自考概率论与数理统计多维随机变量及其概率分布.doc

第三章多维随机变量及其概率分布内容介绍本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。考点分析选择题1题2分2题2分1题2分填空题2题4分1题2分2题4分计算题1题8分1题8分1题8分综合题1题4分合计4题14分5题16分4题14分内容讲解 3.1多维随机变量的概念1. 维随机变量的概念： 个随机变量，构成的整体（， ）称为一个维随机变量，称为的第个分量（ ）.2.二维随机变量分布函数的概念： 设（，）为一个二维随机变量，记 ， 称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数. 记函数 ， 则称函数 和 为二维随机变量（，）的两个分量 和 的边缘分布函数.3. 二维随机变量分布函数的性质：（1）是变量 （或）的不减函数；（2）01，对任意给定的，；对任意给定的，； ，； （3）关于和关于均右连续，即.（4）对任意给定的，有 . 例题1. P62 【例31】判断二元函数 是不是某二维随机变量的分布函数。【答疑编号12030101】 解：我们取,= 1-1-1+0=-10,不满足第4条性质，所以不是。4.二维离散型随机变量（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（），（1，2，），则称（X，Y）为二维离散型随机变量.（2）分布律： 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（ 1，2，），（X，Y）的各个可能取值的概率为，（ 1，2，），称，（1，2，）为（X，Y）的分布律.（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式（X，Y）分布律的性质1 ，（ 1，2，）；2 例题2. P62 【例32】设（X,Y）的分布律为求a的值。【答疑编号12030102】解： （3）分布函数 由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数 . 例题3. P63 【例33】设（X,Y）的分布律为 求：（1）PX=0；【答疑编号12030103】（2）PY2；【答疑编号12030104】 （3）PX1,Y2；【答疑编号12030105】 （4）PX+Y=2 【答疑编号12030106】 （1）X=0=PX=0,Y=1PX=0,Y=2X=0,Y=3（2） Y=1=X=0，Y=1X=1，Y=1 Y=2=X=0，Y=2X=1，Y=2，（3）X1,Y2=X=0,Y=1 X=0,Y=2,且事件X=0,Y=1,X=0,Y=2互不相容，所以PX1,Y2=PX=0,Y=1+ PX=0,Y=2=0.1+0.1=0.2（4）X+Y=2=X=0,Y=2X=1,Y=1,类似可得PX+Y=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=0.1+0.25=0.35例题4. P64 【例34】现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y表示从1至X中随机抽取的一个整数，试求（X,Y）的分布律。【答疑编号12030107】解： PX=1，Y=1=PX=1PY=1|X=1=，所以X，Y的分布律为：（4）边缘分布律： 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘分布律，记为（或 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出， ， . 性质： 例题5. P64 【例35】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。【答疑编号12030108】 解：X与Y的可能值均为1，2，3.（X，Y）关于X的边缘分布律为：（X，Y）关于Y的边缘分布律为：可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。例题6. P65 【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。 【答疑编号12030109】解：（1）有放回摸球情况：由于事件X=i与事件Y=j相互独立（i，j=0，1），所以PX=0，Y=0=PX=0PY=0=PX=0，Y=1=PX=0PY=1=PX=1，Y=0=PX=1PY=0=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=则（X，Y）的分布律与边缘分布律为（2）不放回摸球情况： 类似地有PX=0，Y=1=PX=1，Y=0=PX=1，Y=1=则（X，Y）的分布律与边缘分布律为5.二维连续型随机变量的概率密度（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数，使得对任意实数x，y，有， 则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.（2）概率密度的性质： 非负； ； 若在 处连续，则有 ； .例题7. P67 【例37】设（X，Y）的概率密度为求（X，Y）的分布函数F（x,y）.【答疑编号12030110】 解： 例题8. P67 【例38】设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-x+，-y+.求：（1）常数a,b,c；【答疑编号12030111】（2）（X，Y）的概率密度。【答疑编号12030112】解：（1）（2）6.两种二维连续型随机变量分布（1）均匀分布定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）UD。两种特殊区域的情况：.D为矩形区域axb，cyd，此时.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为例题9：P68【例39】设（X，Y）服从下列区域D上的均匀分布，其中D：xy,0x1,y0.求PX+Y1。【答疑编号12030201】解：解：根据上图，D的面积，所以（X，Y）的概率密度为事件X+Y1意味着随机点（X，Y）落在区域上，则（2）正态分布定义：若二维随机变量（X，Y）概率密度为1其中都是常数，且则称（X,Y）服从二维正态分布，记为2三维空间的曲面。7.二维随机变量的边缘分布（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，例题10：P70【例310】设（X,Y）在矩形域D上服从均匀分布，其中D：求（X,Y）的边缘概率密度【答疑编号12030202】解：例题11：P70 例311【例311】设二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且求（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度。【答疑编号12030203】解：解：（X,Y）的概率密度为由于于是令则有因为因而（X,Y）关于X的边缘概率密度为即 XN（0,1）,类似可得（X,Y）关于Y的边缘概率密度为即 YN（0,1）例题12. P71【例313】设（X,Y）的概率密度为求【答疑编号12030204】解：3.2随机变量的独立性1.两个随机变量的独立性用两个随机事件的独立性导出两个随机变量的独立性。（1）定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），则称X与Y相互独立.（2）等价关系：PXx,Yy=PXxPYy.例题13：P73【例314】续3.1节例3-7证明X与Y相互独立。【答疑编号12030205】证明：2.二维离散型随机变量的独立性的充要条件设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为其边缘分布律为X与Y相互独立的充分必要条件是，对一切i，j有反之，只要有一对（i，j）使上式不成立，X与Y就不相互独立.例题14：P74【例3-15】判断3.1节例3-6中X与Y是否相互独立。【答疑编号12030206】解（1）有放回摸球情况：因为所以X与Y相互独立。（2）不放回摸球情况：因为PX=0，Y=0PX=0PY=0，所以X与Y不相互独立。例题15：P75【例316】设（X,Y）的分布律为且X与Y相互独立，求常数a,b之值。【答疑编号12030207】解：3.二维连续型随机变量相互独立的充要条件设（X,Y）为二维离散型随机变量，其概率密度及关于X和Y的边缘概率密度分别为f（x,y），和则X与Y相互独立的充分必要条件是等式几乎处处成立.例题16：P75（相互独立）【例317】证明3.1节例3-8中的X与Y相互独立。【答疑编号12030208】例题17：P76 （不相互独立）【例319】设（X,Y）在以原点为圆心、半径为1的圆域上服从均匀分布，问X与Y是否相互独立？【答疑编号12030209】解：例题18：P77（边缘密度确定联合密度）【例3-20】设X与Y为相互独立的随机变量，X在-1，1上服从均匀分布，Y服从参数=2的指数分布，求：（X,Y）的概率密度。【答疑编号12030210】解由已知条件得X，Y的概率密度分别为因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的概率密度为4.n维随机变量（1）n维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数和概率密度设n维随机变量其联合分布函数为若其概率密度为则其关于分量的边缘分布函数为其关于分量的边缘密度函数为（2）n维随机变量的相互独立设n维随机变量若对一切有即则称是相互独立的.性质）若是相互独立的，则其中任意个随机变量也是相互独立的；）若是相互独立的，则它们各自的函数也是相互独立的.例题19：P78【例323】设随机变量X与Y相互独立，都在区间1，3上服从均匀分布。设1a3,若事件求常数a的值。【答疑编号12030211】解：3.3两个随机变量的函数的分布1.两个离散型随机变量的函数的分布例1：P80【例3-24】设（X,Y）的分布律为求Z=X+Y的分布律。【答疑编号12030301】解：Z=X+Y的可能取值为0，1，2，3，因为事件Z=0=X=0，Y=0，所以因为事件Z=1=X=0，Y=1X=1，Y=0，事件X=0，Y=1与X=1，Y=0互不相容，所以事件PZ=2=X=0，Y=2X=1，Y=1，事件X=0，Y=2与X=1，Y=1互不相容，所以事件Z=3=X=1，Y=2，所以从而得出Z的分布律为例2.P80【例3-25】设X,Y是相互独立的随机变量，且证明Z=X+Y【答疑编号12030302】例题3：P81【例3-26】 接例题3-24，求：（1）Z=XY的分布律；【答疑编号12030303】（2）PX=Y.【答疑编号12030304】解（1）Z的可能值为0，1，2.由于Z=0=X=0,Y=0X=1,Y=0X=0,Y=1X=0,Y=2,所以同理则Z=XY的分布律为（2）PX=Y=PX-Y=0=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1 3.3.2两个独立连续型随机变量之和的概率分布例4：P81【例3-27】设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在0,1服从平均分布，Y的概率密度为求（1）（X，Y）的概率密度；【答疑编号12030305】（2）P（X+Y1）；【答疑编号12030306】（3）PX+Y3【答疑编号12030307】解：（1）X，Y独立（2）（3）求Z=X+Y的概率密度设（X，Y）为二维连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），关于X，Y的边缘概率分别为fx（x），fY（y），又设X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度：这就是二维连续型独立随机变量和的卷积公式.注意：教材82页3.3.1式“FZ（z）”改为“fZ（z）”例5：P82【例3-28】设X，Y是相互独立的随机变量，都服从标准正态分布且N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。【答疑编号12030308】解：X,Y的概率密度分别为则Z的概率密度令注意：第二个等式用到即Z服从N（0，2）分布.一般地,设X,Y相互独立,且通过类似计算可得Z=X+Y仍服从正态分布,且有例6：P83【例3-29】设XN（3，4），YN（1，1），ZN（0，1），X，Y,Z相互独立，求X+2Y+3Z的分布.【答疑编号12030309】二、试题选讲1.（405）设二维随机变量（X，Y）的分布律为则PX+Y=0=（）。A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7【答疑编号12030310】答案：C2.（406）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则常数c=（）。A.B.C.2D.4【答疑编号12030311】答案：A解析：3.（417）设（X，Y）N（0，0，1，1，0），则（X，Y）关于的边缘概率密度_。【答疑编号12030312】答案：4.（1020）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则【答疑编号12030313】答案：解析：5.（1026）设二维随机变量（X，Y）的分布律为试问：X与Y是否相互独立？为什么？【答疑编号12030314】答案：X与Y相互独立分析：Pij=PiPj，所以X与Y相互独立6.（426）设随机变量X与Y相互独立，且X、Y的分布律分别为试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；【答疑编号12030315】（2）随机变量Z=XY的分布律.【答疑编号12030316】答案：Z=X+Y的可能取值为0，1，2Z=XY的可能取值为0，1，2第四章随机变量的数字特征内容介绍本章主要讨论随机变量的数字特征：数学期望，方差标准差，协方差，相关系数等.考点分析2007年4月2007年7月2007年10月选择题3题6分3题6分3题6分填空题2题4分2题4分1题2分计算题1题8分1题9分综合题1题12分1题12分合计6题18分7题31分5题20分内容讲解 4.1随机变量的期望 1.离散型随机变量的期望（1）期望的意义引例：一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶即射入区域e0，得0分，射手每次射击的得分数X是一个随机变量。（2）定义：设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，.若级数绝对收敛（即级数收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为.注：（1）当X的可能取值为有限多个x1，x2，xn时，；（2）当X的可能取值为可列多个x1，x2，xn，时.例题1. P87 【例41】设随机变量X的分布律为求E（X）。【答疑编号12040101】例题2. P87 【例42】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为试比较他们成绩的好坏。【答疑编号12040102】解：分别计算X和Y的数学期望：E（X）=00+10.2+20.8=1.8（分），E（Y）=00.1+10.8+20.1=1（分）。这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。（3）三种离散型随机变量的数学期望 两点分布设离散型随机变量X的分布律为其中0p1，则E（X）=P. 二项分布设XB（n,p），即（i0,1，2，n），q=1-p，则E（X）=np.证明： 泊松分布设XP（）其分布律为，i0，1，2，则E（X）= .证明：例题3. P88 【例43】设随机变量XB（5，p），因此E（X）=1.6，求参数p。【答疑编号12040103】解：由已知XB（5，p），因此E（X）=np=1.6，n=5，所以P=1.65=0.32。例题4. P88 【例44】已知随机变量X的所有可能取值为1和x，且PX=1=0.4，E（X）=0.2，求x。【答疑编号12040104】解：（4）离散型随机变量函数的数学期望定理41 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，.令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为. 例题5. P88 【例45】设随机变量X的分布律为令Y=2X+1，求E（Y）【答疑编号12040501】2.连续型随机变量的期望（1）定义：设连续型随机变量X的概率密度f（x），若广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即.例题6. P89 【例47】 设随机变量X的概率密度为求E（X）。【答疑编号12040106】解：例题7. P89 【例48】设随机变量X的概率密度函数为求E（X）。【答疑编号12040107】（2）三种连续型随机变量的期望 均匀分布设XU（a,b），其概率密度为，则.证明： 指数分布设XE（），其概率密度为，则.证明： 正态分布设XN（,2），其概率密度为，-x0常数）,求W的数学期望。【答疑编号12040201】解：例题9. P91 【例410】设X的概率密度为求。【答疑编号12040202】解：例题10. P91 【例411】设XN（，2），令Y=eX，求E（Y）。【答疑编号12040203】解： 3.二维随机变量函数的期望（1）二维随机变量分量的期望定理43：（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为，边缘分布律为，则，.（2）若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为f（x,y），fX（x），fY（y），则，.（2）二维随机变量函数的期望定理44： 设g（x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y），（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数绝对收敛，则 ；（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分绝对收敛，则.例题11. P92 【例412】已知（X，Y）的分布律为求：（1）E（2X+3Y）；【答疑编号12040204】（2）E（XY）。【答疑编号12040205】解： 例题12. P92 【例413】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）E（X+Y）；（2）E（XY）；（3）PX+Y1【答疑编号12040206】解： （1）（2）（3）或4.期望的性质（1）常数的期望等于该常数，即E（C）=C，C为常数；（2）常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量期望的乘积，即E（CX）=CE（X）；（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；证明：综合性质（2）和（3），则有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2为常数.一般地，其中Ci为常数.（4）两个相互独立的随机变量的乘积的期望等于随机变量期望的乘积，即若X,Y为相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）.例题13. P94 【例414】设Xi（i=1，2，n）服从0-1分布其中0p1，q=1-p，且X1, X2,Xn相互独立。令X=X1+X2+Xn，求X的期望。【答疑编号12040207】解：例题14. P94 【例415】4个人进行射击比赛，每人射4发，在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分。四人射击的命中率都为，求4人射击总得分的期望。【答疑编号12040208】解：设Xi（i=1,2,3,4）表示第i个射手的得分，则它的分布律为即则Xi的期望为用X表示4个射手的总得分，则X=X1+X2+X3+X4，从而4人射击总得分的期望为E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）+E（X4）=444.64=178.65。 4.2方差1.方差的意义期望反映了随机变量的集中位置，但是，不能反映随机变量的全部性质，我们还需了解随机变量的其他特征，其中重要的特征是随机变量的离散趋势。经分析，选取离差平方和。2.方差的定义 定义：设随机变量X，且（X-E（X）2的期望存在，则称E（X-E（X）2为随机变量X 的方差，记为D（X），即D（X）=E（X-E（X）2；又称为随机变量X的标准差. 若离散型随机变量X的分布律为P（X=xk）=pk，k1，2，则. 若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则.例1.P97【例416】设两批纤维的长度分别为随机变量X1，X2，其分布律分别为求D（X1），D（X2）。【答疑编号12040301】解：例2.P97【例417】已知随机变量X的概率密度为 求D（X）。【答疑编号12040302】3.方差的计算 计算公式：D（X）=E（X2）-（E（X）2. 证明： 若离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k1，2，则.若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则.例3.P98【例418】设随机变量X的期望E（X）=2，方差D（X）=4，求E（X2）。【答疑编号12040303】解：=4+4=8例题4. P98 【例419】设X的概率密度为求D（X）。【答疑编号12040304】解：2.常用随机变量的方差（1）01分布设离散型随机变量X的分布律为其中0p1，则D（X）=p（1-p）.证明： （2）二项分布设XB（n,p），即（i1，2，n），q=1-p，则 D（X）=npq.证明： （3）泊松分布设XP（），其分布律为，i0，1，2，则 D（X）=.证明： 例题5. P 100【例421】设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2，求D（X）。【答疑编号12040305】（4）均匀分布设XU（a,b），即概率密度为，则.证明： 例题6. P 100【例422】设随机变量X服从某一区间上的均匀分布，且E（X）=3，D（X）=，求X的概率密度函数f（x）.【答疑编号12040306】解：因为所以a+b=6,（b-a）2=4,b-a=2，解之得b=4,a=2 所以（5）指数分布设XE（），即概率密度为，则.证明： （6）正态分布设XN（，2），即概率密度为，-x0，D（Y）0，称为X与Y的相关系数，记为，即.例题4. P107 【例433】接例4-31，求（X，Y）的相关系数XY。【答疑编号12040501】（2）性质；证明： 的充分必要条件是存在常数a，b，使PY=aX+b=1且a0.（3）不相关定义：若相关系数XY=0，则称X与Y不相关.（4）相关系数的意义：两个随机变量的相关系数是它们之间线性关系程度的度量：，表示它们之间存在完全线性关系，即一次函数关系；XY=0，表示它们之间无线性相关关系，但是，不表示它们之间不存在其他相关关系；，表示它们之间存在一定的线性相关关系.若XY0，表示它们之间存在正线性相关关系，即上式中a0；若XY0，表示它们之间存在负线性相关关系，即上式中a0.（5）两个重要结论 随机变量X与Y相互独立X与Y不相关；反之未必. 若二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则XY=，且二维随机变量（X,Y）的两个分量不相关两个分量相互独立.=0. 例题5. P109 【例434】设随机变量（X，Y）的分布律为求：（1）E（X），E（Y），D（X），D（Y），Cov（X，Y），XY。【答疑编号12040502】解：X,Y的分布律分别为E（Y）=（-1）0.75+10.25=-0.5E（Y2）=（-1）20.75+10.25=1 D（Y）=E（Y2）-E2（Y）=1-0.25=0.75例题6. P109 【例435】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）E（X），E（Y）；【答疑编号12040503】（2）D（X），D（Y）；【答疑编号12040504】（3）Cov（X，Y），XY。【答疑编号12040505】解：D（Y）= D（Y2）-（EY2）例题7. P111 【例437】已知D（X）=4,D（Y）=1,XY=0.6，求D（X+Y），D（3X-2Y）。【答疑编号12040506】3.矩、协方差矩阵（1）矩的定义：设X为随机变量，k为正整数， 如果E（Xk）存在，则称E（Xk）为X的k阶原点矩，记为vk=E（Xk）； 如果存在，则称 为X的k阶中心矩，记为.（2）两种随机变量的矩 离散型随机变量的矩：若离散型随机变量X的分布律为PX=xi=pi，i1，2，则，.连续型随机变量的矩：若连续型随机变量的概率密度为，则，.显然，一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.（3）混合矩定义：设X，Y为随机变量， 若（k,l1，2，）存在，则称其为X和Y的阶混合原点矩；若存在，则称其为X和Y的阶混合中心矩.显然，协方差是二阶混合中心矩.（4）协方差矩阵 二维随机变量的协方差矩阵定义：设二维随机变量（X1,X2）的4个二阶中心矩为C11=EX1-E（X1） 2 =cov（X1 ,X1） =D（X1）, C12=E（X1-E（X1）（