导数差分表达式的推导方法.pdf

计算流体力学基础培训二 导数差分表达式的 推导方法 F B Tian March 18 2008 上次我们讲了最基础的有限差基本知识即什么是有限差分和有限 差分最常用的误差分析方法 其中在讲有限差分法时提到用差分代替 微分方程里的导数 那么 我们会问怎样推导一个导数的差分表达式 呢 这一讲我们来探讨回答这个小问题 当然 最直接的方法是上一讲举到的例子 直接用微积分的知识 就可以 不过这里我们再讲两个常用方法即待定系数法和多项式拟 合 以便能够简便的构造更高精度的格式 1待待待定定定系系系数数数法法法 这种方法是用某离散点的周围几个点的函数的线性组合逼近该点的函 数导数 并将该线性组合中各项围绕该点作Taylor展开 比较系数以 确定逼近线性组合各项的系数 选择离散点的个数决定待定系数的个 数 进而决定离散精度 一般情况离散点个数比离散精度大1 这个描述起来很拗口 不过 通过一下这个简单的例子 将会很 直观明了的展现这个方法的好处 例如 我们想通过j 2 j 1 j 这 三个点的函数 来逼近j 点的 u x 可以将 u x 表示为 u x j auj 2 buj 1 cuj 1 将uj 2和uj 1围绕j 点作Taylor展开 得 uj 2 uj 2 x u x j 2 x 2 2 2u x2 j 2 x 3 6 3u x3 j 2 1 uj 1 uj x u x j x 2 2 2u x2 j x 3 6 3u x3 j 3 将eqn 2 3 带代入到 1 中 并整理得 u x j a b c uj 2 xa xb u x j 2 x 2 2 a x2 2 b 2u x2 j 2 x 3 6 a x3 6 b 3u x3 j 4 比较等式两边 我们立即有 a b c 0 5 b x 2a x 1 6 b x2 2 2a x2 0 7 解之 即可得到线性组合的系数 a 1 2 x b 2 x c 3 2 x 代入 1 中 即可得到要求的差分格式 u x j 1 2 x uj 2 4uj 1 3uj 8 这是一个二阶精度格式 如果不考虑边界处理带来的误差的话 原则 上我们可以通过这种方法得到任意阶精度的格式 2多多多项项项式式式拟拟拟合合合法法法 多项式拟合和前面的待定系数法多少有相同之处 二者联系起来 是不 难理解的 这种方法是用关于函数自变量的多项式逼近求解函数 其多 项式的阶数为导数离散精度 选择离散点个数与前一种方法相同 这里 仍然举个间例子来说明这个操作方法 有兴趣的朋友可以试着推导一 下 设计 2u x2 和 u x 在j j 1 j 1 的三点格式 令 u a bx cx2 9 2 我们不妨假设j处x 0 于是我们有 uj a 10 uj 1 a b x c x2 11 uj 1 a b x c x2 12 于是我们可以求解得到 a uj 13 b uj 1 uj 1 2 x 14 c uj 1 2uj uj 1 2 x2 15 好了 吸口气 然后看看eqn 9 我们对u求导 并令x 0 有 u x j b 16 2u x2 j 2c 17 考虑 14 15 就可以得到我们想要的格式 这是二阶格式 同样 原则上 我们可以弄出更高阶精度的格