概率的基本性质.ppt

3 1 3概率的基本性质 在掷骰子试验中 可以定义许多事件 例如 C1 出现1点 C2 出现2点 C3 出现3点 C4 出现4点 C5 出现5点 C6 出现6点 D1 出现的点数不大于1 D2 出现的点数大于3 D3 出现的点数小于5 E 出现的点数小于7 F 出现的点数大于6 G 出现的点数为偶数 H 出现的点数为奇数 1 事件包含关系 一般地 对于事件A与事件B 如果事件A发生 则事件B一定发生 这时称事件B包含事件A 或称事件A包含于事件B 记作 一般地 若 那么称事件B与事件A相等 记作A B 2 事件相等关系 3 事件的并 或和 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生 则称此事件为事件A与事件B的并事件 或和事件 记作A B 或A B 4 事件的交 或积 若某事件发生当且仅当事件A且事件B发生 则称此事件为事件A与事件B的交事件 或积事件 记作A B 或AB 5 事件的互斥 若A B为不可能事件 A B为必然事件 那么称事件A与事件B互为对立事件 其含义是 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 6 对立事件 1 包含关系2 相等关系 3 事件的并 或和 4 事件的交 或积 5 事件的互斥6 对立事件 事件的运算 事件的关系 一个人打靶时连续射击两次 事件 至少有一次中靶 的互斥事件是 A 至多有一次中靶 B 两次都中靶 C 只有一次中靶 D 两次都不中靶 把红 蓝 黑 白4张纸牌随机分给甲 乙 丙 丁4个人 每人分得一张 事件 甲分得红牌 与事件 乙分得红牌 是 A 对立事件 B 互斥但不对立事件 C 不可能事件 D 以上都不对 D B 练习 2 概率的几个基本性质 2 当事件A与事件B互斥时 A B的频率fn A B fn A fn B 由此得到概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥 则P A B P A P B 1 对于任何事件的概率的范围是 0 P A 1不可能事件的概率是P A 0必然事件的概率是P A 1不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况 利用上述的基本性质 可以简化概率的计算 3 特别地 当事件A与事件B是对立事件时 有P A 1 P B 例 抛掷骰子 事件A 朝上一面的数是奇数 事件B 朝上一面的数不超过3 求P A B 解法一 因为P A 3 6 1 2 P B 3 6 1 2所以P A B P A P B 1 解法二 A B这一事件包括4种结果 即出现1 2 3和5所以P A B 4 6 2 3 请判断那种正确 例题 分析 事件C是事件A与事件B的并 且A与B互斥 因此可用互斥事件的概率和公式求解 事件C与事件D是对立事件 因此P D 1 P C 解 1 P C P A P B 2 P D 1 P C 练习1 同时抛掷两枚硬币 向上面都是正面为事件M 向上面至少有一枚是正面为事件N 则有 A M NB M NC M ND M N 答案 A 解析 事件N包含两种结果 向上面都是正面或向上面是一正一反 则当M发生时 事件N一定发生 则有M N 2 抛掷一枚均匀的正方体骰子 事件P 向上的点数是1 事件Q 向上的点数是3或4 M 向上的点数是1或3 则P Q M Q 答案 向上的点数是1或3或4 向上的点数是3 3 在30件产品中有28件一级品 2件二级品 从中任取3件 记 3件都是一级品 为事件A 则A的对立事件是 答案 至少有一件是二级品 4 事件A与B是对立事件 且P A 0 6 则P B 等于 A 0 4B 0 5C 0 6D 1 答案 A 解析 P B 1 P A 0 4 5 已知P A 0 1 P B 0 2 且A与B是互斥事件 则P A B 答案 0 3 解析 P A B P A P B 0 1 0 2 0 3 事件关系的判断 判断下列各对事件是否是互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 1 事件A与B 2 事件A与C 3 事件C与D 解析 1 不是互斥事件 更不可能是对立事件 理由 事件A 命中的环数大于7环 包含事件B 命中环数为10环 二者能够同时发生 即A B 命中环数为10环 2 是互斥事件 但不是对立事件 理由 事件A 命中的环数大于7环 与事件C 命中的环数小于6环不可能同时发生 但A C 命中环数为1 2 3 4 5 8 9 10环 I I为全集 3 是互斥事件 也是对立事件 理由 事件C 命中的环数小于6环 与事件D 命中的环数为6 7 8 9 10环不可能同时发生 且C D 命中环数为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10环 I I为全集 规律总结 互斥事件与对立事件的判断方法 1 利用基本概念 判断两个事件是否为互斥事件 注意看它们能否同时发生 若不同时发生 则这两个事件是互斥事件 若能同时发生 则这两个事件不是互斥事件 判断两个事件是否为对立事件 主要看是否同时满足两个条件 一是不能同时发生 二是必有一个发生 如果这两个条件同时成立 那么这两个事件就是对立事件 只要有一个条件不成立 那么这两个事件就不是对立事件 两个事件是对立事件的前提是互斥事件 2 利用集合的观点 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A B 事件A与B互斥 即集合A B 事件A与B对立 即集合A B 且A B I I为全集 也即 A IB或B IA 特别提醒 对立事件是针对两个事件来说的 而互斥事件则可以是多个事件间的关系 某县城有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件A为 只订甲报 事件B为 至少订一种报纸 事件C为 至多订一种报纸 事件D为 不订甲报 事件E为 一种报纸也不订 判断下列事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 A与C 2 B与E 3 B与D 4 B与C 5 C与E 解析 1 由于事件C 至多订一种报纸 中包括 只订甲报 即事件A与事件C有可能同时发生 故A与C不是互斥事件 2 事件B 至少订一种报纸 与事件E 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故B与E是互斥事件 由于事件B发生会导致事件E一定不发生 且事件E发生会导致事件B一定不发生 故B与E还是对立事件 3 事件B 至少订一种报纸 中包括 只订乙报 即有可能 不订甲报 也就是说事件B和事件D有可能同时发生 故B与D不是互斥事件 4 事件B 至少订一种报纸 中包括 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件C 至多订一种报纸 中包括 一种报纸也不订 只订甲报 只订乙报 也就是说事件B与事件C可能同时发生 故B与C不是互斥事件 5 由 4 的分析 事件E 一种报纸也不订 是事件C中的一种可能情况 所以事件C与事件E可能同时发生 故C与E不是互斥事件 概率加法公式的应用 解析 1 对任一人 其血型为A B AB O型血的事件分别记为A B C D 它们是互斥的 由已知 有P A 0 28 P B 0 29 P C 0 08 P D 0 35 因为B O型血可以输给B型血的人 故 可以输给B型血的人 为事件B D 根据概率的加法公式 得P B D P B P D 0 29 0 35 0 64 2 由于A AB型血不能输给B型血的人 故 不能输给B型血的人 为事件A C 且P A C P A P C 0 28 0 08 0 36 易错警示 不能由于只有四种血型就简单地认为四种情况的概率都是0 25 本题中某种血型的人所占的比例其实就是任代一人 他是该血型的概率 规律总结 解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是 各事件是互斥事件 对于较难判断关系的 必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析 解析 设A B C D 分别表示等候人数为0 1 4 大于等于5的事件 则A B C D互斥 1 设E表示事件 等候人数不超过1 则E A B 故P E P A P B 0 05 0 14 0 19 即等候人数不超过1的概率为0 19 2 设F表示事件 等候人数大于等于4 则F C D 故P F P C P D 0 10 0 06 0 16 即等候人数大于等于4的概率为0 16 对立事件概率公式的应用 分析 构造对立事件 灵活运用概率加法公式 求概率 规律总结 求复杂事件的概率通常有两种方法 1 将所求事件转化面几个彼此互斥的事件的和事件 2 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时 需要分类大多 而其对立面的分类较少 可考虑利用对立事件的概率公式 即 正难则反 它常用来求 至少 或 至多 型事件的概率 在大小相同的5个球中 只有红色和白色两种球 若从中任取2个 全是白球的概率为0 3 求所取出的2个球中至少有1个红球的概率 分析 判断事件间的关系 利用对立事件的概率公式求解 解析 记事件A表示 取出的2个球中至少有1个红球 事件B表示 取出的2个球全是白球 则事件A与事件B互为对立事件 而事件B发生的概率为P B 0 3 所以事件A发生的概率为P A 1 P B 1 0 3 0 7 错因分析 错解的原因在于忽视了 事件和 概率公式应用的前提条件 由于 朝上一面的数是奇数 与 朝上一面的数不超过3 这二者不是互斥事件 即出现1或3时 事件A B同时发生 所以不能应用公式P A B P A P B 求解 某战士射击一次 击中环数大于7的概率是0 6 击中环数是6或7或8的概率相等 且和为0 3 求该战士射击一次击中环数大于5的概率 错解 该战士击中环数大于5的概率是0 6 0 3 0 9 正解 记 击中6环 为事件A 击中7环 为事件B 击中7环以上 为事件C 事件A B C 彼此互斥 且易知P A 0 1 P B 0 1 P C 0 6 记 击中5环以上 为事件D 则P D P A B C 0 1 0 1 0 6 0 8 错因分析 该战士 击中7环以上 与 击中环数为6或7或8 不是互斥事件 所以不能直接用互斥事件的概率加法公式计算 总结 在应用概率加法公式时 一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件 实际上 对于事件A B 有P A B P A P B 只有当事件A B互斥时 等号才成立 1 下列各组事件中 不是互斥事件的是 A 一个射手进行一次射击 命中环数大于8与命中环数小于6B 统计一个班的数学成绩 平均分不低于90分与平均分不高于90分C 播种100粒菜籽 发芽90粒与发芽80粒D 检验某种产品 合格率高于70 与合格率低于70 答案 B 解析 对于B 设事件A1为平均分不低于90分 事件A2为平均分不高于90分 则A1 A2为平均分等于90分 A1 A2可能同时发生 故它们不是互斥事件 2 从装有数十个红球和十个白球的罐子里任取2球 下列情况中是互斥而不对立的两个事件是 A 至少有一个红球 至少有一个白球B 恰有一个红球 都是白球C 至少有一个红球 都是白球D 至多有一个红球 都是红球 答案 B 解析 对于A 至少有一个红球 可能为一个红球 一个白球 至少有一个白球 可能为一个白球 一个红球 故两事件可能同时发生 所以不是互斥事件 对于B 恰有一个红球 则另一个必是白球 与 都是白球 是互斥事件 而任取2个球还有都是红球的情形 故两事件不是对立事件 对于C 至少有一个红球 为都是红球或一红一白 与 都是白球 显然是对立事件 对于D 至多有一个红球 为都是白球或一红一白 与 都是红球 是对立事件 3 口袋内装有一些大小相同的红球 白球和黑球 从中摸出1个球 摸出红球的概率是0 52 摸出白球的概率是0 28 那么摸出黑球的概率是 A 0 2B 0 28C 0 52D 0 8 答案 A 解析 本题主要考查互斥事件的概率加法公式 设 摸出红球 为事件M 摸出白球 为事件N 摸出黑球 为事件E 则P M P N P E 1 所以P E 1 P M P N 1 0 52 0 28 0 2 故选A 4 甲 乙两人下象棋 甲获胜的概率为30 两人下成和棋的概率为50 则乙获胜的概率为 甲不输的概率为 答案 20 80 解析 设事件 甲胜 乙胜 甲乙和棋 分别为A B C 则P A 30 P C 50 甲不输的概率为 P A C P A P C 80 P B 1 P A C 1 80 20 点评 乙获胜 的对立事件是 甲不输 不是 甲胜 又 x 3 的对立事件是 x 3 不是 x 3 等等 6 某公务员去外地开会 他乘火车 轮船 汽车 飞机去的概率分别是0 3 0 2 0 1 0 4 求 1 他乘火车或乘飞机去的概率 2 他不乘轮船去的概率 解析 设乘火车去开会为事件A 乘轮船去开会为事件B 乘汽车去为事件C 乘飞机去为事件D 它们彼此互斥 则P A 0