数学不等式高考真题.doc

.1.（2018卷）设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2| （1） 当 a=1 时，求不等式 f(x)0 的解集； （2）若 f(x)1 ，求 a 的取值范围 2.（2013辽宁）已知函数f（x）=|xa|，其中a1 （1）当a=2时，求不等式f（x）4|x4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值 3.（2017新课标）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|x2|（）求不等式f（x）1的解集；（）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围 4.（2017新课标）选修4-5：不等式选讲已知a0，b0，a3+b3=2，证明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b2 5.（2017新课标卷）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围 6.（2017新课标）选修4-5：不等式选讲已知a0，b0，a3+b3=2，证明：（）（a+b）（a5+b5）4；（）a+b2 7.（2018卷）已知 f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集 （2）若 x(0,1) 时，不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围 8.（2018卷）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)1的解集 （2）若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围 9.（2017新课标）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|x2| （1）求不等式f（x）1的解集； （2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围 10.（2014新课标II）设函数f（x）=|x+ 1a |+|xa|（a0） （1）证明：f（x）2； （2）若f（3）5，求a的取值范围 11.（2015福建)选修4-5：不等式选讲已知a0,b0,c0,，函数fx=x+a+x-b+c的最小值为4 （1）求a+b+c的值； （2）求14a2+19b2+c2的最小值 12.（2014新课标I）若a0，b0，且 1a + 1b = ab （1）求a3+b3的最小值； （2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由 13.（2017新课标）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x（12分） （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a0时，证明f（x） 34a 2 14.（2017新课标）已知函数f（x）=x1alnx（）若 f（x）0，求a的值；（）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）m，求m的最小值 15.（2018卷）设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|（1）画出 y=f(x) 的图像 （2）当 x0,+) 时， f(x)ax+b ，求 a+b 的最小值。 16.（2013福建）设不等式|x2|a（aN*）的解集为A，且 32A,12A （1）求a的值 （2）求函数f（x）=|x+a|+|x2|的最小值 17.（2013新课标）（选修45：不等式选讲） 已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3 （1）当a=2时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）设a1，且当 x-a2,12) 时，f（x）g（x），求a的取值范围 18.（2016全国）选修45：不等式选讲已知函数f(x)= x- 12 +x+ 12 ，M为不等式f(x) 2的解集. （1）求M； （2）证明：当a,bM时，a+b1+ab。 19.（2016全国）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2xa|+a （1）当a=2时，求不等式f（x）6的解集； （2）设函数g（x）=|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求a的取值范围 20.（2012新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x2| （1）当a=3时，求不等式f（x）3的解集； （2）若f（x）|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围 21.（2012辽宁）选修45：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（aR），不等式f（x）3的解集为x|2x1 （1）求a的值； （2）若 |f(x)-2f(x2)|k 恒成立，求k的取值范围 答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）a=1时，时，由 f（x）=6-2x,x22,-1x24+2x,x-1当x2时，由f（x）0得：6-2x0，解得：x3；当-1xx时，f（x）0；当x-1时，由f（x）0得：4+2x0，解得x-2所以f（x）0的解集为x|-2x3（2）若f（x）1，即 5-|x+a|-|x-2|1 恒成立也就是xR， |x+a|+|x-2|4 恒成立|x+a|+|x-2|a+2|当x=2时取等，所以xR， |x+a|+|x-2|4 等价于 |a+2|4解得：a2或a-6所以a的取值范围(-，-6 2，+） 【解析】【分析】（1）由绝对值不等式的解法易得；（2）由绝对值几何意义转化易得.2.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）4|x4|可化为|x2|+|x4|4， 当x2时，得2x+64，解得x1；当2x4时，得24，无解；当x4时，得2x64，解得x5；故不等式的解集为x|x5或x1（2）解：设h（x）=f（2x+a）2f（x），则h（x）= 由|h（x）|2得 ，又已知关于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，所以 ，故a=3 【解析】【分析】（1）当a=2时，f（x）4|x4|可化为|x2|+|x4|4，直接求出不等式|x2|+|x4|4的解集即可（2）设h（x）=f（2x+a）2f（x），则h（x）= -2a,x04x-2a,0xa2a,xa 由|h（x）|2解得 a-12xa+12 ，它与1x2等价，然后求出a的值3.【答案】解：（）f（x）=|x+1|x2|= -3，x2 ，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax ， 设g（x）=f（x）x2+x由（1）知，g（x）= -x2+x-3，x-1-x2+3x-1，-1x2-x2+x+3，x2 ，当x1时，g（x）=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 1，g（x）g（1）=113=5；当1x2时，g（x）=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x= 32 （1，2），g（x）g（ 32 ）= 94 + 92 1= 54 ；当x2时，g（x）=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；综上，g（x）max= 54 ，m的取值范围为（， 54 【解析】【分析】（）由于f（x）=|x+1|x2|= -3，x2 ，解不等式f（x）1可分1x2与x2两类讨论即可解得不等式f（x）1的解集；（）依题意可得mf（x）x2+xmax ， 设g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三类讨论，可求得g（x）max= 54 ，从而可得m的取值范围4.【答案】证明：（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（ aa5 + bb5 ）2=（a3+b3）24，当且仅当 ab5 = ba5 ，即a=b=1时取等号，（）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2， (a+b)3-23(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)3-23(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， （a+b）32 3(a+b)34 ， 14 （a+b）32，a+b2，当且仅当a=b=1时等号成立 【解析】【分析】（）由柯西不等式即可证明，（）由a3+b3=2转化为 (a+b)3-23(a+b) =ab，再由均值不等式可得： (a+b)3-23(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， 即可得到 14 （a+b）32，问题得以证明5.【答案】（1）解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 12 的二次函数，g（x）=|x+1|+|x1|= 2x，x12，-1x1-2x，x12，-1x1-2x，x-1 ，分x1、x1，1、x（，1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）g（x）的解集为1， 17-12 ；（2.）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立x2ax20在1，1恒成立，只需 12-a1-20(-1)2-a(-1)-20 ，解之即可得a的取值范围6.【答案】证明：（）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（ aa5 + bb5 ）2=（a3+b3）24，当且仅当 ab5 = ba5 ，即a=b=1时取等号，（）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2， (a+b)3-23(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)3-23(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， （a+b）32 3(a+b)34 ， 14 （a+b）32，a+b2，当且仅当a=b=1时等号成立 【解析】【分析】（）由柯西不等式即可证明，（）由a3+b3=2转化为 (a+b)3-23(a+b) =ab，再由均值不等式可得： (a+b)3-23(a+b) =ab（ a+b2 ）2 ， 即可得到 14 (a+b)32，问题得以证明7.【答案】（1）解：当 a=1 时， f(x)=|x+1|-|x-1| ，即 f(x)=-2,x-1,2x,-1x1 的解集为 x|x12 （2）解：当 x(0,1) 时 |x+1|-|ax-1|x 成立等价于当 x(0,1) 时 |ax-1|0 ， |ax-1|1 的解集为 0x2a ，所以 2a1 ，故 00对于 x(0,1) 恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.8.【答案】（1）解：当a=1时， f(x)-2,x-12x,-1x12,x1当 x-1 时，-21舍当 -1x12 x(12,1当 x1 时，21,成立，综上所述 f(x)1 结果为 (12,+)（2）解： x(0,1) f(x)=x+1-|ax-1|x|ax-1|10ax2ax0a0.ax2 a0对于 x(0,1) 恒成立,即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.9.【答案】（1）解：f（x）=|x+1|x2|= -3，x2 ，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax ， 设g（x）=f（x）x2+x由（1）知，g（x）= -x2+x-3，x-1-x2+3x-1，-1x2-x2+x+3，x2 ，当x1时，g（x）=x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 1，g（x）g（1）=113=5；当1x2时，g（x）=x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x= 32 （1，2），g（x）g（ 32 ）= 94 + 92 1= 54 ；当x2时，g（x）=x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= 12 2，g（x）g（2）=4+2=3=1；综上，g（x）max= 54 ，m的取值范围为（， 54 【解析】【分析】（1.）由于f（x）=|x+1|x2|= -3，x2 ，解不等式f（x）1可分1x2与x2两类讨论即可解得不等式f（x）1的解集；（2.）依题意可得mf（x）x2+xmax ， 设g（x）=f（x）x2+x，分x1、1x2、x2三类讨论，可求得g（x）max= 54 ，从而可得m的取值范围10.【答案】（1）解：证明：a0，f（x）=|x+ |+|xa|（x+ ）（xa）|=|a+ |=a+ 2 =2， 故不等式f（x）2成立（2）解：f（3）=|3+ |+|3a|5， 当a3时，不等式即a+ 5，即a25a+10，解得3a 当0a3时，不等式即 6a+ 5，即 a2a10，求得 a3综上可得，a的取值范围（ ， ） 【解析】【分析】（1）由a0，f（x）=|x+ 1a |+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）2成立（2）由f（3）=|3+ 1a |+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求11.【答案】（1）4（2）87 【解析】【解答】 1.因为fx=x+a+x+b+cx+a-x+b+c=a+b+c,当且仅当-axb时，等号成立，又a0,b0,所以a+b=a+b,所以fx的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4. 2.由1知a+b+c=4，由柯西不等式得14a2+19b2+c24+9+1a22+b33+c12=a+b+c2=16,即14a2+19b2+c287.d当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时，等号成立所以14a2+19b2+c2的最小值为87.【分析】当x的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如fx=x+a+x+b的函数的最小值，以及解析式形如fx=x+a-x+b的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标12.【答案】（1）解：a0，b0，且 + = ， = + 2 ，ab2，当且仅当a=b= 时取等号a3+b32 2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，a3+b3的最小值为4 （2）解：2a+3b2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号 而由（1）可知，2 2 =4 6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立 【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值（2）根据 ab4及基本不等式求的2a+3b8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=613.【答案】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求导f（x）= 1x +2ax+（2a+1）= 2ax2+(2a+1)x+1x = (2ax+1)(x+1)x ，（x0），当a=0时，f（x）= 1x +10恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增；当a0，由于x0，所以（2ax+1）（x+1）0恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）=0，解得：x= 12a 因为当x（0， 12a ）时，f（x）0、当x（ 12a ，+）时，f（x）0，所以y=f（x）在（0， 12a ）上单调递增、在（ 12a ，+）上单调递减综上可知：当a0时f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0， 12a ）上单调递增、在（ 12a ，+）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当a0时f（x）在（0， 12a ）上单调递增、在（ 12a ，+）上单调递减，所以当x= 12a 时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（ 12a ）=1ln2 14a +ln（ 1a ）从而要证f（x） 34a 2，即证f（ 12a ） 34a 2，即证1ln2 14a +ln（ 1a ） 34a 2，即证 12 （ 1a ）+ln（ 1a ）1+ln2令t= 1a ，则t0，问题转化为证明： 12 t+lnt1+ln2（*）令g（t）= 12 t+lnt，则g（t）= 12 + 1t ，令g（t）=0可知t=2，则当0t2时g（t）0，当t2时g（t）0，所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+）上单调递减，即g（t）g（2）= 12 2+ln2=1+ln2，即（*）式成立，所以当a0时，f（x） 34a 2成立 【解析】【分析】（1.）题干求导可知f（x）= (2ax+1)(x+1)x （x0），分a=0、a0、a0三种情况讨论f（x）与0的大小关系可得结论；（2.）通过（1）可知f（x）max=f（ 12a ）=1ln2 14a +ln（ 1a ），进而转化可知问题转化为证明：当t0时 12 t+lnt1+ln2进而令g（t）= 12 t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可14.【答案】解：（）因为函数f（x）=x1alnx，x0，所以f（x）=1 ax = x-ax ，且f（1）=0所以当a0时f（x）0恒成立，此时y=f（x）在（0，+）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)0,这与f（x）0矛盾；当a0时令f（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）min=f（a）0，所以a=1；（）由（）可知当a=1时f（x）=x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+ 12k ） 12k ，kN*,所以1+12ke12k ，kN* 一方面，因为 12 + 122 + 12n =1 12n 1，所以，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）e；另一方面，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 123 ）= 13564 2，同时当n3时，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）（2，e）因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）m，所以m的最小值为3 【解析】【分析】（）通过对函数f（x）=x1alnx（x0）求导，分a0、a0两种情况考虑导函数f（x）与0的大小关系可得结论；（）通过（）可知lnxx1，进而取特殊值可知ln（1+ 12k ） 12k ，kN* 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）e；另一方面可知（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）2，且当n3时，（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 12n ）（2，e）15.【答案】（1）解： f(x)=-3x,x1（2）解：由（1）中可得：a3，b2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，所以a+b的最小值为5. 【解析】【分析】（1）画图像，分段函数;（2）转化为一次函数分析.16.【答案】（1）解：因为 ， 所以 且 ，解得 ，因为aN* ， 所以a的值为1（2）解：由（1）可知函数f（x）=|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3， 当且仅当（x+1）（x2）0，即x2或x1时取等号，所以函数f（x）的最小值为3 【解析】【分析】（1）利用 32A,12A ，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值（2）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x2|的最小值17.【答案】（1）解：当a=2时，求不等式f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30 设y=|2x1|+|2x2|x3，则 y= ，它的图象如图所示：结合图象可得，y0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）（2）解：设a1，且当 时，f（x）=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2对 都成立 故 a2，解得 a ，故a的取值范围为（1， 【解析】【分析】（1）当a=2时，求不等式f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设y=|2x1|+|2x2|x3，画出函数y的图象，数形结合可得结论（2）不等式化即 1+ax+3，故 xa2对 x-a2,12) 都成立故 a2 a2，由此解得a的取值范围18.【答案】（1）解：当 x-12 时， f(x)=12-x-x-12=-2x ，若 -1x-12 ；当 -12x12 时， f(x)=12-x+x+12=112 时， f(x)=2x ，若 f(x)2 ， 12x1 综上可得， M=x|-1x0 ，即 a2b2+1a2+b2 ，则 a2b2+2ab+1a2+2ab+b2 ，则 (ab+1)2(a+b)2 ，即 |a+b|ab+1| ，证毕 【解析】【分析】（1）分当x 时，当 x 时，当x 时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a，bM时，（a21）（b21）0，即a2b2+1a2+b2 ， 配方后，可证得结论19.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|