2012考研数学一真题及答案解析.pdf

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 答案 C 解析 解析 2 2 1 lim 1 x xx x 所以1x 为垂直的 2 2 lim1 1 x xx x 所以1y 为水平的 没有斜渐近线 故两条选C 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中n为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 答案 答案 C 解析 解析 222 2 1 22 1 2 xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen 所以 0 f 1 1 n n 3 如果 f x y在 0 0处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 D 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 答案 答案 2 解析 由于 解析 由于 f x y在 0 0处连续 可知如果 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则必有 0 0 0 0 lim 0 x y ff x y 这样 22 0 0 lim x y f x y xy 就可以写成 22 0 0 0 0 lim x y fxyf xy 也即极限 22 0 0 0 0 lim x y fxyf xy 存在 可知 220 0 0 0 lim0 x y fxyf xy 也即 22 0 0 00fxyfxyoxy 由可微的定义 可知 f x y在 0 0 处可微 4 设 2k x k e Ie sinxdx k 1 2 3 则有 D A I1 I2 I3 B I2 I2 I3 C I1 I3 I1 D I1 I2 I3 答案 答案 D 解 析 解 析 2 sin k x k e Iexdx 看 为 以k为 自 变 量 的 函 数 则 可 知 2 sin0 0 k k Iekk 即可知 2 sin k x k e Iexdx 关于k在 0 上为单调增 函数 又由于 1 2 30 则 123 III 故选 D 5 设 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 其中 1234 c c c c为任意常数 则下列向量组线性相关 的是 A 123 B 124 C 134 D 234 答案 答案 C 解析 解析 由于 1341 134 011 11 0110 11 c ccc 可知 134 线性相关 故选 C 6 设A为 3 阶 矩 阵 P为 3 阶 可 逆 矩 阵 且 1 1 1 2 P AP 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 1 2 1 B 1 1 2 C 2 1 2 D 2 2 1 答案 答案 B 解析 解析 100 110 001 QP 则 11 100 110 001 QP 故 11 10010010011001 11011011011101 00100100120012 Q AQP AP 故选 B 7 设随机变量 x 与 y 相互独立 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布 则 0 其它 则 45 000 1 5 y xyy x y P XYf x y dxdydxedxedy 8 将 长 度 为1m的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 1 2 1 2 1 1 DCBA 答案 答案 D 解析 解析 设两段长度分别为 x y 显然1 xy 即1yx 故两者是线性关系 且是负相关 所以 相关系数为 1 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 若函数 xf满足方程0 2 xfxfxf及 x exfxf2 则 xf 答案 答案 x e 解析 解析 特征方程为02 2 rr 特征根为2 1 21 rr 齐次微分方程 2 0fxfxf x 的通解为 xx eCeCxf 2 21 再由 2 x fxf xe 得 2 12 22 xxx C eC ee 可知 12 1 0CC 4 故 x f xe 10 2 2 0 2xxx dx 答案 答案 2 解析 解析 令1tx 得 211 222 011 2 1 11 2 xxx dxtt dtt dt 11 2 1 1 grad z xy y 答案 答案 1 1 1 解析 解析 2 2 1 1 2 1 1 1 grad 1 1 1 zz xyy x yyy 12 设 0 0 0 1 zyxzyxzyx则 dsy2 答案 答案 3 12 解析 由曲面积分的计算公式可知 解析 由曲面积分的计算公式可知 22222 1 1 1 3 DD y dsydxdyy dxdy 其中 0 0 1Dx yxyxy 故原式 111 22 000 3 33 1 12 y dyy dxyy dy 13 设 X 为三维单位向量 E 为三阶单位矩阵 则矩阵 T xxE 的秩为 答案 答案 2 解析 解析 矩阵 T xx的特征值为0 0 1 故 T Exx 的特征值为1 1 0 又由于为实对称矩阵 是可相似对角 化的 故它的秩等于它非零特征值的个数 也即 2 T r Exx 14 设 A B C是随机事件 A C互不相容 1 2 P AB 1 3 P C 则 P AB C 答案 答案 3 4 解析 解析 由条件概率的定义 P ABC P AB C P C 其中 12 11 33 P CP C 1 2 P ABCP ABP ABCP ABC 由于 A C互不相容 即AC 0P AC 又 ABCAC 得 0P ABC 代入得 1 2 P ABC 故 3 4 P AB C 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本题满分 10 分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 解析 解析 令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x 可得 2 2 2 2 112 lnsin 11 1 12 lnsin 11 11 lnsin 11 xx fxxxx xx x xx xx xx xx xx xx i i 当01x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x i 故 0fx 而 00f 即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 所以 2 1 lncos1 12 xx xx x 当10 x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x i 故 0fx 即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 可知 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 6 16 本题满分 10 分 求 22 2 xy f x yxe 的极值 解析 解析 22 2 xy f x yxe 先求函数的驻点 0 0 xy fx yexfx yy 解得函数为驻点为 0e 又 01 00 01 xxxyyy AfeBfeCfe 所以 2 0 0BACA 故 f x y在点 0e处取得极大值 2 1 0 2 f ee 17 本题满分 10 分 求幂级数 0n 2 443 21 nn n x2n 的收敛域及和函数 解析 解析 2 2 11 443 21 41413 211 limlimlim nn nnn nn nn aa n R aa nn n 2 2 211443 1 21 41413 lim n nnn n nn 2 2 0 443 21 n n nn S xx n 2 2 00 0 2 2 0 2 443 21 443 1 21 443 21 1 21 lim xx n n n n n nn S t dtx dx n nn xx n nn n n 时发散 2 2 0 443 11 21 n n nn x n 时收敛 2 2 0 1 1 4431 21 n n x nn S xx nx 为函数的收敛域 和函数为 18 本题满分 10 分 已知曲线 2 0 cos t ty tfx L 其中函数 tf具有连续导数 且0 0 f 2 00 ttf 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1 求函数 tf的表达式 并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无 边界的区域的面积 解析 解析 1 曲线L在任一处 yx的切线斜率为 sin tf t dx dy 过该点 yx处的切线为 sin costfX tf t tY 令0 Y得 cos tfttfX 由于曲线L与x轴和y轴的交点到切 点的距离恒为1 故有 1cos cot 2 2 ttftfttf 又因为 2 0 0 ttf 所以 t t tf cot sin 两边同时取不定积分可得Cttttf sintansecln 又由于0 0 f 所以0 C 故函数ttttfsintansecln 2 此曲线L与x轴和y轴的所围成的无边界的区域的面积为 2 0 cos 4 St f t dt 19 本题满分 10 分 已知L是第一象限中从点 0 0沿圆周 22 2xyx 到点 2 0 再沿圆周 22 4xy 到点 0 2的曲线 段 计算曲线积分 22 32 L Jx ydxxxy dy 解析 解析 设圆 22 2xyx 为圆 1 C 圆 22 4xy 为圆 2 C 下补线利用格林公式即可 设所补直线 1 L为 0 02 xy 下用格林格林公式得 原式 11 2323 3 2 3 2 L LL x ydxxxy dyx ydxxxy dy 0 22 2 31 3 2 D xx dxdyydy 8 21 11 44 422 CC SS 20 本题满分 10 分 设 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 b 求A 已知线性方程组Axb 有无穷多解 求a 并求Axb 的通解 解析 解析 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a 232 42 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaaaa a a a aaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解 则有 4 10a 及 2 0aa 可知1a 此时 原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 进一步化为行最简形得 10010 01011 00110 00000 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1 非齐次方程的特解为 0 1 0 0 故其通解为 10 11 10 10 k 线性方程组Axb 存在 2 个不同的解 有 0A 即 2 11 010 1 1 0 11 A 得1 或 1 当1 时 1 2 3 111 0000 1111 xx x x 显然不符 故1 21 本题满分 10 分 三阶矩阵 101 011 10 A a T A为矩阵A的转置 已知 2 T r A A 且二次型 TT fx A Ax 1 求a 2 求二次型对应的二次型矩阵 并将二次型化为标准型 写出正交变换过程 解析 解析 1 由 2 T r A Ar A 可得 101 011101 10 aa a 2 1 1232 3 222 1231223 202 022 224 22444 TT x fx A Axx xxx x xxxx xx x 则矩阵 202 022 224 B 202 022260 224 EB 解得B矩阵的特征值为 123 0 2 6 对于 11 0 0EB X 解得对应的特征向量为 1 1 1 1 对于 22 2 0EB X 解得对应的特征向量为 2 1 1 0 10 对于 33 6 0EB X 解得对应的特征向量为 3 1 1 2 将 123 单位化可得 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 0 3 1 1 1 6 2 123 Q 22 本题满分 10 分 已知随机变量 X Y以及XY的分布律如下表所示 X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 求 1 2P XY 2 cov XY Y 与 XY 解析 解析 X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 1 11 20 02 10 44 P XYP XYP XY 2 cov cov cov XY YX YY Y co