随机微分方程均方有界解存在性判定的研究-毕业论文

毕业论文题 目随机微分方程均方有界解存在性判定的研究学 院专业班级学 号姓 名指导教师二一七年六月九日中 文 摘 要 随机微分方程被广泛的应用在许多领域，如在经济学中，自然科学中，工程技术中，人口生态学中等众多领域。事实上，使用随机微分方程来建模可以更真实，更准确的刻画系统的运行状态。其中，解的稳定性是指解在时间进程中具有什么极限状态，以及极限状态如何依赖于初始值。稳定性在系统分析及微分方程的定性理论研究中处于十分重要的地位，一直是人们研究方程的重点与热点。因此研究随机微分方程解稳定性是一项非常有意义的工作。 本文第一章介绍了本文工作的背景以及本文的结构及主要工作；第二章作为准备知识给出了本文要用到的相关内容，其中包括随机微分方程的基本概念和论文中要用到的基本定理；第三章展示了本文的主要结果，对在随机微分方程的系数满足全局Lipschitz条件，取值于欧氏空间中某个紧集时，我们可以根据方程的一个在半实轴上呈现出均方有界性的解推出，方程具有在全空间上均方有界性的解。进行了证明，从而证明了是一个有界解；第四章给出了结论。关键词 随机微分方程 布朗运动 随机过程 鞅 解的唯一性 有界性ITitle A study on the existence of mean square bounded solution of stochastic differential equations Abstract Stochastic differential equations are widely used in many fields, such as in economics, in natural science, in engineering, and in many areas of population ecology. In fact, the use of stochastic differential equations to model can be more realistic and more accurate description of the systems operating state. The stability of the solution refers to the limit state of the solution in the time process, and how the limit state depends on the initial value. Stability plays an important role in system analysis and qualitative theory of differential equations. It has been the focus and hot spot for people to study equations. Therefore, it is a very meaningful job to study the stability of stochastic differential equations. The first chapter introduces the background of the work and structure of this article and the main work; the second chapter is the related content to give knowledge will be used in this paper, the basic concept and the basic theorem including stochastic differential equations will be used; The third chapter shows the main results of this paper, the coefficient on the stochastic differential equation to satisfy global Lipschitz conditions, valued in Euclidean space in a compact set, we can according to the equation in a real half axis shows the mean square boundedness of solution have launched, with equation in the whole space are boundedness of solutions of the party. The proof is proved to be a bounded solution, and the fourth chapter gives the conclusion. Key words Stochastic differential equation Brown motion stochastic process martingale solution uniqueness boundedness II目录1 绪论11.1有界解的存在性11.2布朗运动21.3 本文结构32 预备知识42.1 Lyapunov函数42.2 解的存在唯一性62.3 布朗运动与随机微分方程72.3.1 代数72.3.2 可测空间，有限测度，概率测度和概率空间72.3.3 可测映射与随机变量82.3.4 随机过程，停时102.3.5 随机连续112.3.6 布朗运动122.3.7 鞅122.3.8 随机等价142.3.9 随机过程的依分布收敛172.3.10 欧几里德空间172.3.11 利普希茨连续条件182.3.12 马尔科夫过程193 本文的主要结果213.1 随机微分方程的均方有界解214 结论24参考文献25致 谢28附录29IV1 绪论1.1有界解的存在性 最早的常微分方程理论之中并没有对微分方程解的定性的研究，因为古典微分方程都是可以用数学分析的方法求得通解的。但是Liouville于1841年证明了形如： (1.1.1)的Riccati方程，当 时，(1.1.1)无法用初等方法求解（证明详见24)。对于微分方程，方程的解无初等表示其对于应用科学而言几乎可视为不存在，因而从那个时代开始，微分方程定性研究以及对解的逼近和估计逐渐成为该领域的主要发展趋势。对于确定性微分方程 (1.1.2) Picard已经证明了著名的Picard存在与唯一性定理，这一定理不仅为使用数值方法研究微分方程提供了重要理论保证和技巧支撑，甚至最终Poincare及 Birkhoff以常微分方程解对初值的存在唯一性为根基，将解对时间以及初值的某种群性质进一步抽象化，形成了抽象动力系统理论体系。 除了动力系统的基础理论之外，Birkhoff的另一大成就是对于解的回复性的。研究发现解的回复性已成为动力系统领域最主要的研究方向之一。回复性是指，在经过充分长的时间后，解（或者动力系统的轨线）会回到初值或初值在某一拓扑意义下的“附近”。从物体运动的角度描述就是，所论移动物体经足够长的时间会回到包含出发点的某个有限区域中。注意到欧氏空间里有界性蕴含紧性，因而解或轨线的有界性是其具有回复性的一个必要条件。 于是研究如何得到微分方程的有界解开始变得有意义。但遗憾的是，至今仍没有有效的方法在不确定微分方程解的一些其他特别性质之前确定有界解的存在，因而在研究有关回复性或稳定性（通过Lyapunov对稳定性的定义我们不难看出，稳定性是一种强回复性）的经典文献中（见Yoshizawa 25262829, Fink 8 以及Levitan 31),人们都在需要有界解时直接假设其存在。本文中我们考虑了一些十分特殊的随机微分方程的均方有界解的存在性。1.2布朗运动 人类对布朗运动的研究始于1827年，英国植物学家R. Brown 1发现散布在液体或气体中的微粒（确切说是花粉颗粒）的不规则运动。但Brown的 研究仅出于博物学的目的并基于直观观察：Brown通过显微镜发现花粉颗粒在热作用下的运动十分复杂，他无法描述其一般规律，同时他并未视之为一般现象，而是作为花粉的某种特性进行描述，Brown对这种运动状态的总结是：花粉运动无规律，永不停歇，随花粉颗粒变小和温度变高而增强。这是与早期百科全书学派视科学研究为对客观事物分类，归纳和观察记录的态度相契合的。而这种最早以理性的，科学的视角理解布朗运动的人是Albert Einstein。Einstein在他的“奇迹年”（1905年6)对布朗运动做出了数学解释，并以布朗运动的形式提出了随机微分方程的概念（详见7)。由于布朗运动显 然与热运动相关，而随后人们发现这种现象在微观粒子中更加普遍，因而人们描述做布朗运动的粒子为布朗粒子（Brownian Particle)，于是布朗运动吸引了物理学家的目光，并由对此的研究发展出了统计物理学。在Einstein的年代，数学界还不存在现代概率论或随机过程理论，因而他对布朗运动的看法是基于统计物理学的，因而Einstein的随机微分方程从数学角度看来仍显得不够严格17。 Einstein对布朗运动的描述是，时间的存在是依靠事件的发生的，因而时间开始的标志则是物理事件，即热运动或称热扩散；而宇宙在时间开始 (这被Einstein称为“以前”）前是“热寂”的，因而布朗运动的密度（分布)(其中代表空间,为时间）可理解为热扩散方程： （1.2.1)在0时刻以零为初值的解。而（1.2.1)中系数被称为扩散系数，而其解为 ，这揭示了布朗运动与正态分布间的关系。1906年，Smoluchowski 21独立于Einstein描述了布朗运动，并奠定了随机过程理论的重要基础。1908年，Perrin利用实验验证了描述布朗运动的方程。Langevin 13于1908年继续Einstein的研究思路，针对做布朗运动的微观粒子，用一个描述确定性动力系统的二阶微分方程逼近布朗运动： ， （1.2.2)描述了布朗运动，此即物理学中著名的Langevin方程，物理学界一度称随机微分方程为Langevin方程。上式中，代表粒子质量；仍为Einstein定义的扩散项，与热运动的扩散性相关；而最后的则是一个随机过程代表来自其它粒子的扰动。但这些方程并未建立有关布朗运动的一般理论。后来 Wiener 23于1923年对布朗运动做出了准确的数学定义，因而布朗运动又称 Wiener过程。事实上，由于粒子无规则运动具有随机性，只要研究的出发点不同，布朗运动就像随机微分方程一样，有着众多彼此不同的定义，但这些定义的本质并无二致。1.3 本文结构 本文主体部分由四章组成.第一章为绪论，系统地介绍了本文的研究背景；第二章介绍了本文中各种符号的定义和我们主要应用的预备知识；第三章中，我们简单地讨论了如何利用一些具有特殊性质的Lyapunov函数来判断随机微分方程是否具有均方有界的解。第四章，给出了结论。限于水平，文中出现不当处敬请各位专家批评指正，万分感谢！292 预备知识本章中我们会介绍一下本文涉及的一些预备知识。2.1 Lyapunov函数 李亚普诺夫函数（李雅普诺夫函数,Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。 其名称来自俄国数学家亚历山大李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李亚普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。 若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李亚普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李亚普诺夫候选函数，而找不到李亚普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李亚普诺夫候选函数。 针对自治系统的李亚普诺夫定理，直接使用李亚普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充份条件，不是必要条件。而寻找李亚普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李亚普诺夫函数。 Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表示了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。 Lyapunov最早对确定性微分方程做出的稳定解定义（详见1516)时考虑到了解与初值的依存关系。Lyapunov对这种与初值有关的稳定性给出了一个充分条件，或者说提供了一种判别方法。这种方法的技术内核是，定义一种对高维自变量正定的函数: 定义2.1.1 (Lyapunov函数）首先假设存在函数,满足下列条件:I) 在 上连续；II) 满足正定性（Positively definite),即，对任意 并且 .我们通常称满足上述性质i, ii的函数为Lyapunov函数。由于的连续性，当包含于空间中任一紧集(此 处为紧集)，则显然在上有界，从而当为方程（1.1.2)的一个解，并且诸有界性条件仍然存在时，我们有： ， (2.1.1)上述在部分文献中2730被记为。若我们将上面定义2.1.1 中条件i改为连续可微，则显然在上对的偏导数（有时称为右上导数）存在，且关系式(2.1.1)转变为： (2.1.2)上式中第三个等式利用了微分方程解的性质以及导数的定义,其中是 在时的高阶无穷小量；第四个等式则利用了根据链锁规则。对此要注意的是，若方程的解是维取值的，即 ，而方程为 ，其中 .则有（2.1.2)的高维形式： . （2.1.3） 2.2 解的存在唯一性我们首先对比一下确定性系统的两种获得解存在唯一性的方法：最常见的当然是Picard定理： 定理2.2.1若常微分方程(1.1.2)的系数在闭域：上连续，并满足局部Lipschitz条件 ，其中为Lipschitz常数,则在上(1.1.2)存在唯一解满足初值问题 。事实上，解的存在唯一性与Lyapunov具有一定的关联。我们假设上一节中提及的Lyapunov函数满足某种Lipschitz性： ，则对连续可微函数，有 ， ，于是不难想象，利用Lyapunov函数同样可以得到解的存在唯一性： 定理2.2.2 (详见30)首先，若已知某个函数）是微分方程(1.1.2)的解，则显然(1.1.2)经过偏移可得： 于是解的唯一性体现在上一方程零解的唯一性。因而直接假设。则若存在Lyapunov函数满足Lipschitz条件，则（1.1.2)的解在上是对初值唯一存在的。2.3 布朗运动与随机微分方程 通过微分方程（1.2.2)可以看出，直观地说，随机微分方程可理解为一个确定性的常微分方程（或偏微分方程）系数中添加了含有随机过程的系数构 成“扰动”项，最终形成了新的方程。在进行关于随机微分方程的讨论前，我们有必要介绍一些与概率论及随机过程相关的预备知识：2.3.1 代数 在数学中，某个集合上的-代数（algebra）又叫域（-field），是的所有子集的集合（也就是幂集）的一个子集。这个子集满足对于可数个集合的并集运算和补集运算的封闭性（因此对于交集运算也是封闭的）。-代数可以用来严格地定义所谓的“可测集”，是测度论的基础概念之一。 定义2.3.1 (代数）若集合的子集构成的集合 （即的子集族）满足条件：a. 对任意，有；b. 包含空集及本身；c. 对一列子集则我们称为上的一个代数。2.3.2 可测空间，有限测度，概率测度和概率空间 概率测度(probability measure)概率论、遍历理论等数学分支中常用的一种重要的有限测度。20世纪完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础.概率测度和概率空间就是在这样的历史背景下产生的一种重要测度和测度空间。 定义2.3.2 (可测空间，有限测度，概率测度和概率空间）设代数,集 函数满足条件;对任意,;若一列子集,且其中诸项互不相交，则(这被称为可列可加性)： 则称为上的一个有限测度，若忽略条件a,则为上的一个测度, 而为一个可测空间。进而，若 则称为上的一个概率测度，简称概率。称为概率空间，本文中，我们恒以此记号表示概率空间。 注2.3.1不难看出，如果集合在代数下可测，,则显然,在下仍然可测，但反之未必。2.3.3 可测映射与随机变量1、 可测映射： 可测映射是测度论中的一个数学概念，它是从一个可测空间到另一个可测空间的满足一定条件的变换关系，与之相关的概念有可测空间、可测函数，它主要应用于抽象积分的变换方面。可测映射的性质性质1: 设和是两个可测空间，为生成代数的一集类。若是的映射，使得成立，则为可测映射。性质2： 设为可测空间上的一个数值函数，即取之于则下列条件等价：为可测函数。a. 。b. 。c. 。d. 。性质3：上实值（复值）可测函数全体构成实域（复域）上的一向量空间。性质4：设，都为上的可测函数，则有：为可测函数。a. 若处处有意义，则为可测函数。b. 若处处有意义，则为可测函数。2、 随机变量： 随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。一个随机试验可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间。随机变量是定义在基本空间上的取值为实数的函数，即基本空间中每一个点，也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。 随机变量基本类型： 简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。 按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：离散型随机变量，即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。连续型随机变量，即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。随机变量不确定性 随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种随机变量 不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。 定义2.3.3 (可测映射与随机变量）设有自可测空间至可测空间的映射,若对映射的相空间中任意可测集，其原相在原相所在的空间的中测度意义下仍然可测，则我们称之为可测映射。对概率空间，为可测空间。则称可测映射为一个随机变量。 在本文中，我们用来表示一个完备距离空间，即，存在映射 且此映射满足正则性，即 并且满足三角不等式： 表示所有使得 的值随机变量构成的空间，其范数（模）定义为 事实上，对任意,我们均可以谈空间以及模，并且如果把模视为一种度量，在这种度量意义下为Banach空间（这一结论的详细证明可见18第二章） 对于一般概率测度空间，代数往往对空间分划得不够“精细”，导致在欧氏空间中取值,上定义的随机变量或许无法定义于 更“精细”的空间,在本文中我们始终假设对每个给定的上的 上的概率分布，均存在足够丰富的随机变量使得有适当的随机变量，其分布为我们给定的概率分布，这也是随机微分方程解对初值的存在性合理的根源。2.3.4 随机过程，停时1、 随机过程： 随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1) 随机过程的研究：a. 随机过程研究方法 研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。b. 随机过程研究内容 主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。2) 特殊随机过程 对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程，布朗运动和泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。2、 停时 停时(stopping time)：一类随机时刻.指具有某种与将来无关性质的随机时刻。停时又称可选时或马尔可夫时或与将来无关的随机变量。 定义2.3.4 (随机过程，停时）设为非空指标集，为概率空间，一族子代数单调递增，即对任意通常我们称此为滤子（Filter)。对值随机变量族,如果对任意 是可测的，我们就称其为循序可测的, 或称适定的随机过程。对以及任意，若随机变量 可以使集合是可测的，则称为上的一个停时。 在对常微分方程的解的研究过程中，我们经常要衡量不同的有界解在某个区间或紧开拓扑上的收敛性，此时会定义解的无穷模，即解在所论“时间” 范围内的上确界。对随机过程我们可以类似地定义的无穷 模为 在此处可以看出随机动力系统与确定性系统研究方法上的最大差异在于估计：对随机过程我们只能谈其某一阶矩或在概率及分布意义下讨论收敛，有界等性质，因而有关随机过程的连续性也是在测度意义下提出的：2.3.5 随机连续 定义2.3.5 (随机连续）设集合为连续集合,一个随机过程称为在上随机连续的，若对任意,有 从以上定义可见，对集合，若考虑由取值于欧氏空间的连续函数构成的空间，以及上述空间，则由于诸均为的子集，故连续过程也可以理解为定义于概率测度空间取值于或 Banach空间的随机变量。事实上，空间仍然是一个完备度量空间，因而可以将连续随机过程视为一个取值于某种可分完备度量空间的随机变量，并以研究随机变量的方法研究随机微分方程的解（详见9 和10)。2.3.6 布朗运动 布朗运动（Brownian movement） 微小粒子表现出的无规则运动。1827年英国植物学家R.布朗在花粉颗粒的水溶液中观察到花粉不停顿的无规则运动。进一步实验证实，不仅花粉颗粒，其他悬浮在流体中的微粒也表现出这种无规则运动，如悬浮在空气中的尘埃。后人就把这种微粒的运动称之为布朗运动。1877年J.德耳索首先指出布朗动是由于颗粒受到液体分子碰撞的不平衡力作用而引起的。随后，1904年法国科学家H.潘卡雷进一步解释，大物体（如线度为0.1毫米）将从各个方面受到运动原子的冲击，打击非常频繁，概率定律使之互相补偿，故它们不移动。微小的粒子受到的打击太少，以至无法补偿。这就是说，布朗运动是液体分子处于不停顿无规则热运动的宏观表现。1905-1906年A.爱因斯坦和M.von斯莫卢霍夫斯基分别发表了理论上分析布朗运动的文章。1908年皮兰用实验验证了爱因斯坦的理论，从而使分子动理论的物理图像为人们广泛接受。 定义2.3.6 (布朗运动）我们称一个实值随机过程 为布朗运动，若它满足：(几乎必然成立)对任意， 服从均值为0,方差为的标准正态分布；具有独立平稳增量，即对任意的，随机变量相互独立同分布。现已知连续时间布朗运动是一个鞅（原因详见1223):2.3.7 鞅 上个世纪七十年代以来鞅论的研究日渐活跃起来，其在理论和应用上的重要性也日益突出。鞅论的思想方法不仅为许多重要结论提供简捷的证明而且导致了许多新的问题的发现和解决。 鞅论是由杜布提出的一门数学理论。杜布是美国数学家。1910年10月27日生于辛辛那提。2004年6月7日卒于伊利诺伊。杜布毕业于哈佛大学，1932年获博士学位他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士，伊利诺伊大学教授。杜布的主要贡献是概率论.他深入研究了随机过程理论，得出了任意的随机过程都具有可分修正，建立了随机函数理论的公理结构。他是鞅论的奠基人，虽然莱维等人早在1935年发表了一些孕育着鞅论的工作，1939年维尔引进“鞅”(martingale)这个名称，但对鞅进行系统研究并使之成为随机过程论的一个重要分支的，则应归功于杜布。 他还引进了半鞅的概念。在鞅论中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布迈耶上鞅分解定理等.鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，不仅丰富了概率论的内容，而且为其它数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具.他对代数函数中的聚值集的理论也作出了贡献。他还对霍普夫的个体遍历定理的特殊情形给出了证明。在数学中以他的姓氏命名的还有：杜布定理、杜布不等式、杜布收敛性等等。 定义2.3.7(鞅)对任意,我们称一个循序可测的连续随机过程为上的鞅(或上鞅)，如果对任意,对概率几乎必然地有： 微分方程的求解与随机积分的定义有密切联系。在1942年11对随机积分做出了定义： 由于随机变量显然不满足我们在数学分析中对可微函数的定义，因而随机微分只能以积分的逆运算的形式定义。显然上述积分定义均取用了诸分划的左端点，不难看出，如此定义的随机积分也是一个鞅12,而这保证了一些关乎收敛的性质（详见4第九章)，而收敛从某种意义上说意味着稳定。因而在本文中我们研究的是型随机微分方程，其一般形式为（关于一般形式的型随机微分方程的具体说明可见于9及12): （2.3.1） 其中是值的，是值的矩阵函数。此外，作为方程系数的 和也可以具有随机性，此即上面表达式中的含义：定义于某概率空间上的随机变量作为参变量加入系数中。在本文中我们考虑的微分方程并不复杂，因而如不特殊说明，我们默认方程系数本身不具有随机性，且为连续函数，即我们考虑的是方程 （2.3.2）而此处的随机扰动为布朗运动。 于是随机微分方程（2.3.2)在区间上的解即随机积分满足对应积分方程 的随机过程。 通常，若随机过程定义于滤子空间上并且是连续的，我们固定某个，则（几乎必然地）得到了一个连续函数，此即随机过程的“轨道” 或“路径”（Path)。于是对于随机微分方程的解的对初值是否唯一这个问题，与确定性对应问题出现了本质上的不同：我们完全可以找到两个在同一欧氏空间中取值，但彼此独立同分布的随机变量，即，令： 为彼此不同的随机变量，但完全可以有:对任意, 因而我们有必要介绍一下随机等价的概念：2.3.8 随机等价 随机过程等价(equivalence of stochastic pro-cesses)是随机过程理论的基本概念之一。 定义2.3.8 (随机等价)设两个随机过程均取值于，若： 则称它们为随机等价（或无法区分）的。 注2.3.2如果把随机过程的诸时刻视为变量，则这些随机变量间的视为未必蕴含随机过程的彼此等价，因为对所有, ，并不代表对而若令代表那些使上式不成立的的集合，则无法保证为零测集。 同时，对于适定于某个滤子的随机过程,必存在随机过程与之随机等价。如果我们把连续随机过程视为某种“系统”，则这一事实与微分方程解的存在性有许多相似处，类似结论还有： 定理2.3.1 (Skorohod表现定理，见5定理11.7.1)若可分度量空间上的一列概率测度依弱拓扑收敛至概率测度,则存在某个概率空间上的值随机变量列及随机变量,分别以,为分布，使得。 在这里我们必须提到随机微分方程解对初值的存在唯一性定理。在确定性系统当中，如果给定一个有限邻域为时间的取值范围，解定义在某个紧集上是比较自然的，因为连续函数在自变量有界时具有有界性；但随机变量的取值往往不存在有界性，当然也谈不上紧性，于是我们对于随机微分方程 (2.3.1)的系数提出条件： 设为值连续函数，值连续矩阵函数，为标准維布朗运动。设满足全局Lipschitz和全局线性增长性，并共用 Lpschitz常数和线性增长常数。即存在独立于的常数,使得对任意任意, (a) (b)于是我们有如下结果： 定理2.3.2 (详见9)若随机微分方程（2.3.2）的系数满足条件,则对任意初值,及任意初始时刻，方程（2.3.2）存在唯一的解满足初值条件： .需要注意的是，上述的唯一性不考虑我们上文介绍的随机等价意义下的不同解。 由于随机微分方程的解必然是一个随机过程，因而对于解的研究大多集中在对解的估计上，我们希望能够像数学分析中研究函数或变量一样，用某种度量来衡量随机微分方程的解，为此提供了一个定理作为工具： 定理2.3.3 (等距）设是实值布朗运动，为一 个随机过程，则 注意到，对常微分方程而言，解都是可微的，但是随机变量的随机微分是在积分的逆运算基础上定义出来的，而它的运算法则是否与常规的微分相同? 对此，给出了以下结论： 定理2.3.4 (公式(或链锁规则)设随机过程 满足方程 其中为向量,为矩阵函数，则对函数 （2.3.3）此处是对的Hessian矩阵，即相当于对向量值函数的二阶导数: 函数表示矩阵的际数，对于式（2.3.3)则为: 基于的运算法则，Bertram及合作者2提出了对于随机微分方程的 Lyapunov 函数： 设函数对是的（即对是2次连续可微的，其余类推），对是的，并且自身及其诸一阶偏导数(此处),二阶偏导数（此处),三阶偏导数（此处），均对任意紧集，在上有界，且满足： 对所有,且对所有 (2.3.4)同时我们定义： 本文中我们在讨论解之间的关系时还会涉及以下概念：2.3.9 随机过程的依分布收敛 定义2.3.9 (随机过程的依分布收敛)设完备度量空间取值于的随机变量序列及随机变量的在上的分布分别是和,如果对所有连续有界函数, ，则我们称依分布收敛至,称依弱拓扑收敛（或弱收敛）至。2.3.10 欧几里德空间 欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做维欧几里得空间（甚至简称维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。欧几里德空间是无穷大的。定义2.3.10（欧几里德空间） 设是实数域上的线性空间（或称为向量空间），若上定义着正定对称双线性型（称为内积），则称为（对于的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，是上的二元实值函数，满足如下关系：a. ;b. ;c. ;d. ,而且当且仅当时成立。这里,是中任意向量，是任意实数。2.3.11 利普希茨连续条件 利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是以德国数学家鲁道夫利普希茨命名，是一个比一致连续更强的光滑性条件。直观上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于利普希茨常数。 在微分方程理论中，利普希茨条件是初值条件下解的存在唯一性定理中的一个核心条件。 一些特殊的利普希茨函数，例如压缩映射，被应用在巴拿赫不动点定理中。 定义2.3.11 利普希茨连续条件 若存在常数，使得对定义域的任意两个不同的实数均有： 成立，则称在上满足利普希茨条件，称为利普希茨常数，显然地，若满足利普希茨条件，则一致连续。2.3.12 马尔科夫过程 马尔可夫过程（Markov process）是一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它所处的状态的条件下，它未来的演变不依赖于它以往的演变。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、跳跃后所处的荷叶号码，那么 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。 关于马尔可夫过程的理论研究，1931年.柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，邓肯等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。 在马尔可夫性的定义中，现在