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第三节向量的数量积和向量积 一 两向量的数量积 二 两向量的向量积 1 一 两向量的数量积 1定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积 称为向量a与b的数量积 记作a b 即 数量积也称点积 力学意义 一物体在力F的作用下 沿直线AB移动了S F与AB的夹角为 如右图 则力对物体做的功为 S 2 2性质 1 a a a 2 2 3 3运算律 1 交换律 2 分配律 3 结合律 其中 为常数 4数量积的计算公式 设向量 则有 4 证明 则有两非零向量a和b的夹角 的余弦坐标表示为 5 此时 对于非零向量a b 有 5向量在轴上的投影 设A为空间一点 u轴已知 如图 过点A作与轴垂直的平面 平面与轴 的交点A 称为A在轴上的投影 A 对于已知向量 u轴上的有向 线段的模称为向量在轴u 上的投影 它是一个数量 记作 B B 6 那么 为向量与轴u的夹角 用e表示u轴上的单位向量 则a e为向量a在e方向 上的投影 那么有 例1已知a 1 1 4 b 1 2 2 求 1 a b 2 a与b的夹角 3 a在b上的投影 7 解 1 2 所以 3 因为 所以 8 例2 求证余弦定理 为边CA CB的夹角 证明 如图所示的 ABC 令 可得 那么 所以 证毕 9 二 两向量的向量积 1定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出 1 c a b sin 为向量a和b的夹角 2 且向量a b c的方向满足右手定则 如图 那么向量c称为向量a和b的向量积 记作a b 即 C a b 向量积又称为叉积 向量积模的几何意义是 以 a b为邻边的平行四边形的面积 10 O为一根杠杆L的支点 P 有一个力F作用于其上点P处 F与的夹角为 由力学 规定 力F对支点O的力矩是一个向量M Q 它的模 而M的方向垂直于与F所决定的平面 M的指向是 是按右手规则从以不超过 的角的转向F来确定 因而实际上 力学意义 力矩 如下图所示 11 2两向量积的性质 1 a a o 2 3 若a o b o a b的夹角为 则 3两向量的向量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b 为常数 3 a b c a c b c 12 4两向量的向量积的坐标表示 设向量 则有 此时 对于非零向量a b 有 约定 若分母中有零 相应地 分子也为零 13 解 例4设向量 问a b与c是否平行 解 显然 故a b c 14 例5问向量 是否共面 解 判断三个向量是否共面 只要判断其中的两个 向量的向量及与第三个向量是否垂直即可 为什么 由于 所以 4 2 2 0 因而a b c共面 15 例6求以点A 1 2 3 B 3 4 5 和C 1 2 7 为顶点的三角形的面积S 解 根据向量积模的几何意义
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