上极限和下极限.pdf

返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念 通过 一 上 下 极限的基本概念 程来说 上 下 极限也是不可缺少的工具 极限或下极限来解决问题 此外 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形 那时需要用上 册第十二 十四章讨论级数收敛性时 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件 在下 二 上 下 极限的基本性质 返回返回返回返回返回返回 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 一 上 下 极限的基本概念 注 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于 定义定义1 若数列若数列 n x满足满足 在数在数 0 x的任何一个邻域 内均含有 中的 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项无限多项 则称则称 x0 是数列是数列 n x n x 常数列常数列 n aa 只有一个聚点只有一个聚点 a 的一个聚点的一个聚点 限多个项限多个项 现举例如下现举例如下 前者要求前者要求 含有无限多个点含有无限多个点 后者要求后者要求 含有无含有无 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 定理定理7 4 有界数列至少存在一个聚点有界数列至少存在一个聚点 并且有最大 但作为数列来说 并且有最大 但作为数列来说 它却有两个聚点它却有两个聚点 11 和和 有五个聚点有五个聚点 1 2 2 0 2 2 1 sin 4 n 数列数列 0 k n xxk 从数列聚点的定义不难看出从数列聚点的定义不难看出 x0 是数列 的聚是数列 的聚 n x 1 n 作为点集来说它仅有两个点 作为点集来说它仅有两个点 故没有聚点故没有聚点 点的一个充要条件是点的一个充要条件是 存在 的一个子列存在 的一个子列 k n x n x 聚点和最小聚点 聚点和最小聚点 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 又设又设 n Ex xx 是的聚点由于 是的聚点由于 E 非空有界非空有界 故由确界原理故由确界原理 存在存在 sup inf AEAE 下面证明下面证明A是是 xn 的最大聚点的最大聚点 亦即亦即 EA 证证 设设 n x为有界数列为有界数列 由致密性定理由致密性定理 存在一个 的一个聚点 存在一个 的一个聚点 0 n xx是收敛子列是收敛子列 0 kk nn xxxk 于是 首先 于是 首先 由上确界的性质由上确界的性质 存在存在 Ean 使使 Aan 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 1 1 存在存在 1 n x 使使 1 1 1 axn 2 1 2 存在存在 2 21 n xnn 使使 2 2 1 2 n xa ii aa n x内含有的无限多项内含有的无限多项 现依次令现依次令 1 k k 存在存在 1 k nkk xnn 使使 1 k ax knk 因为因为 i a 是是 n x的聚点 所以对任意正数 在区间的聚点 所以对任意正数 在区间 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 这样就得到了这样就得到了 xn 的一个子列 满足的一个子列 满足 k n x limlim lim kk nnkk kkk xxaaA EA 同理可证同理可证 EA 定义定义 2 有界数列有界数列 n x 的最大聚点的最大聚点A与最小聚点与最小聚点 A 分别称为分别称为 n x的上 下极限的上 下极限 记为记为 lim lim nn n n AxAx 即证得即证得 n Ax也是的一个聚点 所以也是的一个聚点 所以 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 注 注 由定理由定理 7 4 得知得知 有界数列必有上 下极限有界数列必有上 下极限 提供了一个新的平台提供了一个新的平台 的上 下极限总是存在的的上 下极限总是存在的 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的 但是有界数列 数列若有界 但是有界数列 数列若有界 它的极限可以不存在它的极限可以不存在 此时想通过 这样 此时想通过 这样 上 下极限的优越性就显现出来了上 下极限的优越性就显现出来了 一个一个 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例例1 考察以下两个数列的上 下极限 考察以下两个数列的上 下极限 lim 1 1 lim 1 1 11 nn n n nn nn 111 limlim0 lim nn n nnn 从中可大致看出数列的极限和数列的上 下极限 之间存在着的内在联系 详细讨论请见下文 从中可大致看出数列的极限和数列的上 下极限 之间存在着的内在联系 详细讨论请见下文 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 二 二 上 下 极限的基本性质 由上 下极限的定义由上 下极限的定义 立即得出立即得出 定理定理7 5 对任何有界数列对任何有界数列 n x有 下面这个定理刻画了极限与上 下极限之间的关 系 有 下面这个定理刻画了极限与上 下极限之间的关 系 定理定理7 6有界数列有界数列 n x存在极限的充要条件是存在极限的充要条件是 limlim nn n n xx 1 limlim nn n n xx 2 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 limlim nn n n xx 证证设设 lim n n xA 对于任意正数在对于任意正数在 U A 之外 只有有限项之外 只有有限项 这样这样 对任意的 若对任意的 若 BA n x 0 U A 在之外在之外 只有有限项只有有限项 这就是说这就是说 B n x 不是 的聚点不是 的聚点 故 仅有一个聚点故 仅有一个聚点 A 从而从而 n x n x 那么在内那么在内 此时必此时必 0 0 2 BA 0 U B 取 反之 取 反之 若上式成立若上式成立 则 的聚点惟一则 的聚点惟一 设为设为 A n x 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 一的假设相矛盾 另一聚点 导致与聚点惟 性定理 这无限多项必有 一的假设相矛盾 另一聚点 导致与聚点惟 性定理 这无限多项必有 n x 的无限多项 由致密的无限多项 由致密 0 U A 之外含有使得在之外含有使得在 0 0 倘若不然 则存在倘若不然 则存在 lim n n xA 此时易证此时易证 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 定理定理7 7设设 n x为有界数列为有界数列 则有则有 1lim n n xA 的充要条件是的充要条件是 对于任意的对于任意的 0 i 存在存在 N 当当 n N 时时 Axn ii 1 2 kk nn xxAk 存在 存在 lim 2 n n xB 的充要条件是的充要条件是 对于任意的对于任意的0 i 存在存在 N 当当 n N 时时 Bxn ii 1 2 kk nn xxBk 存在 存在 证 证 在形式上是对称的在形式上是对称的 所以仅证明 所以仅证明 12和和 1 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 limAxn n 必要性必要性 设因为设因为 A 是是 n x的一个聚点 使得所以存在 的一个聚点 使得所以存在 k n x k n xAk 故对于任 意的 存在 故对于任 意的 存在0 0 K 当 当 k K 时 时 k n Ax 将将 k n x 中的前面中的前面 K 项剔除项剔除 这样就证明了这样就证明了 ii A 上上 至多只含至多只含 n x的有限项的有限项 不然的 话 不然的 话 因为因为 n x n x有界有界 故在上故在上 A 还有聚点还有聚点 这与这与 A 是最大聚点相矛盾是最大聚点相矛盾 设这有限项 又因 设这有限项 又因 A 是是 n x的最大聚点的最大聚点 所以对上述 在区间所以对上述 在区间 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 的最大下标为的最大下标为 N 那么当那么当 n N 时时 n xA 充分性 充分性 任给任给 0 综合综合 i 和和 ii 在在 AA 上含有上含有 xn 的无限项的无限项 即即 A 是是 xn 的聚点 而对于任意的 的聚点 而对于任意的 0 2 AA AA 令由于满足 令由于满足 0 2 n AA xA 的项至多只有有限个 这说明在的项至多只有有限个 这说明在 00 AA 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 lim n n xA 定理定理7 8 保不等式性保不等式性 设设 xn yn 均为有界数均为有界数 xn 的有限项的有限项 故不是故不是 xn 的上也至多只有的上也至多只有 A 从而有聚点 所以从而有聚点 所以A 是 的最大聚点是 的最大聚点 n x nn xy 列 并且满足 存在当 列 并且满足 存在当 n N0 时 有时 有 0 0 N 则取上 则取上 下下 极限后极限后 原来的不等号方向保持不变原来的不等号方向保持不变 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 证证 设设lim lim nn nn xAyB 因为因为B 是是 yn 的 聚点 的 聚点 所以存在 所以存在 k n ylim kk nn k yBx 又有界 又有界 特别若 则更有特别若 则更有 nn axyb 故存在 的一个收敛子列 故存在 的一个收敛子列 k n x kj n x lim k j n j xA limlim limlim nnnn nn nn xyxy 3 limlimbyxa n n n n 4 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 AAB 同理可证关于上极限的不等式同理可证关于上极限的不等式 而而 4 式则可由式则可由 kk jj nn xy 又因又因 1 与与 3 式直接推得式直接推得 n x的最小聚点的最小聚点A 理应满足 的聚点 它与理应满足的聚点 它与 BA n xj A 也是 由于的极限 便得 取 也是 由于的极限 便得 取 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 证 证 这里只证明这里只证明 i ii 可同理证明可同理证明 设设 lim lim nn nn AaBb 由定理由定理7 7 存在存在N 当当n N 时时 2 2 BbAa nn i lim limlim nnnn nnn abab 5 ii lim limlim nnnn nnn abab 6 例例1 nn ba都是有界数列都是有界数列 那么设那么设 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 再由定理再由定理 7 8 的的 4 式式 得得 lim nn n abAB 因为 是任意的因为 是任意的 故故 lim limlim nnnn nnn abABab 注 注 这里严格不等的情形确实会发生这里严格不等的情形确实会发生 例如例如 1 1 1 nn nn ab 故故 BAba nn 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例例2 设 设 且且 limlim nn n n xABx 1 lim nn n xx 0 求证 的全体聚点的集合为求证 的全体聚点的集合为 n x BA 证证 设设E 是 的全体聚点的集合是 的全体聚点的集合 显然有显然有 n x lim1 lim1 nn nn ab lim 0 nn n ab 而 而 BAE AEBE 内仅含 的有限项内仅含 的有限项 n x 0 0 00 U x 在 任给 在 任给 欲证 如若不然欲证 如若不然 则存在则存在 0 BAx 0 xE 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 12 12 N nnnN xxxnnn 之内之内 又因 所以存在又因 所以存在 1 lim 0 nn n xx K 当当 nK 时 有 时 有 010 7 nn xx 这就是说这就是说 当时当时 所有的 均不在所有的 均不在 N nn n x 0 U x max N nKK 令令当当n K 时时 由由 7 导致所有 的 或者都有 或者都有 导致所有 的 或者都有 或者都有 00 n xx n x 00 n xx 前者与前者与B 是 的聚点矛盾是 的聚点矛盾 后者与后者与A 是是 n x n x 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 BAE 的聚点矛盾的聚点矛盾 故证得 故证得 即从而即从而Ex 0 A BE 定理定理7 9 设设 xn 为有界数列为有界数列 则有则有 i A 是是 xn 的上极限的充要条件是的上极限的充要条件是 ii B 是是 xn 的下极限的充要条件是的下极限的充要条件是 证证 这里仅证这里仅证 i 设 设 显然 是一显然 是一 sup nk kn ax n a lim sup k n kn Ax 8 lim inf k nkn Bx 9 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 递减数列递减数列 并且有界并且有界 lim n n aa 设设一方面一方面 因为因为 limlimlim nnn nnn Axaaa nn xa 所以 另一方面 所以 另一方面 0 112 sup axx 由于根 据上确界定义 由于根 据上确界定义 1 11 1 n nxa 使得 使得又因又因 1 2 nn aaa n 递减 故 所以有 递减 故 所以有 1 1 n xaa 同理 由于同理 由于 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 这样得到的子列 因仍为有界的 故其上极限这样得到的子列 因仍为有界的 故其上极限 k n x 因 是任意的因 是任意的 所以又得 所以又得 从而证得从而证得 aA aA 照此做下去 可求得 使照此做下去 可求得 使 12 k nnn 1 1 1 2 10 kk nn xaak 111 112 sup nnn axx 21 1 nn xaa 211 1 nnn 使得使得 2 AAa 求上极限求上极限 由不等式性质由不等式性质 4 得出得出 AAA 且显然有 且显然有亦存在 设为 亦存在 设为 10 式关于式关于k 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例3 例3 用上 下极限证明用上 下极限证明 若 为有界发散数列若 为有界发散数列 n x limlimlimlim jj nnnn jnj n xxxx 注 注 本例命题用现在这种证法 可以说是最简捷的 本例命题用现在这种证法 可以说是最简捷的 jj nn xx 使得使得 limlim nn n n xx n x 为 于是存在 的两个子列为 于是存在 的两个子列 n