概率论与数理统计 第3章 多维随机变量及其分布.ppt

ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics 概率论与数理统计 第3章 多维随机变量及其分布 2020年2月5日星期三 3 本章主要内容 3 1二维随机变量及其分布 3 2边缘分布 3 4相互独立的随机变量 3 5两个随机变量的函数的分布 第三章多维随机变量及其分布 2020年2月5日星期三 4 第三章多维随机变量及其分布 在生产实践及理论研究中 经常遇到随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述的情况 例如 观察炮弹在地面命中点的位置 需要同时由两个随机变量 两个坐标 来刻画 又如检验某建筑工程的质量时 也需要同时讨论其若干个技术指标 随机变量 一般来说 这些随机变量不是孤立的 而是相互影响或制约 需要作为一个整体加以研究 2020年2月5日星期三 5 一 二维随机变量 定义1 1 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 6 图3 1 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 7 二 二维随机变量的分布函数 定义1 2 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 8 图3 2 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 9 图3 3 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 10 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 11 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 12 对于二维随机变量 我们同样只研究离散型及连续型两类 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 13 三 二维离散型随机变量 定义1 3 定义1 4 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 14 由概率的定义和可列可加性 易推得分布律的性质 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 15 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 16 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 17 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 18 注意 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 19 四 二维连续型随机变量 定义1 5 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 20 由定义及积分上限函数的性质可见如下结论 概率密度的性质 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 21 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 22 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 23 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 24 图3 4 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 25 下面给出两个常用的分布 1 均匀分布 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 26 2 正态分布 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 27 二维正态分布图像 3 1二维随机事件及其分布 2020年2月5日星期三 28 五 多维随机变量及其分布 定义1 6 3 1二维随机事件及其分布 定义1 7 2020年2月5日星期三 29 n维随机变量的分布函数具有类似与二维随机变量分布函数的性质 关于n维离散型随机变量的联合分布律及n维连续型随机变量的联合概率密度 读者可按照二维随机变量的情况自己给出 3 1二维随机事件及其分布 返回 2020年2月5日星期三 30 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 31 定义2 1 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 32 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 33 例2 1 求第一节例1 1中的二维随机变量 X Y 关于X和关于Y的边缘分布律 解在第一节例1 1中有 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 34 例2 2 设有5件同种产品 其中2件合格品 3件次品 现抽取两次 每次随机取1件 以X表示第一次取到次品的件数 以Y表示第二次取到次品的件数 求随机变量 X Y 的分布律及边缘分布律 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 35 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 36 2 考虑采用 无放回抽样 方式 利用条件概率及乘法公式 容易算出相关概率 计算结果见下表 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 37 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 38 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 39 图3 5 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 40 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 41 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 42 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 43 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 44 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 45 图3 6 返回 3 2边缘分布 2020年2月5日星期三 46 同样 随机变量的相互独立性 也是概率论中的一个重要概念 下面我们将利用随机事件的独立性引出随机变量的独立性 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 47 定义4 1 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 48 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 49 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 50 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 51 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 52 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 53 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 54 例4 4 一负责人到达办公室的时间均匀地分布在8 12时 他的秘书到达办公室的时间均匀地分布在7 9时 设他们两人到达办公室的时间相互独立 求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 55 由图3 9可见 图3 9 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 56 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 57 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 58 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 59 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 60 请读者注意 本题的结论是二维正态变量特有的性质 可称为重要结论 注意 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 61 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 62 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 63 返回 3 4相互独立的随机变量 2020年2月5日星期三 64 一 离散型随机变量函数的分布 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 65 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 66 上式常称作离散卷积公式 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 67 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 68 注意 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 69 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 70 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 71 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 72 二 连续型随机变量函数的分布 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 73 1 Z X Y的分布 图3 10 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 74 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 75 式 5 4 和 5 5 是两个随机变量和的概率密度的一般公式 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 76 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 77 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 78 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 79 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 80 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 81 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 82 图3 11 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 83 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 84 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 85 2 M max X Y 及N min X Y 的分布 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 86 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 87 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 88 注意 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 89 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 90 图3 12 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 91 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 92 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 93 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 94 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 95 3 5两个随机变量的函数的分布 2020年2月5日星期三 96 3 Z X Y的分布 3 5两个随机变量的函数的