2019届高考数学复习平面向量5.3平面向量的数量积及其应用课件文北师大版.pptx

5 3平面向量的数量积 第五章平面向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量的夹角已知两个非零向量a和b 作则就是向量a与b的夹角 向量夹角的范围是 知识梳理 AOB 0 2 平面向量的数量积 a b cos a cos b cos b cos 3 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或 a 4 cos 5 a b a b 0 a b a 2 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 2 a b 为实数 3 a b c b a a b a b a c b c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 由此得到 1 若a x y 则 a 2 或 a 2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点间的距离 AB 3 设两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 则a b 4 若a b都是非零向量 是a与b的夹角 则cos x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 1 两个向量a b的夹角为锐角 a b 0且a b不共线 两个向量a b的夹角为钝角 a b 0且a b不共线 2 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的射影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 a b c a b c 5 两个向量的夹角的范围是 6 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则k 答案 解析 1 2 3 4 5 6 12 解析 2a b 4 2 1 k 5 2 k 由a 2a b 0 得 2 1 5 2 k 0 10 2 k 0 解得k 12 3 已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 则向量b在向量a方向上的射影为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由数量积的定义知 b在a方向上的射影为 b cos 4 cos120 2 2 题组三易错自纠4 设向量a 1 2 b m 1 如果向量a 2b与2a b平行 那么a与b的数量积为 答案 1 2 3 4 5 6 解析 解析a 2b 1 2m 4 2a b 2 m 3 5 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量方向上的射影为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 6 已知 ABC的三边长均为1 则a b b c a c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析 a b b c a c 120 a b c 1 题型分类深度剖析 解析 答案 题型一平面向量数量积的运算 自主演练 故选C 解析以B为原点 BA BC所在直线分别为x y轴建立平面直角坐标系 图略 A 4 0 B 0 0 C 0 6 D 2 3 故选A 2 2018届 超级全能生 全国联考 在 ABC中 AB 4 BC 6 ABC D是AC的中点 E在BC上 且AE BD 则等于A 16B 12C 8D 4 解析 答案 平面向量数量积的三种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法求解 即a b a b cos a b 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 3 利用数量积的几何意义求解 命题点1求向量的模典例 1 2018届广州海珠区综合测试 已知向量a b的夹角为60 a 2 a 2b 2 则 b 等于A 4B 2C D 1 题型二平面向量数量积的应用 多维探究 答案 解析 解析由 a 2b 2 得 a 2b 2 a 2 4a b 4 b 2 4 即 a 2 4 a b cos60 4 b 2 4 则 b 2 b 0 解得 b 0 舍去 或 b 1 故选D 2 2017 衡水调研 已知在直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC上的动点 则的最小值为 答案 解析 5 解析建立平面直角坐标系如图所示 则A 2 0 设P 0 y C 0 b 命题点2求向量的夹角典例 1 2017 山西四校联考 已知向量a b满足 2a b a b 6 且 a 2 b 1 则a与b的夹角为 答案 解析 解析 2a b a b 6 2a2 a b b2 6 又 a 2 b 1 a b 1 答案 解析 解析依题意可得 1 求解平面向量模的方法 写出有关向量的坐标 利用公式 a 即可 当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解 a 2 求平面向量的夹角的方法 定义法 cos 注意 的取值范围为 0 坐标法 若a x1 y1 b x2 y2 则cos 解三角形法 可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解 跟踪训练 1 2017 全国 已知向量a b的夹角为60 a 2 b 1 则 a 2b 答案 解析 解析方法一 方法二 数形结合法 由 a 2b 2知 以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB 2 2017 山东 已知e1 e2是互相垂直的单位向量 若 e2与e1 e2的夹角为60 则实数 的值是 答案 解析 解析由题意知 e1 e2 1 e1 e2 0 典例 2017 广州海珠区摸底 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 向量m cos A B sin A B n cosB sinB 且m n 1 求sinA的值 题型三平面向量与三角函数 师生共研 解答 因为0 A 解得c 1 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 跟踪训练在平面直角坐标系xOy中 已知向量m n sinx cosx x 1 若m n 求tanx的值 解答 所以sinx cosx 所以tanx 1 2 若m与n的夹角为 求x的值 解答 典例已知直线y 2x上一点P的横坐标为a 直线外有两个点A 1 1 B 3 3 求使向量夹角为钝角的充要条件 利用数量积求向量夹角 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 现场纠错 解错解中 cos 0包含了 纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时 不要忽视两向量共线的情况 课时作业 1 2017 全国 设非零向量a b满足 a b a b 则A a bB a b C a bD a b 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析方法一 a b a b a b 2 a b 2 a2 b2 2a b a2 b2 2a b a b 0 a b 故选A 方法二利用向量加法的平行四边形法则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而四边形ABCD为矩形 即AB AD 故a b 故选A 2 2018届河北武邑中学调研 已知向量a 2 1 b 1 3 则向量2a b与a的夹角为A 135 B 60 C 45 D 30 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意可得2a b 2 2 1 1 3 3 1 且 2a b a 3 1 2 1 6 1 5 设所求向量的夹角为 由题意可得 则向量2a b与a的夹角为45 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a b 2m 2 0 m 1 则2a b 0 5 a b 3 1 a a b 1 3 2 1 5 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为AB和AC为三角形的两条边 它们的长不可能为0 所以AB与AC垂直 所以 ABC为直角三角形 以A为原点 以AC所在直线为x轴 以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2017 驻马店质检 若O为 ABC所在平面内任一点 且满足则 ABC的形状为A 正三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰直角三角形 所以 ABC是等腰三角形 故选C 7 2017 全国 已知向量a 1 2 b m 1 若向量a b与a垂直 则m 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 解析 a 1 2 b m 1 a b 1 m 2 1 m 1 3 又a b与a垂直 a b a 0 即 m 1 1 3 2 0 解得m 7 8 2018 银川质检 已知向量a b的夹角为 b 2 则a a 2b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 解析a a 2b a2 2a b 解析因为平面内三个不共线向量a b c两两夹角相等 所以由题意可知 a b c的夹角为120 又 a b 1 c 3 9 2018届长春普通高中一模 已知平面内三个不共线向量a b c两两夹角相等 且 a b 1 c 3 则 a b c 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 10 2017 巢湖质检 已知a 2 b 3 2 如果a与b的夹角为锐角 则 的取值范围是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析a与b的夹角为锐角 则a b 0且a与b不共线 11 2018 贵阳质检 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 解因为 2a 3b 2a b 61 所以4 a 2 4a b 3 b 2 61 又 a 4 b 3 所以64 4a b 27 61 所以a b 6 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求 a b 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 42 2 6 32 13 3 若求 ABC的面积 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2017 江苏 已知向量a cosx sinx b 3 x 0 1 若a b 求x的值 若cosx 0 则sinx 0 与sin2x cos2x 1矛盾 故cosx 0 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 记f x a b 求f x 的最大值和最小值以及对应的x的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四边形OBAC为平行四边形 ABC的外接圆的圆心为O 半径为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故选B 14 2017 广东七校联考 在等腰直角 ABC中 ABC 90 AB BC 2 M N为AC边上的两个动点 M N不与A C重合 且满足的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析不妨设点M靠近点A 点N靠近点C 以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系 如图所示 则B 0 0 A 0 2 C 2 0 线段AC的方程为x y 2 0 0 x 2 设M a 2 a N a 1 1 a 由题意可知0 a 1 0 a 1 15 2018届河北武邑中学调研 设a b为单位向量 且a b 若向量c满足 c a b a b 则 c 的最大值是 拓展冲刺练 答案 解析 1 2 3 4 5 6