万有引力定律公式F=G·m1m2／r2中的r是两物体质心间的距离吗.pdf

中 学物理 V o 1 2 2 N o 1 3 2 0 0 4 年7 月 概念与 规 律 辨 析 万有引力定律公式 F G m 1 m 上 2 7 一 中的 厂是 两 物 体 质 心 间 的 距 离 吗 何蜀娟 笔者在进行万有引力定律的教学中 当 谈 到万有引力定律公式的适用条件时 不少学生 会认为 公式中的r 可以理解为任意两个物体 质心之间的距离 这种观点是怎样产生的 观 点正确吗 下面我们就来分析这些问题 一 观点提出的依据 按照常规教学 在学习万有引力定律时 往往要讨论该定律的适用条件 笔者向学生介 绍了在以下几种情况下 可直接利用万有引力 定律的公式求解两物体间的万有引力 1 万有引力定律的公式适用于计算质点 间的万有引力 此时万有引力定律公式中的r 就是两质点间的距离 2 万有引力定律的公式也适用于计算两 个质量分布均匀的球体间的相互吸引力 这种 情况等效于把球体的质量集中在球心处的质 点间的万有引力的 计算 式中的r 是两个球体 球心间的 距离 从这种情况也可以推出以下几个推论 一 目前 这一装置的主要技术问题已被攻 克 正在安徽合肥进入总装阶段 计划于2 0 0 5 年建成 它可为欧 美 日 中等7 方正在谈判筹 建中的 国际热核聚变实验堆 建设提供直接 经验 并为未来聚变实验堆提供重要的工程和 物理实验基础 中科院等离子体物理研究所长说 虽然 人 造太阳 的奇观在实验室中已经出现 但离真 正的商业运行还有相当长的距离 人造太阳 所发出的电能在短时间内还不可能进入人们的 1 质量分布是球对称的两个球体之间的 万有引力的 计算 2 质量分布是球对称的两个空心球体之 间的万有引力的计算 3 质量分布均匀的球壳之间的万有引力 的计算 但要注意的是两球壳球心之间的距离 必须大于等于两球壳的半径之和 可以 证明 球壳对处于它内部的物体的万有引力为零 3 万有引力定律的公式也可以用来计算 质量分布均匀 或质量分布是球对称 的球体 或空心球体 或球壳 与球外一个质点间的 万 有引力的 计算 这时的r 是质点到球体球心间 的距离 除了上述这些特殊的物体间的万有引力 我们可以直接利用万有引力定律 对于其他物 体间的万有引力 我们应该如何计算呢 对于这个问题的回答 不少学生都认为 一 般物体间的万有引力的计算 可以把物体的 质量集中于一点 即物体的质心 然后可以直 家中 据他予测 根据目前世界各国的研究状 况 这一梦想最快有可能在5 0 年后实现 如果把上述和平利用热核聚变反应进行发 电的 人造太阳 称之为核聚变电站 待其进入 商业化被普遍应用后 前述当今的和平利用核 裂变反应进行发电的核电站就应该改称为核裂 变电站了 只有这样才能表现出这两种都是和 平利用原子能来进行发电的电站在原理方式上 的区别 作 者单位 1 5 0 0 4 0 哈尔 滨市第5 2 中 5 3 维普资讯 2 O 0 4 年7 月 V o 1 2 2 N o 1 3 中学物理 接由 万有引力定律公式进行计算 公式中的 r 就是两物体质心之间的距离 这种观点正确吗 二 对观点的分析 下面我们不妨举一些例子来进行分析和讨 论 例 1 如图1 所示 一长度为 L的质量不 计的轻杆两端固定有质量均为M 的两个小球 A B 在轻杆的垂直平分线上有一质量为m的 小球C 距O点的距离 为d 试分析C 球受到A B两球的万有引力的合力 正确的做法是 先求出A B两球分别对C 球产生的万有引力的大小F 和F 然后求出 这两个万有引力F 和F 的合力F 见图2 由万有引力定律公式 有 Fl F2 G 一 c 所 以 F 2 F c o s O 2 G q L d d Mind C D 图1 若按照质心的观点求解此题 把A B两球 的质量集中于它们的质心即O点 求质心0处 的质量为2 M 的 点对C球的万有引力F 则由 万有引力定律公式有 F G 2 M m a 比较F与F 只有L趋近于零时 F 近似 等于F 而在一般情况下 F F 可见在这种 情况中 不能把A B 两小球的质量集中于它们 5 4 的质心来求它们对小球 C的合力 对于这道例题我们也可以这样分析 1 若使A B两小球之间的距离L变大 则它们对小球 C的万有引力F F 的大小都 变小 又由于力F F 所夹的角度2 变大 所 以F 与F 的合力F变小 但是若把A B两球 的质量集中于质心 求它们对小球 C的合力 F 由 前面得到的F 的表达式F G可2 Mm 容易得到F 与L的大小无关 即F 不变 2 若改变小球C到0点之间的距离 使 d由 零变大 则A B两小球对小球C的万有引 力F F 的大小都变小 又由于力F F 所夹 的角度2 变小 结合前面得到的 合力F的表达 式 F 2 G 丝 容易得到 在d由 零 号 逐渐变大的 过程中 合力F先大再变小 F 有最 大值 但是若把A B两球的质量集中于质心 求它们对小球 C的合力F 由前面得到的F 的表达式F G可2 Mm 容易得到F 随d的变 a 大一直在变小 由上面两点分析可见 在该例中把物体的 质量集中于质心来计算物体间的万有引力与正 确的方法求出物体问的万有引力不等 例2 如图3 所示 有质量为m 半径为R 的 质量分布均匀的球体 A与用同种材料制成 的半径为 均匀 球体B 两球球心相距L 现在 在球A中靠近B 球一边与A球相切的挖一个半 径为 的球形洞 三个球心在同一条连线上 求挖空后两球间的万有引力 本题可用填补法来做 设F为实心球A与 B球之间的万有引力 F 为被挖去一个球形洞 后的A球与B球之间的万有引力 F 为被挖去 的球体在未挖去前与B球之间的万有引力 由 于实心球A与B 球之间的万有引力F应是被挖 一 夸 维普资讯 中 学物理 V o 1 2 2 N o 1 3 2 0 0 4 年7 月 去一个球形洞后的A球与B球之间的万有引 力F 与挖去的那部分球体在未挖去前与B球 之间的万有引力F 之和 所以有 F F 1 F 2 1 根据万有引力定律可得 F 1 b m 2 击 G 由式 1 2 3 可得 Fl 1 m 2 一 1 G 芒 若按照质心的观点求解此题 将两球的质 量集中于质心后 再根据万有引力定律求两质 点间的引力 一 先求A球被挖后剩余部分质心C的位置 图4 设质心 C距A球球心O为z 则有 m z m 所 以 z 螽 将A球被挖后的剩余部分的质量集中于 质心C B球的质量集中于它的球心 求得这两 个质点间的万有引力F 为 7 m G 离 丢 G 南 比 较F 与F 有F F 可见在这种 情况下 也不能把所求的两个物体的质量集中 于质心来求它们之间的万有引力 例3 如图5 所示 一长度为 L的质量不 计的轻杆两端固定有质量均为M 的两个小球 A B 在轻杆上有一质量为 m的小球C 距A 点的距 离小于 L 试 分析 C球受到A B 两球的万有引力的 合力的方向 A C O 圈5 正确的做法是 先分析出A B两球分别对 C球产生的 万有引力F 和F 的方向 然后分 析出这两个万有引力 F 1 和F 的合力 F的 方向 C 球受A球的万有引力方向 沿它们的连线 向左 C球受B球的万有引力方向沿它们的连 线向右 由于C球到A球的距离小于C球到B 球的距离 由 万有引力定律公式容易得到F 大 于F 所以合力 F方向跟F 方向相同 即沿 A B两球的连线向左 本题若按照质心的观点分析 把A B两球 的质量集中于它们的质心即0点 则可得到小 球 C受到的合力F 的方向沿A B两球的连线 向右 上面两种方法中的合力F和F 的方向是 不同的 可见在这种情况中 将两物体的质量集 中于质心来求万有引力是不正确的 三 分析得到的结论 综上所述 并不是在任何情况下都可以将 物体的质量集中在它们的质心来求它们之间的 万有引力 这种观点是错误的 错误的原因是万 有引力的大小与两质点间距离 r 的平方成反 比 可以假想若万有引力的大小与