山东省山东百杰网络工程学院2014年高三上学期模预测数学（理）试卷.doc

山东省山东百杰网络工程学院 2014 年高三 上学期模预测数学 理 试卷 满分 150 分 考试用时 120 分钟 参考公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的 概 率 2 1 0 1 nkppCkP knkk nn 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 设 a bR i是虚数单位 则 0ab 是 复数 b a i 为纯虚数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 已知全集 集合或 则集合UR 2Ax x 3 x 2 340 Bx xx AB A B 24 xx 13 xx C D 21 xx 34 xx 3 已知变量满足约束条件 则的最大值为 x y 2 1 1 y xy xy 3zxy A 12 B 11 C 3 D 1 4 等差数列中 若 则 n a 7 5 9 13 a a 13 9 S S A 1 B C D 13 9 9 13 2 5 在 ABC 中 AB 2 AC 3 AB BC A 1 则 BC A 2 2 B 7 C 3 D 23 6 已知命题 函数恒过 1 2 点 命题 若函数为偶函数 则p 1 2 x ya q 1 f x 的图像关于直线对称 则下列命题为真命题的是 f x1x A B pq pq C D pq pq 7 定义在 R 上的奇函数满足 对任意 且 都有 f x 12 0 x x 12 xx 则 1212 0 xxf xf x A 3 2 1 fff B 1 2 3 fff C 2 1 3 fff D 3 1 2 fff 8 在某跳水运动员的一项跳水实验中 先后要完成6个动作 其中动作P只能出现在第一步或最 后一步 动作Q和R实施时必须相邻 则动作顺序的编排方法共有 A 96 种 B 48 种 C 24 种 D 144 种 9 一个几何体的三视图如图所示 其中主视图和左视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形 则该几何 体的外接球的表面积为 A 12 B 4 3 C 3 D 12 3 10 如果函数的图象在处的切线l过点 并且l与圆C 2 ln 1 a f xx b 1x 1 0 b 相离 则点 a b 与圆C的位置关系是 22 1xy A 在圆内 B 在圆外 C 在圆上 D 不能确定 第 卷 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知函数的定义域为 则函数的定义域为 f x 1 0 21fx 12 若 则的值是 1 1 2 3ln2 1 a xdxa x a 13 在 内角所对的边长分别为且ABC A B C a b c 1 sincossincos 2 aBCcBAb 则 ab B 14 若存在实数满足 则实数的取值范围是 1 2 3 x 2 2xa x a 15 已知点 P 是 ABC 的中位线 EF 上任意一点 且 EF BC 实数 x y 满足 设 ABC PBC PCA PAB 的面积分别为 S S1 S2 S3 0 PCyPBxPA 记取最大值时 的值为 323 3 2 2 1 1 则 S S S S S S yx 2 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共 6 题 共 75 分 16 本题满分 12 分 在中 3 2 2 ABC ab6B A 求 cosA的值 求c的值 17 本题满分 12 分 某大学开设甲 乙 丙三门选修课 学生是否选修哪门课互不影响 已知某学生只选修甲 的概率为 0 08 只选修甲和乙的概率是 0 12 至少选修一门的概率是 0 88 用 表示该学 生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积 记 函数 2 xxf x 为R上的偶函数 为事件A 求事件A的概率 求 的分布列和数学期望 18 本题满分 12 分 如图 在四面体中 平面 BCDA ADBCD 是的中点 是22 2 BDADCDBCMADP 的中点 点在线段上 且 BMQACQCAQ3 证明 平面 PQBCD 若二面角的大小为 求的大DBMC 0 60BDC 小 A B C D P Q M 第 18 题图 19 本小题满分 12 分 在数列中 已知 n a log32 4 1 4 1 4 1 1 1 Nnab a a a nn n n 求数列的通项公式 n a 求证 数列是等差数列 n b 设数列满足 求数列的前 n 项和 n c nnn bac n c n S 20 本小题满分 13 分 椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点分别是 12 F F 离心率为 3 2 过 1 F 且垂 直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1 求椭圆C的方程 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连接 12 PF PF 设 12 FPF 的角平分线 PM交C 的长轴于点 0 M m 求m的取值范围 在 的条件下 过P点作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个公共 点 设直线 12 PF PF 的斜率分别为 12 k k 若 0k 试证明 12 11 kkkk 为定值 并 求出这个定值 21 本小题满分 14 分 已知函数 ln x xk f x e k为常数 2 71828 e 是自然对数的底数 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线与x轴平行 求k的值 求 f x的单调区间 设 2 g xxx fx 其中 fx是 f x的导函数 证明 对任意0 x 2 1g xe 山东省2014年参考答案 理科数学 一 一 选择题 BDBAC BCACA 二 填空题 11 12 2 13 14 15 1 1 2 6 20 3 2 3 三 解答题 16 解 I 因为a 3 b 2 B 2 A 所以在 ABC 中 由正弦定理得 6 32 6 sinsin2AA 所以 故 2sincos2 6 sin3 AA A 6 cos 3 A II 由 I 知 所以 又因为 B 2 A 6 cos 3 A 2 3 sin1 cos 3 AA 所以 所以 2 1 cos2cos1 3 BA 2 2 2 sin1 cos 3 BB 在 ABC 中 5 3 sinsin sincoscossin 9 CABABAB 所以 sin 5 sin aC c A 17 解 1 设该学生选修甲 乙 丙的概率分别为x y z 依题意得 若函数 xxxf 2 为R上的偶函数 则 0 当 0 时 表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 1 1 1 0 zyxxyzPAP 24 0 6 01 5 01 4 01 6 05 04 0 事件A的概率为 24 0 2 依题意知 20 则 的分布列为 02 P 24 0 76 0 的数学期望为 52 1 76 0 224 0 0 E 18 解 方法一 如图 6 取的中点 且是中点 所以 因为MDFMAD3AFFD 是中点 所以 又因为 且 所以 所PBM PFBD3AQQC 3AFFD QFBD 以面面 且面 所以面 PQFBDCPQ BDC PQBDC 5 0 6 0 4 0 88 0 1 1 1 1 12 0 1 08 0 1 1 z y x zyx zxy zyx 解得 方法二 如图 7 所示 取中点 且是中点 所以 取的三等分点BDOPBM 1 2 POMDCD 使 且 所以 所以H3DHCH 3AQQC 11 42 QHADMD 且 所以面 POQHPQOH OHBCD PQBDC 如图 8 所示 由已知得到面面 过作于 所以ADB BDCCCGBD G 过作于 连接 所以就是的二CGBMD GGHBM HCHCHG CBMD 面角 由已知得到 设 所以 813BM BDC cos sin2 2cos 2 2cossin 2 2sin CDCGCB CDCGBC BDCDBD 在中 所以在中 RT BCG 2 sin2 2sin BG BCGBG BC RT BHG 所以在中 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG RT CHG 2 2 2cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG tan3 0 90 6060BDC 19 解 1 数列 是首项为 公比为的等比数列 4 1 1 n n a a n a 4 1 4 1 4 1 Nna n n 2 n 2 时 bn bn 1 3 2log3 4 1 nn ab 1 4 1 3log 232 4 n n bn 1 1 b 公差 d 3 数列是首项 公差的等差数列 n b1 1 b3 d 3 由 1 2 知 n n n a 4 1 23 nbn N 4 1 23 Nnnc n n nn n nnS 4 1 23 4 1 53 4 1 7 4 1 4 4 1 1 132 于是 1432 4 1 23 4 1 53 4 1 7 4 1 4 4 1 1 4 1 nn n nnS 两式 相减得 132 4 1 23 4 1 4 1 4 1 3 4 1 4 3 nn n nS 1 4 1 23 2 1 n n 4 1 3 812 3 2 1 Nn n S n n 20 解 由于 222 cab 将x c 代入椭圆方程 22 22 1 xy ab 得 2 b y a 由题意知 2 2 1 b a 即 2 2ab 又 c e a 3 2 所以 2a 1b 所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y 由题意可知 设其中 1 1 PF PM PFPM 2 2 PFPM PFPM 1 1 PF PM PF 2 2 PFPM PF 00 P xy 将向量坐标代入并化简得 m 因为 2 0 4x 23 000 416 312xxx 2 0 4x 所以 而 所以 0 3 4 mx 0 2 2 x 3 3 2 2 m 3 由题意可知 l 为椭圆的在 p 点处的切线 由导数法可求得 切线方程为 所以 而 代入中得 0 0 1 4 x x y y 0 0 4 x k y 00 12 33 yy kk xx 12 11 kkkk 为定值 00 1200 3311 4 8 xx kkkkxx 21 1 ln x xk x fx e 依题意 1 1 01 k fk e 为所求 此时 1 ln1 x x x fx e 0 x 记 1 ln1h xx x 2 11 0h x xx 所以 h x在 0 单减 又 1 0h 所以 当01x 时 0h x 0fx f x单增 当 1x 时 0h x 0fx f x单减 所以 增区间为 0 1 减区间为 1 21 1ln xx g xxx fx e xxx 先研究1lnxxx 再研究1 xx e 记 1ln 0i xxxx x ln2i xx 令 0i x 得 2 xe 当 0 x 2 e 时 0i x i x单增 当 2 xe 时 0i x i x单减 所以 22 max 1ixi ee 即 2 1ln1xxxe 记 1 0 xx j xx e 0 x x j x e 所以 j x在 0 单减 所以 0 1j xj 即11 xx e 综 知 2211 1ln 1 1 xx xx g xxxxee ee 理科数学 二 一 选择题 CCABA ABDBD 二 填空题 11 12 3 13 14 15 3 log 4x 4 4 2 3 3 10 三 解答题 16 解 由 得 2 3 2coscossinsincos 25 AB BABBAC 3 cos1 cossinsincos 5 ABBABBB 即 3 coscossinsin 5 ABBABB 则 即 3 cos 5 ABB 3 cos 5 A 由 得 3 cos 0 5 AA 4 sin 5 A 由正弦定理 有 所以 sinsin ab AB sin2 sin 2 bA B a 由题知 则 故 ab AB 4 B 根据余弦定理 有 2 22 3 4 252 5 5 cc 解得或 舍去 1c 7c 故向量在方向上的投影为BA BC 2 cos 2 BAB 17 解 设表示事件 此人于 3 月 日到达该市 1 2 13 i A i i 根据题意 且 1 13 i P A ij AAij I 设 B 为事件 此人到达当日空气重度污染 则 58 BAA 所以 5858 2 13 P BP AAP AP A II 由题意可知 X 的所有可能取值为 0 1 2 且 P X 1 P A3 A6 A7 A11 P A3 P A6 P A7 P A11 4 13 P X 2 P A1 A2 A12 A13 P A1 P A2 P A12 P A13 4 13 P X 0 1 P X 1 P X 2 5 13 所以 X 的分布列为 012 544 131313 X P 故 X 的期望 54412 012 13131313 EX III 从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 18 证明 取中点 连结 连结 AEHHFEB 因为为等边三角形 所以 因为平面平面 DAE DHAE DAE ABCE 所以平面 平面 DH ABCEAC ABCE 所以 因为为平行四边形 ACDH ABCECEBCa 所以 为菱形 因为分别为 中点 所以 ABCEACBE HF AEAB HFBE 所以 因为平面 平面 且 ACHF HF DHFDH DHFHFDHH 所以平面 又平面 所以 AC DHFDF DHFDFAC 连结由题意得三角形为等边三角形 所以 由 知 BH EBABEBHAE 底面 以为原点 分别以所在直线为轴DH ABCEH HA HB HD x y z 建立空间直角坐标系 如图所示 则 333 0 0 0 0 0 0 0 2222 a ABaDa Caa 所以 设面的法向量为 33 0 22 BDaa 0 0 BCa DCB mx y z 则 不妨设 设面的法向量 又 0 33 0 22 ax ayaz 0 1 1 m DAB nx y z 则 取 所以 3 0 22 a DAa 30 0 xz yz 33 1 33 n 所以二面角的正弦值为 10 cos 5 m n m n mn ABDC 15 5 19 解 因为 所以 n nn Sa3 1 n nnn SSS3 1 即 则 n nn SS32 1 3 23323 11 1 n n nn n n n SSS 所以 又 所以是首项为 公比为的等比数列 nn bb2 1 133 111 aSb n b12 故数列的通项公式为 n b 1 2 n n b 由 得 1 2 2 22log2 n n nn n n b n bc 设 1232 22 1 2 4 2 3 2 2 1 nn nn M 则 nn nn M 22 1 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 1432 得 nnnn nn M 22 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 11432 所以 所以 112 2 2 4 22 1 4 nnn nn M4 2 2 1 1 n n n nnT 20 解 故其定义域为 x x xg ln 0 2 ln 1 x x xg 令 xg 0 得e x 0 令 xg b c 13 2 14 15 3 2 0 3 三 解答题 16 解 I 因为 由余弦定理知Cabbacos6 22 Cabcbacos2 222 所以 又因为 则由正弦定理得 ab c C 4 cos 2 BACsinsin2sin 2 abc2 2 所以 所以 2 1 4 2 4 cos 2 ab ab ab c C 3 C 33 sin cossincos3sin 6223 f xxxxxx 由已知 则 2 2 3sin 2 3 f AA 因为 由于 所以 3 C 2 3 BA 0 0 22 AB 62 A 所以根据正弦函数图象 所以 2 02 33 A 0 3f A 17 解 1 由题意可知 样本均值 17 1920212530 22 6 x 2 样本 6 名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有 2 名 可以推断该车间 12 名工人中优秀工人的人数为 2 124 6 3 从该车间 12 名工人中 任取 2 人有种方法 2 12 66C 而恰有 1 名优秀工人有 11 102 20C C 所求的概率为 11 102 2 12 2010 6633 C C P C 18 解 1 以直线 分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系 DADCDExyz 则 所以 0 0 2 A 0 2 2 B 0 4 0 C 2 0 0 E 1 2 0 M 1 0 2 BM 又是平面的一个法向量 即 0 4 0 OCADEF0 OCBMOCBM 平面 BMADEF 2 设 则 又 zyxM 2 zyxEM 2 4 0 EC 设 则 即 10 ECEM 22 4 0 zyx 22 4 0 M 设是平面的一个法向量 则 111 zyxn BDM 022 11 yxnOB0 22 4 11 zynOM 取 得 即 1 1 x 1 2 1 11 zy 1 2 1 1 n 又由题设 是平面的一个法向量 0 0 2 OAABF 2 1 6 6 1 4 22 2 cos 2 2 nOA nOA nOA 即点为中点 此时 为三棱锥的高 MEC2 DEM S ADDEMB BDEM V 3 4 22 3 1 DEMB V 19 解 naS nn 2 令1 n 解得1 1 a 令2 n 解得3 2 a naS nn 2 所以 1 2 11 naS nn 2Nnn 两式相减得12 1 nn aa 所以 1 21 1 nn aa 2Nnn 又因为21 1 a 所以数列 1 n a是首项为2 公比为2的等比数列 所以 n n a21 即通项公式12 n n a Nn nn nab 所以nnnb nn n 2 12 所以 2 323 222 121 321 nnT n n 321 2232221 321 nnT n n 令 n n nS2232221 321 132 22 1 22212 nn n nnS 得 1321 22222 nn n nS 1 2 21 21 2 n n n nS 11 2 1 22 21 2 nnn n nnS 所以 2 1 2 1 2 1 nn nT n n 20 解 由已知得圆M的圆心为M 1 0 半径 1 r 1 圆N的圆心为N 1 0