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第一节 集合 一 元素与集合 1 集合中元素的三个特征 2 集合中元素与集合的关系 3 常见集合的符号表示 4 集合的表示法 确定性 无序性 互异性 列举法 描述法 图示法 venn图 二 集合间的基本关系 1 子集 包含关系 概念 一般地 对于两个集合a b 如果集合a中一个元素都是集合b中的元素 称集合a是集合b的子集 记作 a b 或b a 2 相等概念 如果集合a是集合b的 a b 且集合b是集合a的 b a 称集合a与集合b相等 记作 a b 任意 子集 子集 4 空集概念 不含任何元素的集合 记作 规定 空集是任何集合的 5 包含关系的相关结论 1 任何一个集合是它本身的子集 即a a 2 对于集合a b c 如果a b 且b c 那么a c 3 真子集概念 如果集合a b 但存在元素x b 且 称集合a是集合b的真子集 记作 ab 或ba x a 子集 三 集合的基本运算 1 注意集合中的元素因集合中元素可以是数 有序数对 x y 图形等 形式多种多样 弄清集合中元素是什么 是处理有关集合问题的前提 2 含有n个元素的集合 a1 a2 a3 an 的子集个数有2n个 非空子集的个数有2n 1个 真子集个数有2n 1个 非空真子集个数有2n 2个 2 并集性质 a a a a b b a 交换律 a a a a b b a b 若a b 则a b b 反之 亦成立 从而a b b a b 3 集合的运算性质 1 交集性质 a a a a b b a 交换律 a a b a a b b 若a b 则a b a 反之 亦成立 从而a b a a b 3 补集a ua u a ua u ua a u u uu 1 文 2010年广东卷 若集合a 0 1 2 3 b 1 2 4 则集合a b等于 a 0 1 2 3 4 b 1 2 3 4 c 1 2 d 0 解析 a b 0 1 2 3 1 2 4 0 1 2 3 4 答案 a 理 已知全集u r 则正确表示集合m 1 0 1 和n x x2 x 0 关系的韦恩 venn 图是 解析 先化简集合n 解方程x2 x 0 得n 1 0 又m 1 0 1 n m 2 2009年浙江卷 设u r a x x 0 b x x 1 则a ub 等于 a x 0 x1 解析 u r b x x 1 ub x x 1 又a x x 0 结合数轴 得a ub x 0 x 1 故选b 答案 b 答案 b 3 满足条件 1 2 m 1 2 3 的所有集合m的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 法一 设n 1 2 m n 1 2 3 3 m 1与2可以属于m也可以不属于m 从而符合条件的集合m可为 3 1 3 2 3 1 2 3 共4个 法二 设n 1 2 m n 1 2 3 m中一定含元素3 m的个数应为n的子集的个数 即22 4 答案 d 4 教材改编题 设集合u 1 2 3 4 5 a 1 2 3 b 2 3 4 则 u a b 解析 由题设a b 2 3 u a b 1 4 5 答案 1 4 5 5 教材改编题 设集合a x 1 x 2 b x x a 若a b 则实数a的取值范围是 解析 结合数轴 如图 易知 要使a b 则a 1 答案 a a 1 例1 设a b r 集合 1 a a b 0 b 则a2012 b2011等于 a 1b 1c 2d 2 思路点拨 a 0 a b 0 再根据集合相等的定义及元素特征列式求解 集合的基本概念 解析 法一 a 0 由题设条件 必有a b 0 1 又 1 a a b 0 b a2012 b2011 1 2012 12011 2 法二 由集合相等的定义得由a 0及 得a b 0 b a 1代入 式得1 a 1 a 所以a 1 b 1 验知符合题意 a2012 b2011 2 答案 c 变式探究 1 若3 a 2 2a2 a 则a的取值集合是 解析 由已知有a 2 3 或2a2 a 3 解方程 得a 1 此时2a2 a 3 与集合中元素的互异性不符 故a 1应舍去 解 得a 1或a 验知a 时符合题意 答案 方法技巧 1 运用集合相等的定义 首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等 列出方程 组 求解 或运用若两个有限集相等 则对应元素之和与积分别相等 列出方程 组 求解 2 对于含有字母的集合 在求出字母后 要注意检验集合中元素是否满足互异性 如变式探究 zxxk 集合间的基本关系 例2 原创 设集合a x n x2 5x 6 0 函数f x ax 1的零点构成的集合为b 1 若3a 1 试判定集合a与b的关系 2 若b a 求实数a组成的集合c 思路点拨 先化简集合a 又f x ax 1的零点 也就是方程ax 1 0的实根 故b x ax 1 0 由ba分b 和b 两类情况分别求解 方法技巧 判断集合与集合的关系 根据子集的定义 实际上是归结为判断元素与集合的关系 对于用描述法表示的集合 要抓住代表元素及它的属性求同存异 定性 或定量 分析 应做到意义化 分清集合的种类 数集 点集 方程或不等式的解或解集 图形等 具体化 具体求出相关的集合并化简 直观化 借助于数轴 venn 图 函数图象 解析几何中曲线的特征等 总之 要注意转化 数形结合思想的运用 集合的基本运算 思路点拨 注意到集合a是函数的定义域 b是函数的值域 先化简a b 再求a b 最后求 r a b 方法技巧 解决集合的运算问题 一般要先化简集合以确定集合中的元素 可借助 venn 图 数轴等手段使问题直观化 然后根据题目的要求进行求解 若了解结论 则对解答有关问题会带来方便 变式探究 3 文 2009年全国 改编 设集合a 4 5 7 9 b 3 4 7 8 9 全集u a b 求 u a b 解 由题设u a b 3 4 5 7 8 9 a b 4 7 9 u a b 3 5 8 例3 理 若集合a x x2 2x 8 0 b x x m 0 1 若m 3 全集u a b 试求a ub 2 若a b 求实数m的取值范围 3 若a b a 求实数m的取值范围 思路点拨 解不等式 化简a b 问题 1 可解 对于 3 注意到a b a a b 再结合数轴可解 解 1 由x2 2x 8 0 解得 2 x 4 a x 2 x 4 当m 3时 b x x 3 u a b x x 4 ub x 3 3 a ub x 3 x 4 2 a x 2 x 4 b x x m 结合数轴知 若a b 则应有m 2 故m的取值范围是 2 3 由a b a 得a b 结合数轴 如图 知 m 4 故m的取值范围是 4 变式探究 3 理 已知集合a x x2 3x 10 0 1 若a b b b x m 1 x 2m 1 求实数m的取值范围 2 若a b b x m 6 x 2m 1 求实数m的取值范围 3 若a b b b x m 6 x 2m 1 求实数m的取值范围 解 1 由a x x2 3x 10 0 得a x 2 x 5 a b b b a 若b 则m 1 2m 1 即m 2 此时满足b a 若b 有 由 得 m的取值范围是 3 解得2 m 3 2 若a b 则必有无解 即不存在m值使得a b 3 a b b a b 则依题意应有故3 m 4 m的取值范围是 3 4 方法技巧 已知两集合间的关系求参数时 关键是将两集合间的关系进行转化 最终转化为元素间的关系 这时常借助数轴去分析 同时要关注区间端点的开与闭 这也是解题容易出错的地方 集合中的新运算法则问题 a 0b 1c 2d 3 思路点拨 当x s时 有x2 s 可推得s中元素应在 1 1 上 又因s x m x l 所以 x m x l x 1 x 1 解析 若m 1 则l 1 所以s 1 正确 若m 则m2 必在集合s中 所以 l 1 正确 若l 时 则0 m2 所以0 m 或 m 0 当0 m 时 因m l 所以0 m 这时若m 则s x x 不满足 当x s时 有x2 s 所以应有 m 0 故 正确 答案 d 变式探究 4 设p是一个数集 且至少含有两个数 若对任意a b p都有a b a b ab p 除数b 0 则称p是一个数域 例如有理数集q是数域 数集f a b a b q 也是数域 给出下列命题 整数集是数域 若有理数集q m 则数集m必为数域 数域必为无限集 存在无穷多个数域 其中正确的命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上 解析 由数域的概念推得 正确 答案 方法技巧 准确理解新运算法则 新定义等是解题的关键 例1 2009年陕西卷 某班有36名同学参加数学 物理 化学课外探究小组 每名同学至多参加两个小组 已知参加数学 物理 化学小组的人数分别为26 15 13 同时参加数学和物理小组的有6人 同时参加物理和化学小组的有4人 则同时参加数学和化学小组的有 人 解析 由题意知 同时参加三个小组的人数为0 设同时参加数学和化学小组的人数为x venn图如图所示 20 x 6 5 4 9 x x 36 解得x 8 答案 8 例2 2009年湖北卷 已知p a a 1 0 m 0 1 m r q b b 1 1 n 1 1 n r 是两个向量集合 则p q a 1 1 b 1 1 c 1 0 d 0 1 解析 p a a 1 m m r q b b 1 n 1 n n r p q b b a 令a b a b 1 1 答案 a 类型一对描述元素特征的代数式理解不准确 例1 已知m a n b 且集合a x x 2a a z b x x 2a 1 a z 又c x x 4a 1 a z 则有 a m n ab m n bc m n cd m n不属于a b c中任一个 正解 m a 设m 2a1 a1 z 同理设n 2a2 1 a2 z m n 2a1 2a2 1 2 a1 a2 1 而a1 a2 z m n b 故选b 分析 本题描述元素特征的代数式中的a是整数 且两个式子2a与2a 1中的a所取整数可以不同 这一点常被忽视 故易出现如下错误解法 m n 2a 2a 1 4a 1 故选c 类型二对集合间的关系理解不透彻 例2 设全集u a b x n lgx 1 若a ub m m 2n 1 n 0 1 2 3 4 则集合b 正解 u a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a ub 1 3 5 7 9 b 2 4 6 8 分析 对涉及集合间 交 并 补的运算关系时 可借助如图示venn图 即可分清集合间相互关系 一 选择题 1 2010年湖南卷 已知集合m 1 2 3 n 2 3 4 则 a m nb n mc m n 2 3 d m n 1 4 解析 m 1 2 3 n 2 3 4 m n 2 3 答案 c 2 文 设全集u 0 1 2 3 4 集合a 0 1 2 集合b 2 3 则 ua b等于 a b 1 2 3 4 c 0 1 2 3 4 d 2 3 4 解析 u 0 1 2 3 4 a 0 1 2 ua 3 4 又b 2 3 ua b 2 3 4 答案 d 理 若集合a x x 1 x r y y 2 y r b z z 1 且z 2 z r 则 a a bb a bc a bd a b 解析 先化简a 由a x x 1 x r y y 2 y r r b z z 1 且z 2 z r 知b a 答案 c 3 设集合a x y 4x y 6 b x y 3x 2y 7 则满足c a b 的集合c的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 由于直线4x y 6和3x 2y 7有且只有一个交点 故a b中只有一个元素 所以符合条件c a b 的集合c有2个 答案 c 4 改编题 已知集合a y y x3 1 x 1 b y y x 0 x 1 则a b等于 a 1 b 1 0 c d 1 答案 b 5 文 2010年广东揭阳一模 已知集合a 1 2a b a b 若a b 则a b等于 a 1 b b 1 c 1 d 1 1 解析 a b a a 1 2a 2a 即a 1 又 b b a b b a b 1 1 1 1 答案 d 理 2010年福建龙岩一检 已知集合a x a 2 x a 2 b x x 2或x 4 则a b 的充要条件是 a 0 a 2b 2 a 2c 0 a 2d 0 a 2 解析 结合数轴知 a b 的充要条件是 即0 a 2 答案 a 二 填空题 6 已知集合a x y b x x a 且a b r 则实数a的取值范围是 解析 a x x 1 b x x a 且a b r 结合数轴易知a 1 答案 1 7 厦门双十中学2011届高三第一次月考 设集合a 5 log2 a 3 集合b a b 若a b 2 则a b 解析 a b 2 2 a log2 a 3 2 a 3 22 a 1 又2 b b 2 a 5 2 b 1 2 a b 1 2 5 答案 1 2 5 8 文 已知集合a 2 3 4 b 2 4 6 8 c x y x a y b 且logxy n 则集合c中元素的个数是 解析 由题意 x可能的值有2 3 4三种可能 当x 2时 y可能取2 4 8三个数 当x 3时 没有y的值 当x 4时 y可以取4 故c中元素的个数是4 答案 4 理 设a b为两个非空数集 定义a b a b a a b b 若a 0 2 5 b 1 2 6 则a b中元素的个数是 解析 由题意知a 0时 a b 1 2 6 a 2时 a b 3 4 8 a 5时 a b 6 7 11 a b 1 2 3 4 6 7 8 11 有8个元素 答案 8 9 学校举办了一次语文竞赛 某班有8名同学参加 又举办了一次数学竞赛 这个班有12名同学参加 两次均参加的同学有5人 在这两次竞赛中 这个班参赛的同学共有 人 解析 设只参加语文竞赛的有x人 只参加数学竞赛的有y人 由已知得 解得故所有参赛的同学共有 3 5
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