上下极限的概念在极限教学中的作用.pdf

第18 卷第6 期 2001 年 12 月 杭州师范学院学报 自然科学版 Journal of Hangzhou Teachers College Natural Science Vol 18 No 6 Dec 2001 收稿日期 2001 03 22 作者简介 卢志康 1943 男 浙江湖州人 杭州师范学院数学系教授 主要从事函数论方面的研究 文章编号 1008 9403 2001 06 0021 04 上下极限的概念在极限教学中的作用 卢志康 杭州师范学院 数学系 浙江 杭州 310012 摘 要 讨论在5数学分析6课程中引入上 下极限概念的教学的意义 指明了它对提高学生分析能力的作用 关键词 上极限 下极限 数列 级数 中图分类号 O171 文献标识码 A 现行高等师范院校5 数学分析教学大纲6将上 下极限列为选用教材 笔者在实践中感到 如引入这部 分内容 或作为课外阅读的材料介绍给学生是很有好处的 它可以提高学生对极限概念的理解 提高相关 的解题能力和灵活性 引入上 下极限的好处是基于上 下极限的下述性质 1 极限不一定存在 而上 下极限是一定存在的 2 lim ny xn lim ny xn 而lim n y xn lim ny xn 是lim ny xn存在的充分必要条件 1 上 下极限的应用在极限运算中的作用 例1 已知lim ny sn s 求证lim n y s0 s1 sn n 1 s 这个题被用作加深学生对极限概念的理解 常见学生犯以下错误 由于对任一 E 0 存在常数 N 当 k N 时 有 s E sk s E 所以 s0 s1 sN n 1 n N n 1 s E s0 s1 sn n 1 0 定义函数序列 fn x Q x 0f n 1 t dt n 1 2 试求 lim ny fn x x I 0 1 解 可以看出 当 n 0 时 fn x 是连续 非负 单调上升的函数 现对任一 0 D 1 记 M max x I 0 1 f 1 x m min x I D 1 f 1 x 则有 0 m M 而用迭代法可以得到不等式 m 1 P 2n an x D 1 1P 2n fn 1 x M 1P 2na nx1 1P 2n 2 其中 an 2 2 2 1 1P 2n 1 2 2 2 3 1 2 n 1 2 n 1 1P 2 可以证明 lim n y an 1P 2 现在在 2 中令 n y 即得 x D P 2 lim ny fn x lim ny fn x xP 2 令 D y 0 就有 lim ny fn x lim ny fn x lim n y fn x xP 2 这里同样用到上 下极限的概念 2 上 下极限概念在数列与级数论中的作用 一个数列收敛 说明数列中的项 当 n 充分大时有大致相差不多的大小 一个发散数列是没有这个性 质的 上 下极限正好用来补充说明一个发散数列 当 n 充分大时 数列中的项大致的变化幅度 这一点在 不少问题中很有用处 例如 一般分析教科书中均提到当极限 Q lim ny n an 8 存在时 幂级数 E n 0 anz n 9 22杭 州 师 范 学 院 学 报2001 年 的收敛半径就是 1PQ 这反映了幂级数的收敛半径是由其系数 an的绝对值大小来决定的 而实际上 幂级数的收敛半径只 由其绝对值最大的那一部分系数决定 即幂级数 9 式的收敛半径等于 R lim ny an 1P n 10 事实上 设 9 式收敛 则当 n 充分大时可有 anZ n 1 亦即 z R E 亦即 an c 7 这时必须作更精细的分析 才能由 3 式和 7 式推出 5 式 利用 3 式含有当 n m 充分大时Rn Rm 将充分小这一事实 对任意自然数 n k 设 n cP m cPn 所以 sm sn an 1 am sn kcP n 对 m 求和 得 E n k m n 1s m kSn k 2 cPn 故 sn 0 对每一个 n 选取一个k 例如 k E n 则当 n 充分大时有 kPn E 和 n 1 Rn k Rn Pk E 23第 6 期卢志康 上下极限的概念在极限教学中的作用 从而 lim ny sn R E c 1 令 Ey 0 得 lim ny sn R 同样 从分析 Rn k Rn着手可得 lim ny sn R 合起来即得 lim ny sn lim ny sn lim ny sn R 这里也不能没有上 下极限的概念 4 上 下极限概念在后续课程中的应用 引入上 下极限的概念在一些后续课程中也有很大作用 特别在实变函数的教学中 如大家所知 关于 Lebesgue 积分有三大收敛定理 其中 Faton 引理的表述就要用到下极限的概念 设 fn x 是非负可测函数列 则有 Q E lim ny fn x dm lim ny Q Ef n x dx 即使lim ny fn x 存在 上述不等式右边积分的极限也未必能存在 故仍只能以下极限的形式出现 就是说 如果在教学中没有预先引进下极限的概念 理论在这里就将发生根本性的无法处理的困难 由Faton 引理推导 Lebegue 控制收敛定理时 上 下极限的作用也是不可替代的 最后必须由不等式 lim n y Q Ef n x dx Q f x dm lim ny QE fn x dm 推出 lim n y Q Ef n x dm QE fn x dm 参考文献 1 高等师范院校数学分析教学大纲 M 北京 人民教育出版社 1980 2 陈传璋 等 数学分析 M 北京 高等教育出版社 1983 3 郑维行 王声望 实变函数与泛函分析概要 M 北京 高等教育出版社 1989 The role of the concept limes inferiores and limes superiores in the mathematics analysis course LU Zh i kang Department Mathematics Hangzhou Teachers College Hangzhou 310012 China Abstract We discuss the significance of introducing the concept of limes inferiores and limes superiores into the mathematics anylysis