河南省高三数学报告会 新课程背景下高考数学试题的研究 高考的变化趋势课件.ppt

新课程背景下高考数学试题的研究 高考的变化趋势2013 3 高考改革引发的思考 全国招生人数 中国教育在线日前发布的 2012年高招调查报告 显示 近几年全国高考人数下降百余万 高考中 三放弃 即放弃报名或考试 放弃志愿填报 放弃报到现象日趋普遍 与之相比 近年来 我国出国留学人数每年以近20 的速度增长 新课标高考试题特点分析 一 无论怎样考 几个基本原则不变 二 命题理念与时俱进 三 试题特点分析 1 适纲性原则 依据大纲 又不拘泥于大纲 2 整体性原则 从数学学科的基础性与整体性出发 选取其主体内容 试卷的设计应着眼于全体考生 3 导向性原则 遵循了 坚持有助于高校选拔新生 有助于中学实施素质教育和对学生创新意识 实践能力的培养 的原则 数学试卷也形成了比较稳定的风格 也即 考查全面 比例适当 布局合理 效度较高 能够区分 一 无论怎样考 几个基本原则不变 1 越来越重视核心知识的考查重视基础知识的考查 特别是支撑学科知识体系的重点的概念 性质 法则 公式 公理 定理的考查在试卷中占有一定比例 对教学有好的导向 植根教材 或略高于教材 在不同知识点间适当综合的基础题占整个试卷的50 以上 这些是课本中应知应会 高中数学学习必须掌握的内容 是继续学习的基础 对数学的主干知识考查力度大 贯穿高中数学课程的主要脉络的函数 几何 运算 算法 统计 概率 考查时了保持较高的比例 占整个试卷的87 并达到必要的深度 三 试题特点分析 2012年全国课标卷理10题 难度0 498 已知函数则y f x 的图像大致为 本题利用初等函数的解析式分析 通过研究性质 得出u函数的大致图像 利用函数的定义域及ln x 1 x 判断f x 的正负 就能很容易解决问题 陕西理科卷的第18题 本小题满分12分 如图 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外的一条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若a b 则a c 为真 写出上述命题的逆命题 并判断其真假 不需证明 本题考查重要的又是同学们应熟知的三垂线定理及逆定理的证明及表达 解题用的都是立体几何中最基本的方法 是对几何核心知识的考查 源于课本的定理证明 实际上是数学中最重要的内容 敢不敢拿来作为高考题 保证它还具有选拔功能 除了需要勇气外 还要对考生实际水平的了解 2012年山东理科卷的第16题 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标为 如果根据题意分析出点p旋转了2弧度 利用三角函数的定义和向量坐标表示的概念 即可以得出结果 题目设计精巧 把对概念的考查 放到一个全新的 圆的滚动这一真实情境中 并与运动变化结合 立意新颖 真正考查了对概念的认识 2 sin2 1 cos2 三角函数是高中学习的重要的周期函数 考查时围绕课标的要求 以其变换和性质为主 这类考题 常考常新 强调对数学本质的认识 强调函数本身的性质 在第二问 在讨论函数增区间时 增加了定义域的分析 这是对三角变换中 不都是恒等变形的基本认识 常规题精心设计 把陷阱设置在学生常发生错误的地方 使一些对概念的学习只限于记忆模仿的考生会有所忽略 2012年北京理科卷的第15题 难度0 76 已知函数 求f x 的定义域及最小正周期 求f x 的单调递增区间 分组分析表 难度曲线 所谓通法 即具有规律性和普遍意义的常规解题模式及方法 这种方法由题目条件出发 逐步分析 自然地将其总结出来 更贴近学生的思维认知层次 符合常人的思维习惯 追本溯源抓住本质 形成常规的解题意识和能力 使其 水到渠成 从而达到数学思维的 自然化 2 越来越重视核心方法的考查 2011年全国新课标21 难度0 296分 已知函数曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 3 0 求a b的值 如果当x 0 x 1时 求k的取值范围 发现f x 0的符号难以做出判断 到自觉退回对原函数f x 表达式的分析与变形 重新构造出易判断g x 符号的函数g x 这是一个不断反思 选择的过程 不管是方程有解 无解 问题 还是不等式恒成立 能成立 问题 都可以归结到函数的值域与最值问题范畴 通性 解决这类问题实质就是求函数的值域或最值 通法 通性通法的熟练掌握 有利于学生利用这种通法而 一招制胜 重视常见函数的值域与最值的教与学 对于常见函数的值域与最值贯穿于整个高中数学的始终 高中课程标准教学要求上所指的常见函数有 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 正弦函数 余弦函数 简单的分段函数 还应加入 分式函数 一次或二次组合而成 三次多项式函数 求函数值域与最值的方法 函数的单调性 不等式或导数 从几何直观上分析问题 2012年辽宁理科20 本小题满分12分 如图 椭圆 a b 0 a b为常数 动圆点a1 a2分别为c0的左 右顶点 c1与c0相交于a b c d四点 求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程 设动圆与c0相交于a b c d 四点 其中b t2 a t1 t2 若矩形abcd与矩形a b c d 的面积相等 证明 为定值 2012年全国课标卷16 难度0 049 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前60项和为1830 3 高考命题对以能力立意的命题原则进行了新的探索 尝试总结新的命题原则 让题海战术失灵 向死记硬背说不 本题将基础知识 基本方法 基本技能和数学素养融为一体 在求解时 要善于从题目的条件和求解中提取有用的信息 结合相关的知识储备 推动题目信息的延伸 归结到某个确定的数学关系 最终确定求解方向 从而准确求解 本题解法多样 用到的知识与技能各具特色 本题的设计为我们指明了高中数学学习的方向 不能忽视基础和能力 相邻2个奇数项之和为2 相邻2个偶数项之和为4n 以多元化 多途径 开放式的设问背景 比较客观 全面地测量学生观察 实验 联想 猜测 归纳 类比 推广等思维活动的水平 激发学生探索精神 求异创新思维 以源于社会 源于生活的问题考查学生 有效地测量学生抽象 概括以及建立数学模型的能力 对学生认识世界 把握问题本质 灵活运用所学知识分析问题 解决问题的能力 课程标准后的高考 更加注重考查学科的学习能力 学科的素养以及对实际问题和数学问题的解决能力 2012年福建理科卷的第17题 本小题满分13分 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 sin213 cos217 sin13 cos17 2 sin215 cos215 sin15 cos15 3 sin218 cos212 sin18 cos12 4 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 5 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 i 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 ii 根据 i 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 2012年湖北文科卷的17 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数1 3 6 10 记为数列 an 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 b2012是数列 an 中的第 5030 项 b2k 1 用k表示 从强调知识点到整体把握课程 挖掘贯穿数学课程始终的主线 试卷中的知识点覆盖率不再是评价考查了 基础 的重要标准 有考查运用知识的数量到重视运用知识的质量 强调知识纵横 多向联系 要求思维线索四通八达 蕴涵于数学知识中的数学思想方法灵活运用 形成优化的知识网络 4 要求学生真正理解 整体的把握 从强调知识点到整体把握课程 挖掘贯穿数学课程始终的主线 试卷中的知识点覆盖率不再是评价考查了 基础 的重要标准 有考查运用知识的数量到重视运用知识的质量 强调知识纵横 多向联系 要求思维线索四通八达 蕴涵于数学知识中的数学思想方法灵活运用 形成优化的知识网络 4 要求学生真正理解 整体的把握 2012年北京理科14 已知f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若同时满足条件 x r f x 0或g x 0 x 4 f x g x 0则m的取值范围是 g x 0 x 1 x 1 f x m x2 m 3 x 2m m 3 0 x 4 g x 0 m m 2 m 1 0 m 2 综上 4 m 2 14题是一个二次函数 指数函数 根的分布 不等式的综合问题 条件 1 与分段函数其实是一回事 g x 0 理科第14题难度曲线图 理科第14题题目分析表 从两种曲线看 90分以前的考生和g4组以前的考生 几乎得零分 g6组的难度不到0 1 g7组高端考生难度才0 5 对105分到135分段的考生有很好的区分 2012年全国新课标理科20 难度0 101 满分12分 设抛物线c x2 2py p 0 的焦点为f 准线为l a为c上的一点 已知以f为圆心 fa为半径的圆f交l于b d两点 i 若 bfd 90 abd的面积为求p的值及圆f的方程 ii 若a b f三点在同一直线m上 直线n与m平行 且n与c只有一个公共点 求坐标原点到m n距离的比值 试题围绕解析几何重点展开 解答是需要多角度认识图形的几何性质并向代数形式转化 突出考查解析几何基本思想 在以往的考试中 圆锥曲线方面题目的计算繁琐复杂 技巧性很强 对学生计算能力和细心程度都有较高要求 而今年的试题中圆锥曲线的题目不论小题还是解答题运算量都比较小 这有利于考生有一个良好的心态去解决后面的解答题 并充分发挥自己的真实水平 并且今年的考题把抛物线 圆 切线 导数联系 更注重考查数学思维方法 反应高考重视从数学整体理解的要求 高考试题中 有不少精心设计的让考生短时内经历观察 实验 猜测 计算 推理 验证等活动过程 解决一些新颖的试题 考查他们的洞察力和创造性解决问题的能力 数学阅读理解能力是学生解决数学问题的基本能力 将数学问题的文字语言与图像 符号语言联系得快和准 解题就快 联系得准和好 解法就优 高考常将考查数学阅读理解能力的试题设计得更加新颖 位置放在了特别考查学生能力 体现区分 师生特别关注的展现课改精神的窗口位置 选择 填空 解答三类题目的最末一题位置 5 观察 探索 研究的学习方式的考查既成为试卷的亮点 体现新课标的理念 又能有好的选拔功能 2012年福建文16 某地图规划道路建设 考虑道路铺设方案 方案设计图中 求表示城市 两点之间连线表示两城市间可铺设道路 连线上数据表示两城市间铺设道路的费用 要求从任一城市都能到达其余各城市 并且铺设道路的总费用最小 例如 在三个城市道路设计中 若城市间可铺设道路的路线图如图1 则最优设计方案如图2 此时铺设道路的最小总费用为10 现给出该地区可铺设道路的线路图如图3 则铺设道路的最小总费用为16 这个问题需要学生在 认真读懂题意 准确理解题意 的基础上 带着 约定规则 题意 选择最小费用的两个城市开始 逐步往外扩展 从而得到最佳 费用最少 的设计方案 求出最小总费用 整个思维过程是学生在日常学习过程中形成的优秀思维品质的一种展现 不需要什么高深难的知识和方法 甚至小学生 初中生都可以很开心地解答此题 那种搞题海战术 死背题型 死记套路的学生 甚至老师 还可能出现一筹莫展 本题背景与学生生活联系紧密 分析和解决的问题学生感到很有实际意义 解决问题的过程考查了学生平常的学习习惯 行为素养 思维品质 像这样的高考题目才真正体现了引导素质教育的高考命题方向 文理科8 某棵果树前n年的总产量sn与n之间的关系如图所示 从目前记录的结果看 前m年的年平均产量最高 m的值为 a 5 b 7 c 9 d 11 方法1 由图可知6 7 8 9这几年增长最快 超过平均值 所以应该加入 因此选c 方法2 表示点与原点连线的斜率 当n 9时 斜率最大 理科平均分3 06 难度0 61 文科平均分3 08 难度0 62 文科整体比理科整体除g7组外 都比理科好 说明试题对阅读能力要求较高 背景公平 为大家熟悉 可以展现文科生的优势 不过数学优秀的理科考生 成绩还是最好 试题还是有选拔功能 理科第8题题目分析表 2012年北京文理科第17题 近年来 某市为促进生活垃圾的分类处理 将生活垃圾分为厨余垃圾 可回收物和其他垃圾三类 并分别设置了相应的垃圾箱 为调查居民生活垃圾分类投放情况 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨的生活垃圾 数据统计如下 单位 吨 1 试估计厨余垃圾投放正确的概率 2 试估计生活垃圾投放错误的概率 3 假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱的投放量分别为a b c 其中a 0 a b c 600 当数据a b c的方差s2最大时 写出a b c的值 结论不要求证明 并求此时s2的值 完整的体现了统计学收集数据 整理数据 分析数据 做出统计推断的统计思想 考察了学生的阅读能力 分析和处理数据的能力以及方差概念 既体现了应用意识又把环保的意识融汇到其中 对概率统计的教学方向具有导向作用 是课改的进一步深化 第三问是北京市的创举 方差的本质是什么 反映的是数据分布的离散程度 差距越大越好 a是600 b是0 c是0 不用算 想出结果 看起来只要把这个结论写下来就可以了 实际上是有非常缜密的思维过程 这对于很多平时依赖计算不求甚解的同学就很郁闷 34 的学生该题未能得一点分的严酷事实警醒我们 要真正培养学生终生受用的解决数学问题的基本能力 数学阅读理解能力 第17题题目分析表 本题得8 9 12 13分的考生所占比例较高 第一问得3分考生的比例为61 22 说明多数考生可以读懂图表 得出正确结论 本问考生表现较好 第二问得5分的比例为63 09 说明大部分考生能够正确的用样本估计总体 本题第三问得5分的同学仅为29 60 而得0分和1分的同学分别为31 99 23 05 说明考生对方差的概念掌握不好 考生没有充分理解方差最大即为数据离散程度最大的含义 出现对束手无策或简单从代数形式进行分析的现象 第17题数据分析 课程标准和考纲非常强调对应用意识和能力的考查 主要的知识考点至少有17个 如 了解函数模型的广泛应用 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 会用三角函数解决一些简单实际问题 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 能运用数列的等差关系或等比关系解决实际的问题 6 关注应用 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 了解圆锥曲线的简单应用 会利用导数解决某些实际问题 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 了解一些常见的统计方法 并能应用这些方法解决一些实际问题 2012年江苏理科卷的第17题如图 建立平面直角坐标系xoy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2千米 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 本题是标新立异 不落俗套 其背景是物理学中的斜上抛运动 按常规是要先建立轨迹方程 函数关系 再通过求最值解决问题 但本题在已知条件中给出了炮弹轨迹方程 二次函数 设置两问 都不用物理知识 只需运用二次函数与方程知识便可解决 背景公平 很有创意 第 问对考生的阅读理解能力 转化能力有一定的要求 解答本问的关键是读懂题意 正确转化 2012年上海理科卷的第21题海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置为原点 以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系 以1海里为单位长度 则救援船恰在失事船的正南方向12海里a处 如图 现假设 失事船的移动路径可视为抛物线 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救援船出发t小时后 失事船所在位置的横坐标为7t 1 当t 0 5时 写出失事船所在位置p的纵坐标 若此时两船恰好会合 求救援船速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 本题是是有关二次函数 反三角函数表示 函数最值及化归思想的函数类应用题 应用题 阅读能力的高低直接影响了学生的解题能力 首先认真读题 审题并正确理解题意是解题的前提 再次要学会用数学的语言表达题意 这是应用数学知识解决实际问题的关键 如 两船恰好会合 是什么意思 何为追上失事船 如何用数学式子表达 学生解决此题出现的错误大多是因为不能正确理解题意或错误理解题意所致 另外就是不能用数学语言正确表达题意 2012年全国新课标理科卷的第18题 难度0 316 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n n 的函数解析式 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进16枝玫瑰花 x表示当天的利润 单位 元 求x的分布列 数学期望及方差 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 高考 课标 试卷的导向 不增删学习内容 重视合情推理 关注学会学习 反对模式化训练 强调最本质数学 让题海战术失灵 向死记硬背说不 数列问题不超纲 也可以出难中易各类题型 并有好的选拔功能 数列新老大纲比较 变化大 过去数列往往运用递推关系 考查考生高层次的数学能力 常作为压轴的难题 新课标对递推降低要求 如何考 成为广大教师关注的问题 新课标高考以来 有关数列的试题有些既有区分度 又符合大纲的好题 2012年北京文6 平均分3 14 难度0 63 区分度0 37 已知为 an 等比数列 下面结论中正确的是b a a1 a3 2a2 b c 若a1 a3 则a1 a2 d 若a3 a1 则a4 a2 题目分组分析表