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1 概率论与数理统计复习题概率论与数理统计复习题 一 全概率公式和贝叶斯公式一 全概率公式和贝叶斯公式 例 例 某厂由甲 乙 丙三个车间生产同一种产品 它们的产量之比为 3 2 1 各车间产品的不合格率依次为 8 9 12 现从该厂产品中任意抽取一件 求 1 取到不合格产品的概率 2 若取到的是不合格品 求它是由甲车间生产的概率 类似题目类似题目 同步同步 42 页四 页四 1 同步 44 页三 1 同步 45 页三 1 解 设 A1 A2 A3 分别表示产品由甲 乙 丙车间生产 B 表示产品不合格 则 A1 A2 A3 为一个完备事件组完备事件组 P A1 1 2 P A2 1 3 P A3 1 6 P B A1 0 08 P B A2 0 09 P B A3 0 12 由全概率公式全概率公式 P B P BA1 BA2 BA3 P BA1 P BA2 P BA3 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 09 由贝叶斯公式贝叶斯公式 P A1 B P A1B P B 4 9 练习 练习 设两箱内装有同种零件 第一箱装 50 件 有 10 件一等品 第二箱装 30 件 有 18 件一等品 先从两箱中任挑一箱任挑一箱 再从此箱中前后不放回地任取 2 个任取 2 个 零件零件 求 同步同步 28 页三 页三 5 1 先取出先取出的零件是一等品的概率 2 在先取的是一等品的条件下条件下 后取的仍是一等品的条件概率 解 设事件 i A 从第i箱取的零件 i B 第i次取的零件是一等品 1 P 1 B P 1 A P 1 B 1 A P 2 A P 1 B 2 A 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 2 P 1 B 2 B 194 0 2 1 2 1 2 30 2 18 2 50 2 10 C C C C 则 P 2 B 1 B 1 21 BP BBP 0 485 练习 练习 市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货 其供应量第一厂家为第二厂 家的2倍 第二 三两厂家相等 而且第一 二 三厂家的次品率依次为2 2 4 若在市场上随机购买一件商品为次品 问该件商品是第一厂家生产 的概率是多少 0 4 2 二 连续型随机变量的综合题二 连续型随机变量的综合题 例 例 设随机变量X的概率密度函数为 2 02 0 kxx f x others 求 1 常数k 2 EX 3 P 1 X 3 4 X 的分布函数的分布函数 F x 解 2 2 0 3 8 11kf x dxx dxk 2 3 0 33 2 82 EXxf x ddxxx 32 2 11 37 3 13 88 Pxf x dxx dx 4 000 xx xdtF xP Xxf t dt 当时 0 0 23 31 0 88 xx F xf t dtdxt dtx 当0 x 2时 2 2 02 0 3 001 8 xx F xf t dtdxt dtdt 当x2时 3 00 1 02 8 12 x F xxx x 故 类似题目类似题目 同步同步 44 页三 页三 2 同步42页三 3 练习 练习 已知随机变量X的密度函数为 others xbax xf 0 10 3 且E X 7 12 求 1 a b 2 X的分布函数F x 练习 练习 已知随机变量X的密度函数为 others xx xf 0 102 求 1 X的分布函数F x 2 P 0 3 X 2 三 离散型随机变量的密度函数和分布函数三 离散型随机变量的密度函数和分布函数 例例 设X的分布函数F x 为 31 318 0 114 0 10 x x x x xF 则X的概率分布为 分析 其分布函数的图形是阶梯形 故 x 是离散型的随机变量分析 其分布函数的图形是阶梯形 故 x 是离散型的随机变量 答案 P X 1 0 4 P X 1 答案 P X 1 0 4 P X 1 0 4 P X 3 0 2 0 4 P X 3 0 2 练习 练习 设随机变量X的概率分布为P X 1 0 2 P X 2 0 3 P X 3 0 5 写出 其分布函数F x 01 0 212 0 523 13 x x F x x x 答案 四 二维连续型随机向量四 二维连续型随机向量 例 例 同步同步 34 页三 页三 2 设随机向量 X Y 的概率密度函数 其他0 1y0 1x0y6x y x f 2 1 求X Y的边缘分布 2 判断X Y是否相互独立 3 求概率 求概率 YXP 1 222 0 1 0 2 01 663 3 01 0 x x x x ydyxyfxf x y ddyx xx xfx others y 解 1 当时 故 的边缘密度为 4 11 22 00 01 662 2 01 0 y y y fyf x y dxx ydxyx dyy yy yfy others 当时 故 的边缘密度为 xy f x yfx fy x y 2 故独立 3 要求画出密度函数不为要求画出密度函数不为 0 的积分区域的图形的积分区域的图形 1 2 00 2 1 2 0 3 6 25 6 x x P XYdxx ydyxdx 练习 将练习 将 f x y 改为改为 其他0 1y0 1x04xy y x f 练 习 练 习 设 二 元 随 机 变 量 X Y 的 联 合 密 度 是 others yxe yxf yx 0 0 0 2500 1 50 1 求 1 关于X的边缘密度函数f X x 2 P X 50 Y 50 同步同步 44 页三 页三 4 例 例 设X与Y相互独立 且X服从3 的指数分布 Y服从4 的指 数分布 试求 1 YX联合概率密度与联合分布函数 2 1 1 YXP 3 YX在 343 0 0 yxyxyxD取值的概率 5 3 3 0 0 x X ex fx 解 依题知 其他 其他 0 0 4 4 ye yf y Y 34 12 0 0 0 xy exy f x y 所以联合概率密度为 其他 3434 00 0 0 12 1 1 xy tsxy xy F x ydtedsee 当时 有 34 1 1 0 0 0 xy eexy F x y 所以 X Y 联合分布函数 其他 34 1 1 1 1 1 1 P XYFee 2 3 3 1 343 4 00 121 4 x xy PX YDdxedye 3 五 二维离散型随机向量五 二维离散型随机向量 设随机变量X与Y相互独立相互独立 下表列出了二维随机向量 X Y 的联合 分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值 试将其他数值 填入表中的空白处 1 6 1 8 1 8 1 2 1 321 j i p x x pyyy X Y 6 答案 123 1 2 1111 248124 131 8 3 84 111 1 623 4 i j Y yyyp X x x p 六 协差矩阵六 协差矩阵 记住以下公式 记住以下公式 D aX bY a2DX b2DY 2abcov X Y D X Y DX DY 2cov X Y cov Z aX bY acov Z X bcov Z Y 例 例 已知随机向量 X Y 的协差矩阵V为 96 64 V 计算随机向量 X Y X Y 的协差矩阵协差矩阵 解 DX 4 DY 9 COV X Y 6 D X Y DX DY 2 COV X Y 25 D X Y DX DY 2 COV X Y 1 COV X Y X Y DX DY 5 故 X Y X Y 的协差矩阵 15 525 练习 练习 随机向量 X Y 服从二维正态分布 均值向量及协差矩阵分别为 1 2 2 221 21 2 1 V 7 计算随机向量 9X Y X Y 的协差矩阵 解 D 9X Y 81DX DY 18 COV X Y 81 12 18 1 2 22 D X Y DX DY 2 COV X Y 12 2 1 2 22 COV 9X Y X Y 9DX DY 8 COV X Y 9 12 8 1 2 22 然后写出它们的矩阵形式 略 七 随机变量函数的密度函数七 随机变量函数的密度函数 例 例 设随机变量 23Xfx x YX 的概率密度函数为 A 2 3 2 1 y fx B 2 3 2 1 y fx C 2 3 2 1 y fx D 2 3 2 1 y fx B 例 例 设X U 0 2 则Y 2 X在 0 4 内的概率密度 yfY 答案 填 答案 填 y4 1 分析 分析 当0 y 4时 2 yFyXPyXPyYPyF XY yfY y yf y yFyF XxY 2 1 2 1 y4 1 注 由于由于Y 2 X在 0 4 内是单调函数 可直接用公式做 是单调函数 可直接用公式做 练习 练习 设随机变量X在区间 1 2 上服从均匀分布 求Y X e2的概率密度f y 答案 当 42 eye 时 f y y2 1 当y在其他范围内取值时 f y 0 8 七 最大似然估计七 最大似然估计 例 例 设总体X的概率密度为 其他 0 10 1 xx xf 其中未知参数 1 n XXX 21 是取自总体的简单随机样本 用极大似然估 计法求 的估计量 解 设似然函数 2 1 10 1 1 nixxL i n i i 对此式取对数 即 n i i xnL 1 ln 1ln ln 且 n i i x n d Ld 1 ln 1 ln 令 0 ln d Ld 可得 n i i x n 1 ln 1 此即 的极大似然估计量 例 例 设总体X的概率密度为 0 0 0 0 0 1 a x xeax xf a xa 据来自总体X的简单随机样本 21n XXX 求未知参数 最大似然估计量 解 由 0 0 0 1 x xeax xfX a xa 得总体X的样本 21n XXX 的似然函数 n i a i n i a i nx n i a in xxaeaxxxxL a i 1 1 11 1 21 exp 再取对数得 n i i n i a i xaxanL 11 ln 1 ln ln 再求Lln对 的导数 n i a i x a an d Ld 1 ln 9 令0 ln 1 n i a i x a an d Ld 得 1 n a i i n x 所以未知参数 的最大似然估计量为 n i a i x n 1 例 例 设某种元件的使用寿命X的概率密度为 x xe xf x 0 2 2 其中0 为未知参数 由设 n xxx 2 1 是X的一组样本观测值 求参数 的最 大似然估计值 解 似然函数为 2 1 2 1 2 nixeL i x n n i i 取对数得 n i i xnL 1 22ln ln 由于02 ln n d Ld 则 L单调增加 因 必须满足 2 1 nixi 因此当 取 n xxx 2 1 中的最小值时 L取最大值 所以 的最大似然估计值 为 min n xxx 2 1 练习 练习 设总体X的密度函数为 0 0 10 1 others xx xf x1 x2 xn是取自总体的一组样本 求参数 的最大似然估计 10 八 中心极限定理八 中心极限定理 例 例 设对目标独立地发射400发炮弹 已知每一发炮弹地命中率等于 0 2 请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率 解 设X表示400发炮弹的命中颗数 则X服从B 400 0 2 EX 80 DX 64 由中心极限定理 P 60 X 100 P 2 5 X 80 896 1 P X 96 1 24 0 023 即 24 0 977 查表得 24 2 则 12 即且X N 72 144 故P 60 X 84 P 1 12 72 X 1 2 1 1 0 682 十一 区间估计十一 区间估计 总总体X服从正态分布N 2 X1 X2 Xn为X的一个样本 1 2已知已知 求 的置信度为求 的置信度为 1 置信区间 置信区间 22 XuXu nn 12 2 2未知未知 求 的置信度为求 的置信度为 1 置信区间 置信区间 3 求 求 2置信度为置信度为 1 的置信区间 的置信区间 例 例 设某校学生的身高服从正态分布 今从该校某班某班中随机抽查10名女生 测 得数据经计算如下 43 18 67 162 2 sx 求该校女生平均身高的95 的置信 区间 解 1 nt nS uX T 由样本数据得05 0 43 18 67 162 10 2 sxn 查 表 得 t0 05 2 2622 故 平 均 身 高 的95 的 置 信 区 间 为 74 165 60 159 9 9 05 005 0 n s tx n s tx 练习 练习 从总体X服从正态分布N 2 中抽取容量为10的一个样本 样本方 差S2 0 07 试求总体方差 2的置信度为0 95的置信区间 同步同步49页四 页四 1 解 因为 1 1 2 2 2 n Sn 所以 2 的 95 的置信区间为 1 1 1 1 2 1 2 2 2 22 n Sn n Sn 其中S 2 0 07 70 2 9 1 023 19 9 1 2 975 0 2 1 2 025 0 2 22 nn 所以 1 1 1 1 2 1 2 2 2 22 n Sn n Sn 70 2 07 09 023 19 07 09 0 033 0 233 1 1 SS XtnXtn nn 22 22 1 22 1 1 1 1 nSnS nn 13 十二 假设检验十二 假设检验 1 已知方差已知方差 2 关于期望关于期望 的假设检验的假设检验 2 未知方差未知方差 2 关于期望关于期望 的假设检验的假设检验 3 未知期望未知期望 关于方差关于方差 2的假设检验的假设检验 例 例 已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N 4 55 0 112 现在测定了9炉 铁水 含碳量平均数445 4 x 样本方差S 2 0 0169 若总体方差没有变化 即 2 0 121 问总体均值 有无显著变化 0 05