2019届高考数学复习三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理课件理北师大版.pptx

4 6正弦定理和余弦定理 第四章三角函数 解三角形 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 ABC中 若角A B C所对的边分别是a b c R为 ABC外接圆半径 则 知识梳理 b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 2RsinB 2RsinC sinA sinB sinC 2 在 ABC中 已知a b和A时 解的情况 3 三角形常用面积公式 1 S a ha ha表示边a上的高 2 S absinC 3 S r a b c r为三角形内切圆半径 1 三角形内角和定理在 ABC中 A B C 知识拓展 2 三角形中的三角函数关系 1 sin A B sinC 2 cos A B cosC 3 三角形中的射影定理在 ABC中 a bcosC ccosB b acosC ccosA c bcosA acosB 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 ABC中 若sinA sinB 则A B 3 当b2 c2 a2 0时 三角形ABC为锐角三角形 4 在 ABC中 5 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 在 ABC中 acosA bcosB 则这个三角形的形状为 答案 解析由正弦定理 得sinAcosA sinBcosB 即sin2A sin2B 所以2A 2B或2A 2B 即A B或A B 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 解析 角三角形 等腰三角形或直 1 2 3 4 5 6 3 在 ABC中 A 60 AC 4 BC 2 则 ABC的面积为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 题组三易错自纠4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若c bcosA 则 ABC为A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 等边三角形 答案 解析 解析由已知得sinC0 cosB 0 B为钝角 故 ABC为钝角三角形 1 2 3 4 5 6 5 2018 桂林质检 在 ABC中 已知b 40 c 20 C 60 则此三角形的解的情况是A 有一解B 有两解C 无解D 有解但解的个数不确定 解析 答案 1 2 3 4 5 6 角B不存在 即满足条件的三角形不存在 6 2018 包头模拟 设 ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sinA 5sinB 则角C 解析 答案 解析由3sinA 5sinB 得3a 5b 又因为b c 2a 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 1 2016 山东 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 已知b c a2 2b2 1 sinA 则A等于 解析在 ABC中 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA b c a2 2b2 1 cosA 又 a2 2b2 1 sinA cosA sinA tanA 1 解析 答案 题型一利用正 余弦定理解三角形 自主演练 2 在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 已知8b 5c C 2B 则cosC等于 解析 8b 5c 由正弦定理 得8sinB 5sinC 又 C 2B 8sinB 5sin2B 8sinB 10sinBcosB 解析 答案 解析 答案 1 1 解三角形时 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式时 则考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定理都有可能用到 2 三角形解的个数的判断 已知两角和一边 该三角形是确定的 其解是唯一的 已知两边和一边的对角 该三角形具有不唯一性 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 典例在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知b c 2acosB 1 证明 A 2B 证明由正弦定理得sinB sinC 2sinAcosB 故2sinAcosB sinB sin A B sinB sinAcosB cosAsinB 于是sinB sin A B 又A B 0 故0 A B 所以B A B 或B A B 因此A 舍去 或A 2B 所以A 2B 证明 题型二和三角形面积有关的问题 师生共研 2 若 ABC的面积S 求角A的大小 解答 1 对于面积公式一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 答案 解析 2 在 ABC中 内角A B C所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 C 则 ABC的面积是 解析 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 命题点1判断三角形的形状典例 1 在 ABC中 则 ABC一定是A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 无法确定 又0 A B A B ABC为等腰三角形 解析 答案 题型三正弦定理 余弦定理的简单应用 多维探究 2 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcosC ccosB asinA 则 ABC的形状为A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定 解析由正弦定理得sinBcosC sinCcosB sin2A sin B C sin2A 即sin A sin2A sinA sin2A A 0 sinA 0 sinA 1 即A ABC为直角三角形 解析 答案 1 本例 2 中 若将条件变为2sinAcosB sinC 判断 ABC的形状 解 2sinAcosB sinC sin A B 2sinAcosB sinAcosB cosAsinB sin A B 0 又A B为 ABC的内角 A B ABC为等腰三角形 解答 2 本例 2 中 若将条件变为a2 b2 c2 ab 且2cosAsinB sinC 判断 ABC的形状 又由2cosAsinB sinC得sin B A 0 A B 故 ABC为等边三角形 解答 命题点2求解几何计算问题典例 1 如图 在 ABC中 B 45 D是BC边上一点 AD 5 AC 7 DC 3 则AB 解析 答案 解析在 ACD中 由余弦定理可得 2 2018 吉林三校联考 在平面四边形ABCD中 A B C 75 BC 2 则AB的取值范围是 解析 答案 解析如图所示 延长BA与CD相交于点E 过点C作CF AD交AB于点F 则BF AB BE 在等腰三角形CBF中 FCB 30 CF BC 2 在等腰三角形ECB中 CEB 30 ECB 75 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 化角 通过三角恒等变换 得出内角的关系 此时要注意应用A B C 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练 1 2018 安徽六校联考 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 则 ABC的形状为A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形或直角三角形D 等腰直角三角形 解析 答案 2a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 ABC为直角三角形 1 cosB c a c 解析 答案 审题路线图 二审结论会转换 审题路线图 规范解答 审题路线图 规范解答 课时作业 1 2017 长沙模拟 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若a b 3 A 60 则边c等于A 1B 2C 4D 6 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a2 c2 b2 2cbcosA 13 c2 9 2c 3 cos60 即c2 3c 4 0 解得c 4或c 1 舍去 解析 答案 2 在 ABC中 角A B C对应的边分别为a b c 若A a 2 b 则B等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2017 哈尔滨模拟 在 ABC中 AB AC 1 B 30 ABC的面积为 则C等于A 30 B 45 C 60 D 75 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sinA 1 由A 0 180 A 90 C 60 故选C 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 在 ABC中 角A B C所对的边长分别为a b c sinA sinB sinC成等比数列 且c 2a 则cosB的值为 解析因为sinA sinB sinC成等比数列 所以sin2B sinAsinC 由正弦定理得b2 ac 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2016 全国 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若cosA cosC a 1 则b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2018 成都模拟 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 a2 c2 b2 tanB ac 则角B的值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知b 2 B C 则 ABC的面积为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 2018 长春质检 E F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点 则tan ECF 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 设AB 6 则AE EF FB 2 因为 ABC为等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2018 珠海模拟 设 ABC的内角A B C的对边分别为a b c a btanA 1 证明 sinB cosA 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 2RsinA b 2RsinB 代入a btanA得 2 若sinC sinAcosB 且B为钝角 求A B C 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2017 全国 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知 ABC的面积为 1 求sinBsinC 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 若6cosBcosC 1 a 3 求 ABC的周长 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理 得b2 c2 bc 9 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正弦定理 得sinAcosB cosAsinB 2sinCcosC sin A B sinC 2sinCcosC c2 a2 b2 2abcosC 4 16 8 12 14 2018 大理模拟 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且满足asinB bcosA 若a 4 则 ABC周长的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosA 则 b c 2 64 即b c 8 当且仅当b c 4时等号成立 ABC周长 a b c 4 b c 12 即最大值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 在 ABC中 若AB 4 AC 7 BC边的中线AD 则BC 拓展冲刺练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 解析如图所示 延长AD到E 使DE AD 连接BE EC 因为AD是BC边上的中线 所以AE与BC互相平分 所以四边形ACEB是平行四边形 所以BE AC 7 又AB 4 AE 2AD 7 所以在 ABE中 由余弦定理得 AE2 49 AB2 BE2 2AB BE cos ABE AB2 AC2 2AB AC cos ABE 在 ABC中 由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos ABE 49 BC2 2 AB2 AC2 2 16 49 BC2 81 BC 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2018 贵阳质检 在 ABC中 角A B C的对边分别为