悬链线形超声变幅杆共振频率的瑞利修正.pdf

第 37 卷 第 5 期陕西师范大学学报 自然科学版 Vol 37 No 5 2009 年 9 月Journal of Shaanxi Normal University Natural Science Edition Sep 2009 文章编号 1672 4291 2009 05 0035 03 收稿日期 2008 10 05 基金项目 国家自然科学基金资助项目 10674090 作者简介 张鹏利 男 硕士研究生 研究方向为功率超声 通讯作者 林书玉 男 教授 博士研究生导师 E maili sxsdsxs snnu edu cn 悬链线形超声变幅杆共振频率的瑞利修正 张鹏利 付志强 林书玉 陕西师范大学 应用声学研究所 陕西 西安 710062 摘 要 应用瑞利近似理论 对大尺寸悬链线形变幅杆的纵向振动的共振频率进行了修正 得到了 修正频率表达式 利用有限元软件 Ansys 对一组大尺寸的悬链线形变幅杆进行模态分析 将修正 结果与一维理论相比 发现修正后的值更接近于有限元模拟仿真值 关键词 大尺寸悬链线形变幅杆 共振频率 频率修正 模态分析 中图分类号 O426 1 文献标识码 A Rayleigh modification on resonance frequency of catenary horn ZHANG Peng li FU Zh i qiang LIN Shu yu Applied Acoustics Institute Shaanxi Normal University Xican 710062 Shaanxi China Abstract Based on the Rayleigh approximate theory the modified resonance frequencies of vertical vibration of the catenary horn with a large dimension are obtained By finite element software ANSYS a set of catenary horn with large dimension are analysed Compared with one dimensinonal theory the solution of coupled theory are closer to that of the finite element analysis solution Key words large dimension catenary transformer resonance frequency frequency modify modal analysis 超声变幅杆是超声振动系统中的重要组成部 分 其主要作用是把质点机械振动的位移或速度放 大 或者说将超声能量集中在较小的面积上 因此又 称为超声变速杆 超声聚能器 指数形 圆锥形 悬链 线形 阶梯形等单一及各种复合纵向振动变幅杆的 提出和应用已久 还有应力沿轴向分布均匀的高斯 形变幅杆以及由反推法得到的同时顾及形状因数和 放大系数的傅里叶形杆等 1 传统变幅杆设计理论是假设杆的横向线度小于 四分之一声波波长 即讨论 细杆0 忽略了横向振动 对纵向振动频率的影响 但在许多需要大功率 高声 强的功率超声应用领域 如超声焊接 超声乳化 超 声冷波金属管中 常需要大截面的变幅杆来获取大 的功率和高声强 此时不能再忽略横振动的影响 一 维设计理论引起的误差不可再忽略 因此 需要进行 一定的修正 文献 2 修正了大尺寸矩形截面变幅杆 的固有频率 文献 3 利用能量修正法修正了大尺寸 的指数形变幅杆的固有频率 文献 4 修正了大尺寸 余弦形变幅杆的固有频率 笔者推导出悬链线形变 幅杆的共振频率表达式 并结合上述参考文献利用 能量法对其共振频率进行了修正 为大尺寸悬链线 形变幅杆的设计提供理论基础 与一维理论相比 修 正后的频率更加精确 1 理论推导 1 1 变截面细杆纵向振动方程 对于均匀 各向同性材料构成的变截面变幅杆 忽略机械损耗 并设平面纵波沿杆的轴向传播 即横 36 陕西师范大学学报 自然科学版 第 37 卷 截面上应力分布均匀 如图 1 所示 则变截面杆的动 力学方程为 1 图 1 变截面细杆的纵向振动 Fig 1 Longitudinal vibration of variable cross section rod 5 SR 5x dx SQ5 2 N 5 2tdx 1 其中 S S x 为杆的横截面积系数 N N x 为质 点位移函数 R R x E 5N 5x 为应力函数 Q材料密 度 E 杨氏模量 在简谐振动的情况下 上式可写成 5 2N 5x 2 1 S 5S 5x 5N 5x k2x 0 2 上式即为变截面细杆一维纵向振动的波动方程 其 中k X c k 为波数 X为圆频率 c E Q 1 2 为细棒 中纵波波速 令 5 kc 2 k 2 1 S 52S 5x 2 N S 1 2y 则 2 式可写为 52y 5x 2 kc 2y 0 3 上式的解为 y A cos kcx Bsin kcx 令 G 1 S 52S 5x 2 对 3 式 当且仅当 kc 或者 G 为常数时存在简谐解 指数形杆 G B 0 悬链线 形杆 G r 0 圆锥形杆 G 0 但5 S 5x X 0 等截面 的细棒 G 0 且5 S 5x 0 1 2 悬链线形变幅杆频率方程 对于悬链线形杆 面积函数为 S x S1cos h2C l x 截面半径为 R x R1cosh C l x 其中 S1 S2 R1 R2为 x 0 x l 处的横截面积和 横截面半径 C 1 l arc cos h 1 N N R1 R2 S1 S2 则有 G A 2 0 3 式的解为 N x 1 cosh C l x A cos kcx Bsin kcx ejX t 4 应变分布函数为 5N 5x C sinh C l x cosh 2 C l x A cos kcx Bsin kcx 1 cosh C 1 x Akcsin kcx Bkccos kcx 5 由 5 式及边界条件5N 5xx 0 5N 5xx l 可得到两端 自由时的频率方程 tan kcl C kctanh C l 6 同时可得到谐振长度为 lp K 2 kcl 2 arc cos h N 2 P 2 7 1 3 变幅杆纵向频率的能量法修正 变幅杆做纵向振动时 由于泊松效应 必然伴有 横向振动 对于大尺寸的情形 横向振动的情形不可 忽略 从能量的角度分析 质点的横向振动必然引起 整个系统动能的增加 进而增加系统的惯性 使变幅 杆的等效分布参数发生变化 最终引起纵向振动的 波速减慢 频率降低 而上述理论只考虑了纵向振动 时的能量 因此对大尺寸的变幅杆必然出现较大的 误差 根据瑞利近似理论的假设 形变前后质点处于 同一平面 即纵向位移 Nx x t 与半径方向坐标r 无 关 径向形变是均匀的 径向位移与半径成正比且两 种振动是同相位的 根据上面的假设 变幅杆的径向应变可写为 Er R Ex R5N x 5x 8 其中R为泊松系数 Er为径向应变 Ex为纵向应变 Nx 为纵向位移 径向位移为 Er rEr rR5N x 5x 9 径向速度为 vr 5Nr 5t rR 5 5t 5Nx 5x rR5v x 5x 10 其中 vx为纵向振速 vx 5Nx 5t 对于圆截面的变幅杆 质点振动位移关于中心 第 5 期张鹏利 等 悬链线形超声变幅杆共振频率的瑞利修正37 轴对称 轴对称上的环带元如图 2 所示 其质量可表 示为 图 2 变幅杆的环带元 Fig 2 A ring of the horn dm Q drds 2PQ rdrdz 11 纵向振动引起的能量为 er k 1 2 v 2 xdm PQ Q l 0 v 2 x Q R x 0 rdr dx 12 横向振动引起的动能为 er k 1 2 v 2 rdm PQR 2Q l 0Q l 0 5vx 5x 2Q R x 0 rdrdx 13 设系统纵向振动等效质量为 me 计入横向振动 引起动能增量后等效质量增量为 me 有 me me me ex er rx 14 根据共振频率与系统的等效质量的平方根成反比 有 f cn fn me me me ex ex er 15 其中 fn为未考虑横振动时的共振频率 f cn为考虑 横振动后修正了的共振频率 即考虑横振动后 变幅 杆的共振频率将减小 1 4 悬链线形变幅杆纵向频率的修正 对于悬链线形变幅杆由 4 及 10 式可得纵向 振速 vx及其对x 的一阶偏导有 vx 5Nx 5t jXA cosh C l x cos kcx U ejXt 16 5vx 5x jX C sinh C l x A cosh2C 1 x cos kcx U jX A kc cosh C l x sin kcx U ejXt 17 其中 A 为常数 U为初相位 将 16 17 式及 R x R1cosh C l x 代 入 12 13 式并取初相位 U 0 可得 ex PQ X 2A2R2 1 4kc sin 2kcl 2kcl 18 er PQ X2A 2R4 1R 2 4 Bsinh 2C l Csin 2kcl D 16kclC 3 16kc3C 19 其中 B 4kcC 4 2kc3C 2 2kc5 C 2C 5 2C 3kc2 4C kc 4 D 4C 5 kcl 4kc5C l 将 18 19 代入 15 式得 f cn fn 1 1 R 2R2 8C kc2 C 2 E 1 2 20 E Bsinh 2C l Csin 2kcl D sin 2kcl 2kcl 21 其中 fn通过 6 式可以求得 上式即为半波长悬链 线形变幅杆的频率修正公式 2 有限元分析值与理论值的比较 为了验证文中理论的精确性 作者设计了一组 变幅杆 将一维理论值及其修正值与用有限元分析 软件 Ansys 的模拟仿真值进行比较 材料选用 45 号钢 其密度 Q 7 84 10 3 kg m 3 杨氏模量 E 2 16 10 11 Nm 2 泊松系数 R 0 28 为了便于比 较 分别取取变幅杆的长度 L 为 0 1 0 15 R1 R2 及半径比 N 做适当的变化 具体参数见表 1 利用 Ansys 模态分析时 采用三维模型自底向上法生成 实体 利 用扫 掠 法进 行 网 格划 分 选 取 Block Lanczos 法求解 模拟结果见表 1 表 1 悬链线形变幅杆的理论值与模拟值的比较 Tab 1 Modal analysis value compared with theoretical value R1 mR2 m NL m R1 Lf1 Hzf2 Hzf3 Hz f1 f2 1 115 40 040 0220 120 2721 11921 03220 8001 533 7 0 050 022 50 120 3321 18521 02620 5033 326 32 550 8 0 040 0140 10 425 66025 41425 3521 210 24 0 050 0150 10 525 76225 22923 8488 035 79 0 060 0230 120 521 21620 99119 8397 167 75 403 8 下转第 41 页 第 5 期李珺 等 换能器匹配层参数的选定41 介质之间时 匹配层的加入可有效增加换能器的声 能量透射 率 此种 情况 下当匹 配层 厚度 D P 2 1 4 K n 0 1 2 时 换能器能够获得较 大的声能量输出 如果计算得到的特性阻抗值材料 不存在时 选取大于该参数的材料代替 声能透射系 数的变化要缓和一些 当匹配材料的特性阻抗值介于压电陶瓷和工作 介质阻抗值之外时 匹配层厚度选择得不合适 不但 不能增加换能器的声能透射效率 而且可能减小换 能器的声能透射效率 此时匹配层厚度 D P 2 K n 0 1 2 3 时 可以起到保护压电陶瓷的作用 且不影响换能器的辐射效率 参考文献 1 赵顺刚 气介超声换能器声匹配的应用 J 自动化仪 表 1995 12 18 21 2 冯若 超声手册 M 南京 南京大学出版社 1999 3 杜功焕 朱哲民 龚秀芬 声学基础 M 南京 南京大学 出版社 2001 4 郑渝 换能器的匹配 J 声学技术 1994 13 1 11 14 5 张波 张德远 基于 KLM 等效电路的声学匹配层参数扫 描法 J 压电与声光 2007 29 2 182 184 6 Dorothee Callens Christian Bruneel Jamal Assaad Matchingultrasonictransducerusingtwomatching layers where oneofthemis glue J Journal of international 2004 37 591 596 7 Garcia Olias M A 用于高温无损检测的超声换能器 J 声学技术 1992 11 4 39 40 8 王守强 医用多层声匹配层超声换能器的设计 J 中国 超声医学杂志 1993 9 1 51 54 9 T adeusz Gudra Krzyeztof J Opielinski Influence of acoustic impedance of multilayer acoustic systems on the transfer function of ultrasonic airborne transducers J Ultrasonics 2002 40 457 463 10 Krzyeztof J Opielinski T adeusz Gudra Influence of the thickness of multilayer matching systems on the transfer function of ultrasonic airborne transducers J Ultrasonics 2002 40 465 469 1责任编辑 强志军2 上接第 37 页 表中 f1为未考虑横向振动