自动控制原理 第二章 控制系统的数学模型 (1).pdf

1 第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型 2011年年9月月7日日 2011 09 072 本章简介本章简介 控制系统的数学模型 时域 复域 频域控制系统的数学模型 时域 复域 频域 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 方块图和信号流图方块图和信号流图 典型系统的数学模型典型系统的数学模型 MATLAB在系统模型转换中的应用在系统模型转换中的应用 2 2011 09 073 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 数学模型数学模型 用数学的方法和形式表示和描述系统中 各变量间的关系 用数学的方法和形式表示和描述系统中 各变量间的关系 分析和设计控制系统 首先要建立它的数学模型 分析和设计控制系统 首先要建立它的数学模型 工程控制中常用的数学模型有三种 时域 微分方程时域 微分方程 复域 传递函数复域 传递函数 频域 频率特性频域 频率特性 2011 09 074 各类模型间的关系 微分方程 时域 系统系统 传递函数 复域 频率特性 频域 L F t s 1 F 1 L s j s j 3 2011 09 075 2 1 时域数学模型时域数学模型 微分方程微分方程 RL Cur t uc t i t 例一例一 RLC电路电路 试建立以电容上电压为输出变量 输入 电压为输入变量的运动方程 试建立以电容上电压为输出变量 输入 电压为输入变量的运动方程 c ut r ut 2011 09 076 依据 电学中的基尔霍夫定律 两边求导 依据 电学中的基尔霍夫定律 两边求导 21 rc di t utRi tLut dt 2 2 CC Cr d utdut LCRCutu t dtdt 1 2 2 C uti t dt C C dut i tC dt 4 2011 09 077 例二 弹簧阻尼系统例二 弹簧阻尼系统 机械位移系统 物体在外力机械位移系统 物体在外力F t F t 作用下产生 位移 作用下产生 位移y t y t 写出运动方程 写出运动方程 输入输入F t F t 输出 输出y t y t 理 论依据 牛顿第二定律 物体所受的合外力等于 物体质量与加速度的乘 积 理 论依据 牛顿第二定律 物体所受的合外力等于 物体质量与加速度的乘 积 Fma k 2011 09 078 m F1 弹簧 的拉力 弹簧 的拉力 F t 外力 外力 mg F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力 12 Ftm gFFm a 2 2 d y tdy t mfky tF tmg dtdt 1 2 Fky t dy t Ff dt 2 2 d y t a dt 5 2011 09 079 发现 物理结构不同的元件或系统 可以具有相同形式的数 学模型 例如 前述的RLC无源网络和弹簧 质量 阻尼器机 械系统的数学模型均是二阶微分方程 发现 物理结构不同的元件或系统 可以具有相同形式的数 学模型 例如 前述的RLC无源网络和弹簧 质量 阻尼器机 械系统的数学模型均是二阶微分方程 相似系统相似系统揭示了不 同物理现象间的本质相似关系 利用它可以 揭示了不 同物理现象间的本质相似关系 利用它可以 许多表面上看来似乎毫无共同之处的系统 其运动规律可能完全一样 可以用一个运动方 程来表示 称它们为结构相似系统 许多表面上看来似乎毫无共同之处的系统 其运动规律可能完全一样 可以用一个运动方 程来表示 称它们为结构相似系统 1 用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统 2 为控制系统的计算机数字仿真提供了基础 1 用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统 2 为控制系统的计算机数字仿真提供了基础 3 二阶系统是一个十分典型的 有代表性的系统 3 二阶系统是一个十分典型的 有代表性的系统 2011 09 0710 推广到一般情况 系统的时域 数学模型 推广到一般情况 系统的时域 数学模型 其中 其中 i 0 1 2 n j 0 1 2 m 均 为实数 由系统本身的结构参数所决定 均 为实数 由系统本身的结构参数所决定 nn 1 nn 110 nn 1 d c t dc t dc t aaaa c t dtdtdt mm 1 mm 110 mm 1 d r t dr t dr t bbb r t 2 3 dtdtdt b b a ji 微分方程微分方程 6 2011 09 0711 综上所述 列写元件微分方程的步骤可归纳如下 综上所述 列写元件微分方程的步骤可归纳如下 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用 确 定其输入量和输出量 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用 确 定其输入量和输出量 分析元件工作中所遵循的物理或化学规律 列写相 应的微分方程 分析元件工作中所遵循的物理或化学规律 列写相 应的微分方程 消去中间变量 得到输出量与输入量之间关系的微消去中间变量 得到输出量与输入量之间关系的微 分方程 便是元件时域的数学模型 一般应将微分 方程写为标准形式 即与输入量有关的项写在方程 分方程 便是元件时域的数学模型 一般应将微分 方程写为标准形式 即与输入量有关的项写在方程 的右端 与输出量有关的项写在方程的左端 方程 两端变量的导数项均按降幂排列 的右端 与输出量有关的项写在方程的左端 方程 两端变量的导数项均按降幂排列 2011 09 0712 线性系统的基本特性线性系统的基本特性 叠加原理叠加原理 两个外作用同时加于系统所产生的总输出 等于各个外 作用单独作用时分别产生的输出之和 且外作用的数值增 大若干倍时 其输出亦相应增大同样的倍数 因此对线性 系统进行分析和设计时 如果有几个外作用同时加于系统 则可将它们分别处理 依次求出各个外作用单独加入时系 统的输出 然后将它们叠加 两个外作用同时加于系统所产生的总输出 等于各个外 作用单独作用时分别产生的输出之和 且外作用的数值增 大若干倍时 其输出亦相应增大同样的倍数 因此对线性 系统进行分析和设计时 如果有几个外作用同时加于系统 则可将它们分别处理 依次求出各个外作用单独加入时系 统的输出 然后将它们叠加 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 当系统微分方程列写出来后 只要给定输入量和初始条 件 便可对微分方程求解 并由此了解系统输出量随时间变化 的特性 线性定常微分方程的求解方法有经典法 当系统微分方程列写出来后 只要给定输入量和初始条 件 便可对微分方程求解 并由此了解系统输出量随时间变化 的特性 线性定常微分方程的求解方法有经典法 拉氏变换法拉氏变换法 和数值计算方法 和数值计算方法 7 2011 09 0713 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 实际上所有现实中的系统都不 是线性的 为了便于分析和求 解 通常要对系统进行 理想 化 和 线性化 处理 实际上所有现实中的系统都不 是线性的 为了便于分析和求 解 通常要对系统进行 理想 化 和 线性化 处理 手段 手段 a 忽略非线性 忽略非线性 b 小偏差 线性化法 取某平衡状态点 小偏差 线性化法 取某平衡状态点A 泰 勒级数展开 泰 勒级数展开 小范围内以直代曲 小范围内以直代曲 一般地 自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状 态 而其被控量的偏差一般不会很大 只是 小偏差 在建立控 制系统的数学模型时 通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态 一般地 自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状 态 而其被控量的偏差一般不会很大 只是 小偏差 在建立控 制系统的数学模型时 通常是将系统的稳定工作状态作为起始状态 仅仅研究小偏差的运动情况 因而这种小偏差线性化方法对于控制 系统大多数工作状态是可行的 仅仅研究小偏差的运动情况 因而这种小偏差线性化方法对于控制 系统大多数工作状态是可行的 2011 09 0714 2 2 控制系统的复数域数学模型 2 2 控制系统的复数域数学模型 传递函数传递函数 拉氏变换法求解系统微分方程时 可得到控制系统在复数 域中的数学模型 拉氏变换法求解系统微分方程时 可得到控制系统在复数 域中的数学模型 传递函数 传递函数不仅可表征系统的动态性 能 且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 经 典控制论中广泛应用的 传递函数 传递函数不仅可表征系统的动态性 能 且可用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 经 典控制论中广泛应用的频率法和根轨迹法频率法和根轨迹法 就是以传递函数为基 础的 就是以传递函数为基 础的 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念 1 传递函数的1 传递函数的定义和性质定义和性质 定义 线性定常系统的传递函数 定义为初始条件为零时 输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 记为 定义 线性定常系统的传递函数 定义为初始条件为零时 输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 记为G S 即 即 sR sC sG 2 16 8 2011 09 0715 拉普拉斯变换方法求解的拉普拉斯变换方法求解的优点优点 拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代 数方程 简化求解过程 拉普拉斯变换法可以直接将微分方程变换成代 数方程 简化求解过程 可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量 可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量 可以求得微分方程的全解 可以求得微分方程的全解 2011 09 0716 设线性定常系统的设线性定常系统的n阶线性常微分方程为阶线性常微分方程为 1 110 1 1 110 1 nn nn nn mm mm mm ddd ac tac tac ta c t dtdtdt ddd br tbr tbr tb r t dtdtdt 设设 r t 和和 c t 及其各阶导数在及其各阶导数在 t 0 时的值均为零时的值均为零 即零初始条件即零初始条件 对上式中各项分别求拉氏变换对上式中各项分别求拉氏变换 令令C s L c t R s L r t 可 得 可 得 s 的代数方程为的代数方程为 1 1 10 1 110 n nn n mm mm a sa sa sa C s b sbsbsb R s 9 2011 09 0717 式中式中 1 110 mm mm M sb sbsbsb 1 110 nn nn N sa sasa sa 于是于是 由定义得系统的传递函数为由定义得系统的传递函数为 1 110 1 110 mm mm nn nn b sbsb sbC sM s G s R sa sasa saN s 2 17 ui t uo o t C RL i t 例例2 8 试求例试求例2 1 RLC无源网络的传递函数无源网络的传递函数 解解 该网络微分方程已求出该网络微分方程已求出 如式如式 2 1 2 2 tutu dt tdu RC dt tud LC io oo 2011 09 0718 在零初始条件下在零初始条件下 对上式进行拉氏变换对上式进行拉氏变换 令令Uo s L uo t Ui s L ui t 得得 1 2 sUsURCsLCs io 2 18 由传递函数定义得网络传递函数为由传递函数定义得网络传递函数为 1 1 2 RCsLCssU sU sG i o 2 19 性质 传递函数是复变量 性质 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数的有理真分式函数 具有复变函数 的所有性质 具有复变函数 的所有性质 有有m n且所有系数均为实数且所有系数均为实数 10 2011 09 0719 在零初始条件下在零初始条件下 对上式进行拉氏变换对上式进行拉氏变换 令令Uo s L uo t Ui s L ui t 得得 1 2 sUsURCsLCs io 2 18 由传递函数定义得网络传递函数为由传递函数定义得网络传递函数为 1 1 2 RCsLCssU sU sG i o 2 19 性质 传递函数是复变量 性质 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数的有理真分式函数 具有复变函数 的所有性质 具有复变函数 的所有性质 有有m n且所有系数均为实数且所有系数均为实数 2011 09 0720 传递函数是一种 传递函数是一种用系统参数表示输 出量与输入量之间关系 用系统参数表示输 出量与输入量之间关系的表达式的表达式 它只取 决于系统或元件的结构和参数 它只取 决于系统或元件的结构和参数 而与输入 量的形式无关 而与输入 量的形式无关 也不反映系统内部的任何 信息 也不反映系统内部的任何 信息 因此因此 可以用图可以用图2 5的方块图表示一 个具有传递函数 的方块图表示一 个具有传递函数G s 的线性系统的线性系统 图2 5 传递函数的图示图2 5 传递函数的图示 G s R s C s 传递函数与微分方程有 传递函数与微分方程有相通性相通性 在零初始条件下 若将 微分方程的算符 在零初始条件下 若将 微分方程的算符d dt 用复数用复数 s 置换便得到传递函数置换便得到传递函数 反之亦可反之亦可 传递函数 传递函数 G s 的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应 g t 脉冲响应脉冲响应 g t 是系统在单位脉冲输入时的输出响应是系统在单位脉冲输入时的输出响应 此时此时 t tLsR 1 111 sGLsGsRLsCLtg 故有故有 11 2011 09 0721 传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的 控制系统的零初始 条件有两方面的含义 控制系统的零初始 条件有两方面的含义 一是指输入量是在一是指输入量是在t 0时才作用于系统时才作用于系统 因此在因此在t 0 时输入量及其各阶导数均为零时输入量及其各阶导数均为零 二是指输入量加于 系统之前 二是指输入量加于 系统之前 系统处于稳定的工作状态系统处于稳定的工作状态 即即输出量及其各阶导数 在 输出量及其各阶导数 在t 0 时的值也为零时的值也为零 现实的工程控制系统多属此类情况现实的工程控制系统多属此类情况 物理意义 物理意义 2011 09 0722 式中式中 称为传递函数的称为传递函数的零点零点 2 1 mizi 称为传递函数的称为传递函数的极点极点 njpj 21 2 传递函数的零点和极点 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后 传递函数的零点和极点 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后 可写 为如下形式 可写 为如下形式 121 12 1 m i mmi n nn j j sz b szszsz G sK a spspsp sp 2 24 12 2011 09 0723 在复数平面上表示传递函数的零点和极点时在复数平面上表示传递函数的零点和极点时 称为传递函 数的零极点分布图 称为传递函 数的零极点分布图 在图中一般用表示零点在图中一般用表示零点 用表示极点用表示极点 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后 也可 以写为如下因子连乘积的形式 也可 以写为如下因子连乘积的形式 12 12 2 11 2 11 121 121 mm ik ik nknk nn jl jl nlnl ss Ks G s ss ss 2 25 2011 09 0724 定义 输入是正弦信号时 系统的稳态输出与系 统的输入之比 2 3 控制系统的频域数学模型 频率特性 控制系统的频域数学模型 频率特性 13 2011 09 07252011 09 0725 s j只要将系统传递函数中的用便可获得系统代替只要将系统传递函数中的用便可获得系统代替 的频率特性 的频率特性 12 12 2 11 2 11 1 21 1 21 mm ik ik nknk nn jl jl nlnl ss Ks C s R sss ss 传递函数传递函数 2 3 控制系统的频域数学模型 频率特性 控制系统的频域数学模型 频率特性 12 12 2 11 2 11 1 21 1 21 mm ik ik nknk nn jl jl nlnl jj Kj C j R jjj jj 频率特性频率特性 2011 09 0726 0 0 st j t F sL f tf t edt FjF f tf t edt t s j只要将系统传递函数中的用便可获得系统代替只要将系统传递函数中的用便可获得系统代替 的频率特性 的频率特性 12 12 2 11 2 11 1 21 1 21 mm ik ik nknk nn jl jl nlnl ss Ks C s R sss ss 传递函数传递函数 2 3 控制系统的频域数学模型 频率特性 控制系统的频域数学模型 频率特性 14 2011 09 0727 2 4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 1 比例环节 1 比例环节 其输出量和输入量的关系 由下面 的代数方程式来表示 式中 其输出量和输入量的关系 由下面 的代数方程式来表示 式中 环节的放大系数 为一常数 环节的放大系数 为一常数 K 传递函数为 传递函数为 y tKr t Y s G sK R s 特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 特点 输入输出量成比例 无失真和时间延迟 2011 09 0728 实例 实例 电子放大器 齿轮 电阻 电位器 感应 式变送器等 电子放大器 齿轮 电阻 电位器 感应 式变送器等 1 r 2 r 15 2011 09 0729 y tKr t dt 传递函数为 传递函数为 Y sK G s R ss 实例实例 电动机角速度与角度间的传递函数 模 拟计算机中的积分器等 2 积分环节 电动机角速度与角度间的传递函数 模 拟计算机中的积分器等 2 积分环节 其输出量和输入量的关系 由下 面的微分方程式来表示 其输出量和输入量的关系 由下 面的微分方程式来表示 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 输出量与输入量的积分成正比例 当输入消失 输出具有记忆功能 2011 09 0730 3 微分环节 3 微分环节 是积分的逆运算 是积分的逆运算 其输出量和输入量 的关系 由下式来表示 其输出量和输入量 的关系 由下式来表示 dr t y t dt 传递函数为 传递函数为 Y s G ss R s 式中式中 环节的时间常数 环节的时间常数 实例 实例 测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为微分环节 测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为微分环节 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 输出量正比输入量变化的速度 能预示输入信号的变化趋势 16 2011 09 0731 测速发电机的数学描述测速发电机的数学描述 输入 t 电动机D转子 与测速发电机同轴 的转角 输出 u 输入 t 电动机D转子 与测速发电机同轴 的转角 输出 uf f t 测速发电机的电枢电压 t 测速发电机的电枢电压 微分方程 传递函数 微分方程 传递函数 G s KsG s Ks 频率特性 频率特性 G j jK dt t d K t uf F f ut D d ut t 例例RC电路电路 设 输入 ur t 输出 uc t 消去i t 得到 运动方程 传递函数 Tc RC 当Tc 1时 又可表示成 r ut c ut i t C R i t Ri t dt c 1 t ur t u t dtu RC 1 t u ccr 1sT sT s U s U G s c c r c sT s U s U G s c r c R tu ti c 17 2011 09 0733 4 惯性环节 4 惯性环节 其输出量和输入量的关系 由下 面的常系数非齐次微分方程式来表示 其输出量和输入量的关系 由下 面的常系数非齐次微分方程式来表示 dy t Ty tKr t dt 传递函数为 传递函数为 1 Y sK G s R sTs 式中式中T T 环节的时间常数 环节的时间常数 含一个储能元件 对突变的 输入 其输出不能立即发现 实例 含一个储能元件 对突变的 输入 其输出不能立即发现 实例 RC网络 直流伺服电动机的 传递函数也包含这一环节 RC网络 直流伺服电动机的 传递函数也包含这一环节 2011 09 0734 RC电路电路 输入 u输入 ur r t 输出 u t 输出 uc c t t r u t c u t i t R C r u t u t i t R c c du t i tc dt c TRC 1sT 1 s U s U G s cr c 传递函数 传递函数 18 2011 09 0735 直流电机 输入量输入量 ud 电枢电压 输出量 电枢电压 输出量 id 电枢电流 传递函数 电枢电流 传递函数 式中式中Ld 电枢回路电感 电枢回路电感 Rd 电枢回路电阻 电枢回路电阻 d 电枢绕组的时间常数 电枢绕组的时间常数 d u d i D ddddd uiRi dt d L d d d d d R u i dt di 1 1 G s s R sU sI d d d d d d d R L 2011 09 0736 5 振荡环节 其输出量和输入量的关系 由下面的 二阶微分方程式来表示 5 振荡环节 其输出量和输入量的关系 由下面的 二阶微分方程式来表示 2 2 2 2 d y tdy t TTy tr t dtdt 传递函数为 传递函数为 2 2222 1 212 n nn Y s G s R sT sTsss 实例 实例 RLC电路的输出与输入电压间的传递函数 电路的输出与输入电压间的传递函数 环节中有两个独立的储能元件 并 可进行能量交换 其输出出现振荡 环节中有两个独立的储能元件 并 可进行能量交换 其输出出现振荡 是无阻尼振荡角频率 为阻尼比 1 n T 01 19 2011 09 0737 RLC电路电路 R C i t 传递函数 传递函数 r t c t dt dc t RC dt c t d LC 2 2 1RCsLCs 1 G s 2 dt tdc Cti tc dt tdi LtRitr 2011 09 0738 6 延迟环节 6 延迟环节 其输出量和输入量的关系 由下式来 表示 其输出量和输入量的关系 由下式来 表示 y tr t 传递函数为 传递函数为 s Y s G se R s 式中式中 延迟时间延迟时间 实例 实例 管道压力 流量等物理量的控制 其数学 模型就包含有延迟环节 管道压力 流量等物理量的控制 其数学 模型就包含有延迟环节 输出量能准确复现输入量 但 须延迟一固定的时间间隔 输出量能准确复现输入量 但 须延迟一固定的时间间隔 20 2011 09 0739 小结小结 1 不同物理性质的系统 可以有相同形式的传 递函数 不同物理性质的系统 可以有相同形式的传 递函数 例如 前面介绍的振荡环节中两个例子 一个是机械系统 另一个是电气系统 但传递函数的形式完全相同 例如 前面介绍的振荡环节中两个例子 一个是机械系统 另一个是电气系