矩阵及其基本算法.ppt

矩阵及其基本算法 计13刘汝佳 矩阵及其基本算法 矩阵的表示矩阵的基本运算小结和应用举例 一 矩阵的表示 三角矩阵的压缩表示法稀疏矩阵的三元组表示法稀疏矩阵的十字链表表示法 矩阵在形式上最直接的表示是一个二维数组 但是在一些特殊的场合中 我们需要引入一些特殊的方法来表示一些特殊的矩阵 在本节中 大家还将了解到以下几种表示方法 矩阵的二维数组表示法 structTMatrix intn m intnumbers MAXN 1 MAXN 1 我们用二维数组很容易表示一个矩阵 加上矩阵的维数M和N 我们可以定义一个TMatrix结构 这就是矩阵的二维数组表示法 怎么样 容易吧 三角矩阵的压缩表示 1 N阶上三角矩阵 对称矩阵和反对称矩阵都只需要储存主对角线以上的共 N 1 N 2个元素 因此 我们可以用一个大小为 N 1 N 2的一维数组来表示 不过 我们需要一个公式 把每个元素原来的位置 i j 映射到一维数组的下标k 三角矩阵的压缩表示 2 我们从上到下 从左到右地储存各个元素 如下图 Aij前面的数的个数为 计算得 稀疏矩阵 在前面的二维数组表示法中 我们表示一个N M的矩阵需要N M个内存单元 如果已知矩阵中存在着大量的0元素 那么这种表示方法是很浪费空间的 由于非零元素的个数L十分有限 我们可以只储存下这L个元素的位置和大小 占用的空间便会少得多 稀疏矩阵的三元组表示法 显然 表示稀疏矩阵最直接的方法就是仅记录下非零元素的个数L和这L个元素的位置 row col 和大小 value 即下面这个结构 structTMatrix2 intl introw MAXL col MAXL value MAXL 稀疏矩阵的十字链表表示 1 三元组表示法比较好的解决了稀疏矩阵的空间存储问题 却忽视了稀疏矩阵可能进行了一些基本操作 考虑两个稀疏矩阵A和B相加的问题 对于运算结果矩阵C来说 可能会因为正负抵消而产生出很多新的零元素和非零元素 导致三元组需要进行一些插入和删除操作 当这些操作很频繁的时候 程序的速度会明显变慢 在某些特定情况下 我们需要对元素进行检索 由于三元组的元素之间联系并不紧密 所以检索很不方便 稀疏矩阵的十字链表表示 2 为了加强同一行和同一列之间元素的联系 我们把每一行分别做成一个链表 把每一列也分别做成一个链表 通过对链表的遍历 我们可以很方便的按顺序访问到某一特定行或列的所有元素 插入和删除操作也很方便 这样 我们了建立一种十字型的链表结构 每个结点有上 下 左 右四个指针和自身的位置坐标 大小共7个域 稀疏矩阵的十字链表表示 3 结点类型如下定义 structTnode introw col intvalue Tnode left right up down row col分别为该非零元素的位置 value为它的值 left right up down分别为指向四个方向的后继元素 稀疏矩阵的十字链表表示 4 为了方便的找到每一个包含非零元素的行和列 我们把所有行串在一起 组成一个行链表 把所有列也串在一起 组成一个列链表 像这样 structTRow intRowNo TNode firstnode structTCol intColNo TNode firstnode 矩阵表示方法小结 矩阵的表示方法和应用是分不开的 我们衡量一种表示方法的优劣 需要从不同的角度进行分析 适用范围空间需求量基本操作的时间消耗实现的难易程度以上几种方法都在某些方面表现良好而其他方面不够理想 因此我们需要根据实际需要的侧重点不同 选择合适的表示方法 二 矩阵的基本运算 矩阵的判重矩阵的线性运算矩阵的转置矩阵乘法 矩阵的判重 在二维数组表示法中 我们可以用一个二重循环判断两个矩阵是否相等 在三元组表示方法中 我们如果保证非零元素是按照从上到下 从左到右的顺序储存的 则可以用一个循环直接判断 但如果不能保证 则需要二重循环 因此在未加说明的情况下 三元组表示法均需要按顺序保存各个元素 在十字链表表示方法中 我们需要依次遍历每一个非零行 或者列 矩阵的线性运算 矩阵的数乘 B kA在任何一种表示法中 我们都可以通过遍历所有元素的方法完成数乘运算 矩阵的加法 C A B在二维数组表示法中 我们可以通过二重循环来进行矩阵加法在稀疏矩阵中 注意到结果中的非零元素所在的位置必对应A或B中的一个非零元素 所以加法运算不会在A和B中原非零元素之外的其他位置上生成新的非零元素 矩阵的线性运算 2 考虑三元组表示法中的矩阵加法 由于都需要按顺序储存各个元素 我们应当按顺序对每个A或B中非零的位置做加法 下面有一个例子 矩阵的线性运算 3 我们记录两个矩阵A B的当前非零元素序号pA和pB 为了保证结果的有序性 我们每次比较这两个当前元素的位置 如果A的当前位置靠前 则把A的第pA个元素加入矩阵C 并使pA pA 1如果B的当前位置靠前 则把B的第pB个元素加入矩阵C 并使pB pB 1如果当前位置相同 则先使pA pA 1 pB pB 1 如果A的第pA 1个元素和B的第pB 1个元素的和不为零 则把它加到矩阵C中 矩阵的线性运算 4 十字链表表示法下的加法可以一行行的做 即 如果A的当前行号比B小 把A的当前行整个复制到C中 如果B的当前行号比A小 把B的当前行整个复制到C中 否则把A的当前行和B的当前行的合并结果加入C中 第三种情况和三元组表示下的加法很类似 只是下标pA pB换成了指针 同样的 需要注意两个非零元素之和可能等于零 从而不能插入到结果中 矩阵的转置 1 矩阵的转置在二维数组中 转置可以通过简单的坐标变换得到在三元组表示法中 在对每个元素进行坐标变换后还需要进行一次排序 以维持元素位置的有序性 在十字链表表示法中 我们不仅需要对每个结点进行坐标变换 还需要交换行链表和列链表 以及更改每个结点四个方向的指针 实现比较麻烦 矩阵的转置 2 二维数组的转置可以通过下列代码来实现 voidMatrixT TMatrixA TMatrixB B m A n B n A m for inti 1 i A n i for intj 1 j A m j B numbers j i A numbers i j returnB 对代码稍作修改 我们可以对矩阵进行旋转和镜像变换生成8个新矩阵 矩阵的转置 3 前面提到过 三元组表示法中 矩阵的转置可以通过坐标变换后排序来实现 不过 我们通常使用的是另外一种方法 这种方法不用排序 而速度也更快 快速转置算法 直接写到正确的位置 首先 求出每一列第一非零元素转置后的序号 这一步只需要统计一下每列的非零元素的个数就可以了 由于每一列的元素在转置以后的先后次序保持不变 每个元素就可以直接写到该行的下一个空闲位置 矩阵的转置 4 请看下面的例子 各列非零元素个数为 2 3 0 1 各列第一个元素序号 0 2 5 5 012345 1 2 3 4 5 6 矩阵乘法 1 矩阵乘法在二维数组表示中 最简单的方法就是对每个元素用循环累加出结果 二重循环枚举每个元素 共三层循环 在三元组表示中 对于A中的一个元素Aij 我们只需要访问B中第j行所有元素Bjk 把每个乘积Aij Bjk加到Cik中 这样 每遍历A的一行元素 就计算出了C的一行元素 和快速转置算法类似 我们可以事先算出B的每行元素的下标范围 再用一个循环依次考虑A中的每个元素就可以了 十字链表在本质上是三元组的链式存储 所以乘法和三元组差别不大 但是实现却麻烦得多 该方法的好处在于 把中间结果Aij Bjk加到Cik时 如果Cik并不存在 就需要对矩阵进行插入操作 在十字链表上的插入操作比三元组快得多 矩阵乘法 2 Strassen矩阵乘法下面 我们来介绍基于二维数组的矩阵相乘算法 考虑两个2 2矩阵A和B相乘 普通的方法需要进行8次乘法 矩阵乘法 3 Strassen的新方法如下 只需要7次乘法 矩阵乘法 3 当矩阵为2N 2N时 我们可以利用分块矩阵 分成2 2个2N 1 2N 1矩阵 递归求解 当N 1时可以直接利用公式得出结果 分析指出 Strassen乘法比常规乘法的加法和乘法运算量都有减少 但存储量增加 是一种用空间换时间的方法 此方法还可以推广到矩阵的求逆运算 三 小结与应用举例 矩阵表示小结矩阵运算小结结束语鸣谢 小结 矩阵的表示 矩阵的表示矩阵有三种常用的表示方法 二维数组 三元组和十字链表 二维数组适合稠密矩阵 表示直观 操作方便三元组是稀疏矩阵最省空间的表示方法之一 它可以很好的支持线性运算和乘法运算 且编程复杂度低 是稀疏矩阵表示法的首选 十字链表比三元组占用空间大些 不过仍适合稀疏矩阵的表示 尤其适用于非零元素个数变化较大的场合 但不适合转置操作 且编程实现难度较大 小结 矩阵的运算 矩阵的运算三种方法都可以通过遍历表的方式判定两个矩阵是否相同 三种表示方法都能较好的支持线性运算 数乘运算只需要遍历一次所有元素 而稀疏矩阵的加法运算需要进行类似有序表合并的操作 二维数组的转置只需要进行坐标变换 三元组还需要排序 而十字链表需要更新多个指针域 转置可以推广到平面点阵图象的变换 这时一般采用数组来表示矩阵 矩阵乘法的算法有很多种 基于数组的算法中 Strassen算法是一种以空间换时间的算法 稀疏的乘法不是依次计算结果的每个元素 而是依次考虑A和B的每对元素对结果的贡献 结束语 在前面的内容中 我们讨论了矩阵的表示和基本运算 希望这些内容能开阔大家的眼界 启发大家的思维 激发大家进一步学习的兴趣 这些内容只是矩阵中最最基本的东西 像初等变换 矩阵求