高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用（二）课件 苏教版选修23.ppt

1 5 2二项式系数的性质及应用 二 第1章1 5二项式定理 学习目标1 进一步理解并掌握二项式系数的性质 2 能解决二项式系数的最大 最小问题 3 会解决整除问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点二项式系数的性质 一般地 a b n展开式的二项式系数有如下性质 1 2 3 当r 时 当r 时 4 2n 特别提醒 1 当n为偶数时 二项式系数中 以最大 当n为奇数时 二项式系数中以和 两者相等 最大 题型探究 例1 1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 解答 类型一二项式系数或系数最大项问题 1 2x 8的展开式中 二项式系数最大的项为 解得5 r 6 r 5或r 6 系数最大的项为t6 1792x5 t7 1792x6 1 求二项式系数最大的项 根据二项式系数的性质 当n为奇数时 中间两项的二项系数最大 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式组的方法求得 反思与感悟 跟踪训练1在的展开式中 1 系数的绝对值最大的项是第几项 解答 解得5 r 6 又 0 r 8 r n r 5或r 6 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项 2 求二项式系数最大的项 解二项式系数最大的项为中间项 即第5项 解答 3 求系数最大的项 解由 1 知 展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大 而第6项的系数为负 第7项的系数为正 解答 例2求证 2n 2 3n 5n 4 n n 能被25整除 证明原式 4 6n 5n 4 4 5 1 n 5n 4 类型二利用二项式定理解决整除问题 证明 以上各项均为25的整数倍 故2n 2 3n 5n 4能被25整除 利用二项式定理证明或判断整除问题 一般要进行合理变形 常用的变形方法就是拆数 往往是将幂底数写成两数的和 并且其中一个数是除数的因数 这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数 进而可判断或证明被除数能否被除数整除 若不能整除则可求出余数 反思与感悟 跟踪训练2求证 5151 1能被7整除 证明5151 1 49 2 51 1 证明 显然能被7整除 所以5151 1能被7整除 当堂训练 1 若 x3 n n n 的展开式中只有第6项系数最大 则该展开式中的常数项为 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由于展开式中只有第6项的系数最大 且其系数等于其二项式系数 所以展开式项数为11 从而n 10 于是得其常数项为c10 210 210 6 2 今天是星期一 今天是第1天 那么第810天是星期 答案 2 3 4 5 1 解析 解析求第810天是星期几 实质是求810除以7的余数 应用二项式定理将数变形求余数 一 所以第810天相当于第1天 故为星期一 3 设a z 且0 a 13 若512012 a能被13整除 则a 答案 2 3 4 5 1 解析 解析512012 a 52 1 2012 a 522012 522011 1 52 1 2011 1 2012 a能被13整除 只需 1 2012 a 1 a能被13整除即可 0 a 13 a 12 12 4 已知展开式中的第5项是常数 则展开式中系数最大的项是第 项 答案 2 3 4 5 1 解析 9 所以共17项 第9项系数最大 2 3 4 5 1 5 已知 a b n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大 则n 答案 解析 8 解析 a b n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大 二项展开式共有9项 即n 1 9 n 8 规律与方法 1 二项式系数的性质求二项式系数最大的项 根据二项式系数的性质 n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 3 余数及整除问题 1 求余数问题求余数的关键是将原数进行合理 科学的拆分 然后借助二项展开式进行分析 若最后一项是一个小于除数