2012年江苏省高考数学信息卷(二,解析版).doc

Http:/2012高考数学信息卷二一、填空题1. 已知，且，则的值为.2. 函数的定义域为R. ，对任意的R，则的解集为.提示：设，,故在R上为增函数.又，由，即，得.3. 设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是.提示： ,点在直线系上，点到直线系 上点的距离取值范围是.4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，以此类推，若，则= 211 .提示：，.5. 已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点. 为内心，若，则双曲线的离心率为 2 .提示：, .6. 如图，在中，在斜边上，,则的值为 24 .7. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则=.提示：，,，,.二、解答题1. 如图，以为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为(1)求的值； (2)若求的值.解：(1)由三角函数的定义得则原式= (2)， 2.如图三棱柱中，侧棱与底面垂直，M,N分别是的中点.(1) 求证：;(2) 求证：. 证明：(1)如图,连接,显然AC1过点N.M,N分别是的中点， 又,. (2) 三棱柱中，侧棱与底面垂直，,是正方形.,又的中点,.，.3烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离成反比，现有两座烟囱相距10，甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙烟囱的2倍，在距甲烟囱1km处的烟尘浓度为2个单位/,现要在甲、乙两烟囱之间建一所学校，问学校建在何处，烟尘对学校的影响最小？解：设学校建立在离甲烟囱处，则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为 则在该处的烟尘浓度由已知 所以，.当且仅当即时取等号，故学校应建立在离甲烟囱处烟尘对学校的影响最小.4, (1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程.(2)点P在椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.(3)平行于CD的直线交椭圆E于M、N两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.解：(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P(x,y),.(3)直线CD的斜率为，CD平行于直线，设直线的方程为由，消去，整理得，, .点C到直线MN的距离为 当且仅当5. (1) 已知两个等比数列，满足.若数列唯一，求的值；(2)是否存在两个等比数列，使得成公差不为0的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由.解：(1)设的公比为，则.由成等比数列得，即.（）由得，故方程（）有两个不同的实根.再由唯一，知方程必有一根为0，将代入方程得.(2) 假设存在两个等比数列，使得成公差不为0的等差数列，设的公比为，的公比为.则， ， .由成等差数列得即 (*)-(*)得.由得或.当时，由(*) (*)得或，这时，与公差不为0矛盾.当时，由(*) (*)得或，这时，与公差不为0矛盾.综上所述，不存在两个等比数列，使得成公差不为0的等差数列.6.已知函数,其中.(1)判断函数的单调性；(2)若，求函数的最值；(3)设函数，当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立，试求m的取值范围.解：（1）则当时，知函数在上单调递增，在及上单调递减；当时，知函数在上单调递减，在及上单调递增.(2)由，可得.由(1)知，当，函数在上是减函数，而函数在上也是减函数，故当时，函数取得最大值.当时, 函数取得最小值.(3)当时，由于，则，由(1)知，此时函数在上是减函数，从而若时，由于，则=，易知在上单调递增，从而.要使成立，只需，即成立即可,设则易知函数在上单调递增，且，故，所以.三、理科附加题1.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.(2)记X为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列及数学期望.解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai ，Bi ，Ci ，i=1，2，3.由题意，知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立, A i，B j，C k(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立，且P (A i)=,P(B j)= ,P(C k)= .(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3! P (A 1 B2 C3)= 6P (A 1) P (B2) P (C3)=.(2) 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知所以 故X的分布列是X的数学期望是.2.已知函数.(1)当曲线在点处的切线与直线平行时，求a的值；(2)求函数的单调区间.解：,(1)由题意可得 解得，因为此时在点处的切线方程为，即与直线平行，故所求a的值为3.(2)令得到，由可知. 当时，.所以，故的单调递减区间为. 当时, ,所以在区间，在区间故的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时，所以在区间上；在区间上；故的单调递增区间为，单调递减区间为.综合讨论可得：当时，函数的单