高三数学轨迹方程.ppt

2010届高考数学复习强化双基系列课件 77 圆锥曲线 轨迹方程 基本知识概要 一 求轨迹的一般方法 1 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 易于表述成含x y的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 用直接法求动点轨迹一般有建系 设点 列式 化简 证明五个步骤 最后的证明可以省略 但要注意 挖 与 补 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 代入法 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点P x y 却随另一动点Q x y 的运动而有规律的运动 且动点Q的轨迹为给定或容易求得 则可先将x y 表示为x y的式子 再代入Q的轨迹方程 然而整理得P的轨迹方程 代入法也称相关点法 4 参数法 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借助中间变量 参数 使x y之间建立起联系 然而再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 5 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然而消去参数得到轨迹方程 可以说是参数法的一种变种 6 几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质 发现动点运动规律和动点满足的条件 然而得出动点的轨迹方程 7 待定系数法 求圆 椭圆 双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 8 点差法 求圆锥曲线中点弦轨迹问题时 常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程 然而作差求出曲线的轨迹方程 二 注意事项 1 直接法是基本方法 定义法要充分联想定义 灵活动用定义 代入法要设法找到关系式x f x y y g x y 参数法要合理选取点参 角参 斜率参等参数并学会消参 交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参 几何法要挖掘几何属性 找到等量关系 2 要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性 在最后的结果出来后 要注意挖去或补上一些点等 典型例题选讲 一 直接法题型 例1已知直角坐标系中 点Q 2 0 圆C的方程为 动点M到圆C的切线长与的比等于常数 求动点M的轨迹 说明 求轨迹方程一般只要求出方程即可 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么 二 定义法题型 例2如图 某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑 挖出的土只能沿AP BP运到P处 其中AP 100m BP 150m APB 600 问怎能样运才能最省工 练习 已知圆O的方程为x2 y2 100 点A的坐标为 6 0 M为圆O上任一点 AM的垂直平分线交OM于点P 求点P的方程 三 代入法题型 例3如图 从双曲线x2 y2 1上一点Q引直线x y 2的垂线 垂足为N 求线段QN的中点P的轨迹方程 练习 已知曲线方程f x y 0 分别求此曲线关于原点 关于x轴 关于y轴 关于直线y x 关于直线y x 关于直线y 3对称的曲线方程 四 参数法与点差法题型 例4经过抛物线y2 2p x 2p p 0 的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B C两点 求线段BC的中点M轨迹方程 五 交轨法与几何法题型 例5抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA OB 求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹 考例5 说明 用交轨法求交点的轨迹方程时 不一定非要求出交点坐标 只要能消去参数 得到交点的两个坐标间的关系即可 交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况 六 点差法 说明 本题主要考查了直线 抛物线的基础知识 以及求轨迹方程的常用方法 本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题 解决问题 小结 一 求轨迹的一般方法 1 直接法 2 定义法 3 代入法 4 参数法 5 交轨法 6 几何法 7 待定系数法 8 点差法 二 注意事项 1 直接法是基本方法 定义法要充分联想定义 灵活动用定义 化入法要设法找到关系式x f x y y g x y 参数法要合理选取点参 角参 斜率参等参数并学会消参 交轨法要选择参数建立两曲线方程 几何法要挖掘几何属性 找到等量关系 2 要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性 在最后的结果出来后 要注意挖去或补上一些点等 课前热身 y 0 x 1 2x2 y2 1 y2 8x x 0 或y 0 x 0 4 ABC的顶点为A 0 2 C 0 2 三边长a b c成等差数列 公差d 0 则动点B的轨迹方程为 5 动点M x y 满足则点M轨迹是 A 圆 B 双曲线 C 椭圆 D 抛物线 返回 D 6 当 0 2 时 抛物线y x2 4xsin cos2 的顶点的轨迹方程是 7 已知线段AB的两个端点A B分别在x轴 y轴上滑动 AB 3 点P是AB上一点 且 AP 1 则点P的轨迹方程是 8 过原点的动椭圆的一个焦点为F 1 0 长轴长为4 则动椭圆中心的轨迹方程为 X2 2y 2 返回 9 已知A B C 0 则直线Ax By C 0 A B C R 被抛物线y2 2x所截线段中点M的轨迹方程是 A y2 y x 1 0 B y2 y x 1 0 C y2 y x 1 0 D y2 y x 1 0 B 能力 思维 方法 解题回顾 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化简过程破坏了方程的同解性 要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 前者要指出曲线的形状 位置 大小等特征 后者指方程 包括范围 解题回顾 本题的轨迹方程是利用直接法求得 注意x的取值范围的求法 利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值 解题分析 本例中动点M的几何特征并不是直接给定的 而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的 3 一圆被两直线x 2y 0 x 2y 0截得的弦长分别为8和4 求动圆圆心的轨迹方程 解题回顾 此题中动点P x y 是随着动点Q x1 y1 的运动而运动的 而Q点在已知曲线C上 因此只要将x1 y1用x y表示后代入曲线C方程中 即可得P点的轨迹方程 这种求轨迹的方法称为相关点法 又称代入法 4 点Q为双曲线x2 4y2 16上任意一点 定点A 0 4 求内分AQ所成比为12的点P的轨迹方程 5 M是抛物线y2 x上一动点 以OM为一边 O为原点 作正方形MNPO 求动点P的轨迹方程 解题回顾 再次体会相关点求轨迹方程的实质 就是用所求动点P的坐标表达式 即含有x y的表达式 表示已知动点M的坐标 x0 y0 即得到x0 f x y y0 g x y 再将x0 y0的表达式代入点M的方程F x0 y0 0中 即得所求 6 过椭圆x2 9 y2 4 1内一定点 1 0 作弦 求诸弦中点的轨迹方程 解题回顾 解一求出后不必求y0 直接利用点P x0 y0 在直线y k x 1 上消去k 解二中把弦的两端点坐标分别代入曲线方程后相减 则弦的斜率可用中点坐标来表示 这种方法在解有关弦中点问题时较为简便 但是要注意这样的弦的存在性 解题回顾 本题由题设OM AB OA OB及作差法求直线AB的斜率 来寻找各参数间关系 利用代换及整体性将参数消去从而获得M点的轨迹方程 7 过抛物线y2 4x的顶点O作相互垂直的弦OA OB 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程 返回 延伸 拓展 解题回顾 1 本小题是由条件求出定值 由定值的取值情况 由定义法求得轨迹方程 2 本小题先设点的坐标 根据向量的关系 寻找各变量之间的联系 从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得 的范围 1 已知动点P与双曲线x2 2 y2 3 1的两个焦点F1 F2的距离之和为定值 且cos F1PF2的最小值为 1 9 1 求动点P的轨迹方程 2 若已知D 0 3 M N在动点P的轨迹上且DM DN 求实数 的取值范围