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生活类建模习题1.某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴纳50元月租费，每通话一分钟再付话费0.4元；“快捷通”不缴纳月租费，每通话一分钟付话费0.6元，若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为y1元和y2元。（1） 写出y1 ，y2与x之间函数关系式；（2） 一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3） 某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯合算些？解： 即选择全球通2. 学校有一块边长为10米的正方形草地，现准备将它的一边增加x米，而另一边减少2米，改成长方形，改变后草地周长与面积发生了怎样的变化？当x米为多少时，周长与原来的一样？又当x为多少米时，面积与原来的一样，试写出相应的函数关系式？找出合理的答案。解：3. 某单位计划组织员工到H地旅游，人数估计在10到25人之间，甲，乙旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。问该单位应怎样选择使其支付的旅游费用较少？解： 设人数为x,则即当人数在10至15人时，选甲费用少。人数在16人时，甲、乙一样，人数在17至25人时,选乙费用少。4. 一个等腰三角形的周长为16cm，若腰长为xcm，底边长为ycm，写出底边长为ycm与腰长xcm的函数关系式及自变量x的取值范围。解：5. 中国人都认为数字8是一个吉祥的数字，104是一个不吉利的数字，它的谐音是“要你死”。那么你能将104个桃子分别装入8个篮子里，使每个篮子里桃子的个数都带有数字8吗？如果能，该怎样装？解:6. 某饼干厂为了推销饼干，搞了促销活动：如果用3个空饼干袋子可以免费换取1袋饼干，小刚买了10袋饼干，最多可以吃几袋？解：7. 用8、5、4、0这四个数字可以组成多少个数字不重复的四位数？把这些数从大到小排列，那么5804排在第几位？解：8. 王老师家新买一套住房，客厅长6米，宽4.8米，高3米。王老师这样装修客厅：（1）地面铺边长为0.6米的方砖.请你算一算，王老师至少要买多少块这样的方砖? (2)用立邦漆粉刷四周墙面，每平方米大约需要1.2千克.王老师至少要买多少千克立邦漆?(扣除10平方米的门窗面积).解：9.学校购进两批同样的课桌，第一批48张，第二批54张，第二批比第一批多付285元，每张课桌多少元?解：设每张桌x元，则10.一桶油连桶重36.5千克，吃了一半油后，连桶重量还有20.5千克.，则油重多少千克?解：设油有x千克，则 11.夏天到了，妈妈买回两袋800克装的橙子粉和1千克方糖，由说明可知，冲一杯橙子饮料需16克橙子粉和9克方糖.妈妈买的方糖够冲完这两袋橙子粉吗?解：12 甲、乙两地相距30km，李明同学按5km/h的速度可按时达到，现李明走了3h后，因事停留0.5h，为了不迟到，李明后来的速度至少是多少？ 解：设后来的速度为vkm/h,则 13 已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x,则x的取值范围是什么？解：由三角形性质，得14 某班有住校生若干，住若干宿舍，若每间住4人，则余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住校生人数和宿舍间数。解：设有x间宿舍，则总人数有4x+20 由题意，得 15 已知一条长为200米的绳子，用它围成一个矩形，问长和宽各等于多少时，围出来的矩形面积最大？解：设长为x米，则宽（100x）m, 即长宽各是50m时，围出来的矩形面积最大16 2007年怀化市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花蕊和2950盆乙种花蕊搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型甲种花蕊80盆，乙种花蕊40盆，搭配一个B种造型需甲种花蕊50盆，乙种花蕊90盆。 （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配有几种?请你帮助设计出来。（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？解：（1）设A种造型x个，B种（50x）个，则 甲乙A8040B5090由已知，得(2)成本17某学校把学生的期末测试、实践能力两项成绩分别按60%、40%的比例计入学期总评成绩。王刚实践能力这一项成绩是81分，若想学期总评不低于90分，则期末测试的成绩至少是多少分？解：期末测试的成绩至少为x分，则18 平行四边形ABCD的对角线交点是点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是多少？解：如图可知， 19 用长为20米的绳子围成一矩形，问长和宽各等于多少时，围成的矩形面积最大？解：设矩形的长和宽分别为x米和y米，则x+y=10 20 某工程队计划10天内修完6千米的路，施工前2天修完1.2千米后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天平均每天至少要修路多少千米？解：设以后几天平均每天至少要修路x千米，则所以以后几天平均每天至少要修路0.8千米21某公司计划下一年度生产一种新型计算机，下面是各部门提供的数据信息：人事部：明年生产工人多于80人，每人每年按2400小时计算；市场部：预测明年销售量至少10000台；技术部：生产一台计算机，平均要用12个工时，每台机器需要安装某种主要部件5个；供应部：今年年终将库存这种主要部件2000件，明年能采购到的这种主要部件为80000件。根据上述信息，明年公司的生产量可能是多少？ 解：设明年公司的生产量可能是x台，则 所以明年公司的生产量可能是16000台。22某单位组织62人到天湖和寒山湖旅游，到天湖的人数是到寒山湖的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各多少？解：设到天湖和寒山湖旅游的人数各为x人和y人，则23、一个长方形窗户的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个长方形的长和宽。解：设长方形的长和宽分别为xcm和ycm,则24 近年来由于受国际石油市场影响，汽油价格不断上涨，今年5月份汽油价格比去年5月份每升多1.8元。用150元给汽车加油量比去年少18.75升。今年5月份的油价是多少？解：设今年的油价为x元/升，去年的油价为y元/升，则 25 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，两者的单价之和是425元。且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各多少？(2)该同学上街，恰好赶上商家促销，A超市所有商品8折出售，B超市全场购满100元返回购物券30元。（不足100元不返券，购物券全场通用）。但他只带400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两种物品，你能说明他选择在哪一家购买更省钱？解：（1）设书包的单价为x元，则随身听为（4x-8）元，（2）选A家用钱为 选B家用钱为：先买随身听，再买书包一只，余钱为61.6元， 所以选择B家合适26 某植物园种植了一片郁金花，共20行，第1行1棵，往后每一行都比前一行多2棵，问这片郁金花共有多少棵？解：由题意知，每行郁金花的棵数从前到后成等差数列，其中=1,d=2，n=20，所以（棵）答：这片郁金花共有400棵27 影剧院内共有22排座位，第一排有座位18个，往后每一排都比前一排多1个座位，问影剧院内共有座位多少个？解：由题意知，影剧院座位个数从前到后成等差数列，其中=18,d=1，n=22所以,(个)答: 影剧院内共有座位627个28 梯子的最高一级宽是33cm，最低一级宽是89cm。中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级宽度。解：由题意知，梯子各级宽度组成等差数列，其中=33, ，n=9由89=33+（9-1）d,d=7所以a2=a3=29 翻开今天的日历2009年 六月星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123456789101112131415161718192021222324252627282930（1）2009年6月所有星期二的日期组成_等差_数列（2）写出这个数列的通项公式_7n-5_30、某物品原价为500元，经过两次降价后，为405元，若每次降价百分率相同，试求出此百分率。解：设百分率为x，则，500（1-x）2=405,或答：百分率为.31、设工厂1月份产量为100万件，12月份产量为200万件，若每月的增长率相同，则该厂11月份产量为多少？(精确到0.1万件)解：设每月增长率为x，则100（1+x）11=200（1+x）11=2（1+x）= 187.8(万件)答：11月份产量为187.8万件.32、有一批电脑原售价为5000元/台，在甲、乙两家电脑门市部销售，甲家用的推销方法如下：买一台单价为4900元，买第二台单价为4800元，依次类推，每多买一台则所买那台减少100元，但每台最低为3500元；而乙家一律按单价75%销售，某校需添置一批电脑60台，问去哪家门市部购买花费少？解：甲家单价组成等差数列,其中a1=4900, d=-100,，甲所需花费乙所需花费应选择甲答:去甲家买花费少.33、有一个细胞，分裂一次变2个，再分裂一次变为4个，10次分裂后变为几个？解:细胞每次分裂后的个数组成等比数列,其中所以答: 10次分裂后变为1024个.34、一个弹力球从128米高空落下，每次落下到达地面后又弹回到原来高度的一半，求该球第7次落地时，所经过的总路程为多少米？解: 从第二次落地经过的路程成等比数列. 答:所经过的总路程为380米.35、俗话说：“一传十，十传百”一个消息开始一个人知道，此人传递给10人，得到消息的10人每个人又往下传递给不同的10人，问如此传下去，经过6次传递后，共有多少人得到此消息？解: 由题意知，每次得到消息的人数组成等比数列答: 经过6次传递后，共有1111111人得到此消息.营销类建模习题A1某房地产商拥有一块三角形的地盘ABC（如图），底BC=60m,高AD=40m，现在要沿BC建筑一座矩形的大楼，问若使这座大楼的地基的面积最大，它的长和宽应各为多少？解：设长方形长FG为x米，宽EF为y米，则EFBC EH得得GDFCB当即当长为30米，宽为20米时，地基面积最大。2.某种机床的生产数量 x与成本y之间有着一定的函数关系，在经济学中称为成本函数，假定成本函数是一个二次函数y=ax2+bx+c，经实际测算得到以下数据：产品数量x（百台）03467.210总成本y（万元）5072.582104119.2160且知生产机床的收益函数R（x）=20x（万元）（1） 试求利润函数；（2） 分析盈亏平衡状况。（保留一位小数）解：（1）由题意得二次函数的图像经过点（0，50），（4，82），（6，104），则解得成本函数为利润函数当 故（1）利润函数为（2）当4.2x180分钟时，y1；当xy2。 即若小周每月通话时间为180分钟时，可选择任何一家，若小周每月通话时间超过180分钟，应该选择中联通130网，若小周的每月通话时间不到180分钟，应选择中国电信的“神州行”储值卡。7. 某超市为了获取最大利润做了一个实验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨一元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润。解：设价格提高x元，获得的利润为y由已知得y=(10+x)(60-10x)-8(60-10x) =-10x2+40x+120当x=时，ymax=160当售价为12元时，赚得的利润最大为160元8. 我国征收个人工资，薪金所得税是分段计算的，从2006年9月起，总受入不超过1600元的免征个人所得税，超过1600元部分需征税，设全月应纳税金额为x,x=全月总收入-1600元，税率见下表：级数全月纳税所得金额x税率1239不超过500元部分超过500元至2000元部分超过2000元至5000元部分超过100000元部分5%10%15%45%（1） 若纳税额为f(x)，试用分段函数表示13级纳税额f(x)的计算公式（2） 某人2006年10月份工资总收入4000元，计算这人10月份应交纳个人所得税多少元？简析：纳税为分段函数由于x=4000-1600=2400，2000 2400 5000所以所以，2006年10月份这个人应交税235元。9.某百货公司对钢琴的销售采取分期付款的方式，规定购买时先交款，其余在12个月内每月末固定支付金额a，以一月为一期计算复利，现钢琴的售价是28000元，月息0.5%，试计算每月付款金额。简析：一方面，由已知，钢琴价28000元需分期付款总额A=28000=18666.7元，r=0.005，n=12，按复利计算经过12个月后共要支付18666.7（1 + 0.005）12元。另一方面，若每月偿还金为a 元，利息同上，则12月末的本利和为由这个问题再推导出分期付款的一般公式，借款A元，按月复利r计算，到n年末的本利和为元，另一方面，若每月偿还金为a 元，利息同上，则n月末的本利和为得到分期付款的一般公式10.养老保险的选择方案。某保险公司有两套不同的保险方案：方案1：40足岁起每年交费437元，一直交到59足岁为止，从60足岁起每年领取养老进1200元直至死亡，死亡后保险公司一次性交付给家属10000元。方案2：40足岁起每年交费750元，连续交纳10年，从60足岁起领取养老金，第一年1000元，以后每年递增50元，直至死亡，死亡后保险公司一次性交付给家属10000元。若预期寿命为75岁，推出方案时银行年利率为7.47%，问哪一种方案对投保人有利（以银行利息作为投资的收益参照标准）简析：两种方案都是从60足岁起领取养老金，计算出这一年投保人投入的资金，再计算保险公司的投资额。 故采用方案1比方案2可以少投资三千元，再看保险公司的投资：方案1保险公司的收益为P1 -Q1 =5471.92 元；方案2保险公司的收益为P2 Q2=7805.35元电子电工类建模习题1、 两只电阻和，它们串联时的总电阻为10，并联时的总电阻为2.4，则它们的电阻各为多少？解：解得 2、如图已知在并联中，=2，=3，=4，求电路中的总电阻。（提示：）3、如图，问当变阻器的滑动点向左移动时，图中各电表的读数如何变化？为什么？解： =，当滑动触点左移，减少，所以减少，由推知，I增大，即 示数增大。又，增大，所以增大，即示数增大。根据，增大，所以减少，即示数减少。例题一根60的电阻丝接在36V的电流上，在5min内共产生多少热量.解：I=U/R=36V/60=0.6AQI2Rt(0.6A)260300s6480J4、已知交流电压 V，求（1）交流电压的初相位、周期T和频率； （2）t=0.1s时交流电压的瞬时值。解：(1) 交流电压的初相位=,周期T=,频率=50 （2）=7.055、图是一个按正弦规律变化的交流电的波形图，根据波形图求出它的周期、频率、初相，并写出它的解析式。0.20.1 (单位：s) (单位：A)解：周期T=0.2s，频率=5Hz，初相=，解析式6、如图，是三相交流电的三个相电压，是三个线电压，其中，要求作出三个线电压。 7、由电阻、电感、和电容相串联所组成的电路，叫做RLC串联电路，如图1所示，电阻R、电感L、和电容C两端的电压、如图2所示，要求作出A、B两端的电压（提示：）。8、已知一个RC电路，电容器充电后经过电阻R放电（如图），=50，电容器充电后的初始电压，试求：（1）开始放电时的初始电流；（2）电流的时间常数；（3）电容器上电压衰减到所需要的时间。（分析：在图中，先将开关合在端，使电容器充电，然后再将开关合向端，则电容器通过电阻R放电。经理论分析，电容器在放电过程中，客观存在的两端电压随时间按指数规律衰减，其函数关系是 其中是电流的时间常数，当电阻R的单位是欧姆（），电压的单位是伏特（V），电容的单位是法拉（F）时，时间t的单位是秒（s），又知，。解：（1）放电电流=0.06(mA)（2）时间常数=5（s）（3）根据公式得： 3= t=3.45(s)即电压衰减到3V时，所需时间为3.45s.机械类建模习题14.71. 如图，一块底角是750的等腰梯形样板，上底没有锉好，量得上底14.7 mm是。如果要求上底是15.7mm，还应当从上底往下锉去多深解：设应锉去高度为xmm,解直角三角形得：x /X=0.5tan7502. 水车链轮直径是1405mm，转速是72转/分，计算链条速度是多少米/秒。如果链条带动皮线，在直径是110mm的水管中抽水，计算出水量是多少吨小时（不计漏损）解：链条速度v,即每秒水流的长度h, v=n2r=2每秒出水量 V=hr2= 2ay3. 要检验燕尾槽底的宽度是否符合规定数字a，因为不易直接测量，把直径是D的两个相同的那么钢柱放在槽里，测钢柱间的距离y，如果已知a, ,D，问y应是多少？解：在直角三角形中，即X=Rcot, 所以 y=a-D-2 Rcot4. 在一个长方体的零件上铣出一个燕尾槽（槽底平行于长方体的底面），要求槽的高度是h，槽底的宽度是b，开口处宽度是a，槽两侧的倾斜角相等，把这个斜角用反三角函数表示出来bah解：在直角三角形中：所以x5. 一个工人从废料堆中找到正方形钢板一块，上面有一些伤疤（如图）。现在需要在这块有伤疤的钢板中截出一块较小的正方形钢板，使他的面积是原钢板的，如果斜角截出所需要的材料，应当按怎样的角度来截？解：设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是 在直角三角形中：x2+(1-x2)= ()2 X= cos= =arccos 6.