2015年第十一届泛珠力学基础试题(竞赛答案).pdf

第第第第11屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試屆泛珠三角物理奧林匹克暨中華名校邀請賽力學基礎試 解解解解答答答答 選擇題 20 2 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 F E D C B A D F E D A C B C E F C C B A 提示 MC1 t s v 414 10g 2 5gg 20g50g 0 MC2 t v 2v0 a a 4S 0 v0 3S S MC5 2 r GMm F r R r R r R r RrRr r GMm Rr GMm Rr GMm 4 1 1 1 1 1 1 1 22 2 22 2 22 6 64 MC9 10 E D 動量守恆 m1v0 m2v2cos 和 0 m1v1 m2v2sin v2cos 0 2 1 v m m 和v2sin 1 2 1 v m m 2 1 2 0 2 2 2 1 2 2 vv m m v 2 222 2 1 vmE 2 1 2 1 2 1 10 2 1 2 11 2 01 2 1 2 1 2 0 2 2 2 1 2 EE m m vmvm m m vv m m m 能量守恆 E0 E1 E0 En En E0 E 1 E2 1 1 2 1 1 2 1 0 m m E m m E MC11 MC12 同相 異相 k1 k2 k1 k2 模式1 L g Mk 1 模式2 k2 2K 模式1和2並聯 K L g Mkkk2 21 M K L g M k2 2 MC13 B 7m n 0 1 2 3 ab 4 1 2 1 n 7m 28m 3 28 m 5 28 m 7 28 m Tn 2 1 1s T 2s 3 2 s 5 2 s 7 2 s v T v 14m s 14m s 14m s 14m s a b0b2b1b3 x a a 0 MC13 a N Mg f MC14 15 16 MC14 C 牛頓運動定律Mg sin f Ma 牛頓轉動定律 Rf Ic 其中a R a R I f c 2 2 1 sin MR I g a c 實心圓杆Ic 2 1 MR2 a sin 3 2 g MC15 E 分析法 a 3 2 g sin 3 10 m s2 4 2 3 10 22 advc 4m s R 0 25 16 rad s 能量法 機械能守恆Ui Kf Mg dsin 2 222 2 2 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ccc MvRMMRMvI vc 2 110 3 4 3 4 gh 4m s R 0 25 16 rad s MC16 F 3 10 3 2 1 2 1 2 Maa R I f c s 5 N Q21 12 分 1 克服摩擦力所做的功 gLnMgLMMgLWf 2 L MgL nn 2 1 因碰撞而損失的總動能 K K0 Wf MgL nnMv 2 1 2 2 0 2 設第i次碰撞前的速度vi和碰撞後的速度vi 則則動量守恆 ii iMvMvi 1 ii v i i v 1 碰撞前動能 2 2 1 ii iMvK 碰撞後動能Ki iii K i i v i i MiMvi 1 1 1 2 1 1 2 1 22 碰撞過程損失的動能 Ki K i K i i KKK iiii 1 1 1 損失的動能與碰撞前的動能之比 1 1 iK K i i 3 能 量 法 第1次碰撞前動能K1 K0 MgL 碰撞後動能K1 2211 1 0 1 MgLK K 其中K0 2 2 0 Mv 第2次碰撞K2 2 5 2 2 0 1 MgLK LMgK K2 3 5 312 2 0 2 MgLK K 第3次碰撞K3 3 14 3 3 0 2 MgLK LMgK K3 2 7 413 3 0 3 MgLK K K3 2 7 4 0 MgLK 4M gL 滑動摩擦係數 1 01060 3 60 2 2 0 gL v 0 15 3 分 析 法 設第i次碰撞前減速度a 牛頓定律 f N iM g iM a a g 與碰撞次數無關 運動方程 vi2 vi 1 2 2aL vi 1 2 2 gL 第1次碰撞前速度v12 v02 2 gL 碰撞後速度v1 2 4 2 11 1 2 02 1 gLv v 第2次碰撞前速度v22 4 10 2 2 02 1 gLv gLv 碰撞後速度v2 2 9 10 12 2 2 0 2 gLv v 第3次碰撞碰撞前速度v32 9 28 2 2 02 2 gLv gLv 碰撞後速度v3 2 16 28 13 3 2 0 3 gLv v 0 v3 2 2 gL gL gLv 2 16 28 2 0 滑動摩擦係數 20 3 1 01060 3 60 2 2 0 gL v 0 15 Q22 16 分 1 北京和伊斯坦堡的距離AB 360 29116 40cos63702 0 7 409 519 7 410 km 2 2 2 2 2 T mr r v m r mGM F Sun 2 3 2 4T rGMSun 2 3 2 3 V V E E T r T r 和v r GMSun a 地球和金星圍繞太陽運行的軌道半徑之比 3 2 3 2 225 365 V E V E T T r r 1 381和線速度之比 V E E V r r v v 1 175 b 地球相對於太陽的速度vE 11 3011 105 1 1099 11067 6 E Sun r GM 29 74704467 29 747 km s 3 vE Sun vE Venus rE rV vE VonS a 11 V E r r VP AP VP AV PQ AB 金星顯示在太陽表面兩個獨立黑點的距離 1 VE rr AB PQ 19 470km b 我們在地球上觀察到的太陽速度vE Sun vSun vE vE 金星速度vE V vV vE E V v v 1 vE 0 175vE VV V VE E VE VonSE rr r vv r v v 381 1 381 1 3 62467 金星投影在太陽表面的速度vE VonS 3 6247 0 175vE 0 6344vE 金星暗影在太陽表面的速度vSV vE VonS vE Sun 0 6344vE vE 1 6344vE c 北京和伊斯坦堡兩地觀測到金星凌日現象結束的時差 T 616 48 072 19467 SV v PQ 400s Q 23 14 分 1 設當錘身的微小擺角為 時 小球2M的速度為v和位移x L 複合擺錘的重力勢能和動能分別為 U 2 2 7 2 1 cos1 2 3 cos1 2 x L MgL gMgLM 其中 2 2 2 cos1 L x L Mg b 2 7 K 2 2 2 4 11 2 1 2 3 2 1 2 2 1 vM v MvM Ma 4 11 由 a b 2 得到擺錘的振動頻 L g 11 14 2 a 系統繞距離質點A為2L 3的質量中心C擺動 3 2 3 2 3 2 2 22 MLL M L MIC 由牛頓轉動定律有 I 3 2 sin 3 3 sin 3 2 MLL QE L QE 0 2 3 ML QE 夾角 的振動頻 ML QE 2 3 b 質點A的振幅 00 3 2 L x 速度tAtv sin vmin 0 和 vmax x0 0 3 2 L 並且vmax2 2 0 2 0 22 3 2 3 2 QE M LL 3 2 cos 2 L v MQET 接杆 2 2 3 cosv L M QET 0時 Tmin QE cos 0 QE 當 0時 Tmax 1 2 3 2 0 2 max QEv L M QE Q24 18 分 xdx h a O O A i f pi pf B O a a f 300 圖 1 圖 2a 圖 2c 1 平行移軸法 IO 6 IC mh2 6 2 2 2 3 12 am ma 6 6 5 ma2 其中 6 M m 積分法 2 3 6 a h a M I 12 2 0 a dI 12 2 0 22 a dxxhdx 2 0 3 2 34 32 a x xa a M 正六邊形薄壁棱柱繞其中心軸線O的的轉動慣量I 6 5 Ma2 a 某一棱邊A碰撞到斜面之前和之後關於A點的瞬時角動量 Li IO i piA iii MaaaMMa 2o2 3 4 30sin 6 5 和Lf IA f f Ma 2 6 11 Li Lf i 3 4 f 6 11 f k i 其中 k 11 8 b 某一棱邊碰撞到斜面之前和之後的動能 2 2 1 iBi IE 和 2 2 1 fAf IE IA IB 2 2 2 11 8 i f i f E E Ef kEEi 其中kE 121 64 c 碰撞後薄壁棱柱的質心O至少轉動一個角度 30o 上升到最高位置 h a 1 cos 30o Ef kE Ei Mg h Mga 1 cos 30o Ef min kminMga kmin E k 30cos 1 0 d 設某一棱邊第n次碰撞到斜面之前和之後的動能分別為Ein和Efn 由題 b 結果有Efn kEEin 接下來第n 1次碰撞 質量中心會降低一個高度 h a sin 動能變化 E Mga sin 則有Ei n 1 Ef n E kEEi n Mga sin n 1 2 即 Ei 2 kEEi 1 E Ei 3 kEEi 2 E kE kEEi 1 E E kE2Ei 1 kE 1 E Ei 4 kEEi 3 E kE kE2Ei 1 kE 1 E E kE3Ei 1 kE2 kE 1 E Ei n 1 kEnEi 1 kE n 1 kE 1 E kEnEi 1 E n E k k 1 1 E 由於kE 1當n Ei n