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；（）由（）知：，从而令，即可证得结论【解答】（）解：由题，故f（x）在区间（0，+）上是减函数；（）解：当x0时，恒成立，即在（0，+）上恒成立，取，则，再取g（x）=x1ln（x+1），则，故g（x）在（0，+）上单调递增，而g（1）=ln20，g（2）=1ln30，g（3）=22ln20，故g（x）=0在（0，+）上存在唯一实数根a（2，3），a1ln（a+1）=0，故x（0，a）时，g（x）0；x（a，+）时，g（x）0，故，故kmax=3（）证明：由（）知：，令，又ln（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）=ln（1+12）+ln（1+23）+ln（1+n（n+1）=即：（1+12）（1+23）（1+34）1+n（n+1）e2n3四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号（在答题卡上将你所选题号涂黑）选修4-1：几何证明选讲22如图所示，锐角三角形abc的内心为i，过点a作直线bi的垂线，垂足为h，点e为圆i与边ca的切点（1）求证a，i，h，e四点共圆；（2）若c=50，求ieh的度数【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理【分析】（1）由于i切ac于点e，可得ieac，又ahih，可得a、i、h、e四点共圆；（2）在此圆中ieh与iah对同弧再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出【解答】（1）证明：由圆i与ac相切于点e得ieac，结合hiah，得aei=ahi=90，所以a，i，h，e四点共圆（2）解：由（1）知a，i，h，e四点共圆，在此圆中ieh与iah对同弧，ieh=hai锐角abc的内心为i，ai、bi分别是bac、abc的平分线，可得hia=abi+bai=abc+bac=（abc+bac）=90c，结合ihah，得hai=90hia=90（