重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第四章第八节 解三角形的实际应用举例指导课件 新人教A版 .ppt

第八节 解三角形的实际应用举例 一 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 二 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 三 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 1 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 2 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 3 南偏西等其他方向角类似 1 解三角形应用题的基本思路 1 读懂题意 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形模型 3 选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形的解还原为实际问题 注意实际问题中的单位 近似计算要求 2 解三角形应用题常有以下几种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然 后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 解方程得出所要求的解 3 实际问题经抽象概括后 涉及到的三角形只有一个 但由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理 1 某人向正东方向走xkm后 他向右转150 然后朝新方向走3km 结果他离出发点恰好km 那么x的值为 a b 2c 2或d 3 解析 由题意画出三角形如图 则 abc 30 由余弦定理得 cos30 x 2或 故选c 答案 c 2 海上有a b两个小岛 相距10海里 从a岛望c岛和b岛成60 的视角 从b岛望c岛和a岛成75 的视角 则b c间的距离是 a 10海里b 5海里c 5海里d 5海里 解析 由题意知 bac 60 abc 75 ab 10 acb 45 由正弦定理 有 答案 c 3 文 一船向正北航行 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的速度是每小时 a 5海里b 5海里c 10海里d 10海里 解析 如图 设两灯塔分别为a b ab 10 则 aco 75 bco 60 acb bac 15 bc ba 10 oc bc cos60 5 v 10 海里 小时 答案 c 理 一货轮航行到m处 测得灯塔s在货轮的北偏东15 与灯塔s相距20nmile 随后货轮按北偏西30 的方向航行30min后 又测得灯塔在货轮的东北方向 则货轮的速度为 a 20 nmile hb 20 nmile hc 20 nmile hd 20 nmile h 解析 依题意 作出图形 相当于已知二角一边求另一边 ms 20 nms 45 snm 180 30 45 105 由正弦定理 答案 b 4 教材改编题 在200m的山顶上 测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 m 解析 由题意 作出示意图 ad 200 m bad 30 且又 acb 120 bccos30 ab 5 教材改编题 在 abc中 若sina sinb sinc 5 7 8 则 b 解析 由正弦定理 得a b c 5 7 8 令a 5k b 7k c 8k 由余弦定理 得cosb 又0 b b 测量距离问题 例1 某炮兵阵地位于地面a处 两观察所分别位于地面点c和d处 已知cd 6km acd 45 adc 75 目标出现于地面点b处时 测得 bcd 30 bdc 15 如图 求炮兵阵地到目标的距离 思路点拨 此题是常见的测距问题 给出的角度较多 涉及几个三角形 重点应注意依次解哪几个三角形才较为简单 所以炮兵阵地到目标的距离为 变式探究 1 如图 公路mn和pq在p处交汇 且 qpn 30 在a处有一所中学 ap 160米 假设拖拉机行驶时 周围100米以内会受到噪声的影响 那么拖拉机在公路mn上沿pn方向行驶时 学校是否会受到影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为18千米 小时 那么学校受影响的时间为多少 解 作ab mn b为垂足 在rt abp中 abp 90 apb 30 ap 160 ab 80 点a到直线mn的距离小于100米 所以这所中学会受到噪声的影响 如图所示 若以a为圆心 100米为半径画圆 那么圆a和直线mn有两个交点 设交点分别为c d 连结ac ad 则ac ad 100米 根据勾股定理和垂径定理得 cb db 60米 cd 120米 学校受噪声影响的时间为t 方法技巧 测量在实际中不能到达的两点间的距离问题 这是测量学中应用非常广泛的三角学测量问题 解决这类问题的基本思路是将问题转移到一个三角形或几个三角形中 利用正 余弦定理 或勾股定理 求解 测量高度问题 例2 某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 思路点拨 依题意画图 某人在c处 ab为塔高 他沿cd前进 cd 40米 此时 dbf 45 从c到d沿途测塔的仰角 只有b到测试点的距离最短时 仰角才最大 这是因为ab为定值 be最小时 仰角最大 要求出塔高ab 必须先求be 而要求be 需先求bd 或bc 解 如右图 某人在c处 ab为塔高 他沿cd前进 cd 40 此时 dbf 45 过点b作be cd于e 则 aeb 30 在 bcd中 cd 40 bcd 30 dbc 135 由正弦定理 变式探究 2 用同样高度的两个测角仪ab和cd同时望见气球e在它们的正西方向的上空 分别测得气球的仰角是a和 已知b d间的距离为a 测角仪的高度是b 求气球的高度 方法技巧 1 在测量高度时 要理解仰角 俯角的概念 仰角和俯角都是在同一铅垂面内 视线与水平线的夹角 2 准确理解题意 分清已知与所求 排除题目中非数学因素的干扰 画出示意图 3 运用正 余弦定理 有序地解相关的三角形 逐步求解问题的答案 注意方程思想的运用 测量角度问题 例3 我缉私巡逻艇在一小岛a南偏西50 的方向 距小岛a12nmile的b处 发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西10 方向行驶 测得其速度为每小时10nmile 问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船 参考数据 sin38 0 62 思路点拨 根据题意画出图形 选准三角形 利用正 余弦定理求解 解 如图所示 ac所在射线即为走私船航行路线 假设我巡逻艇在c处截获走私船 我巡逻艇的速度为每小时xnmile 则 bc 2x ac 20 即我巡逻艇用每小时14nmile的速度向北偏东12 的方向航行 变式探究 3 在海岸a处 发现北偏东45 方向 距离a 1 nmile的b处有一艘走私船 在a处北偏西75 的方向 距离a2 nmile的c处的缉私船奉命以10nmile h的速度追截走私船 此时 走私船正以10nmile h的速度从b处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 解 如图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在d处相遇 则可先在 abc中求出bc 再在 bcd中求 bcd 设缉私船用th在d处追上走私船 则有cd bd 10t 即缉私船沿东偏北30 方向能最快追上走私船 方法技巧 首先应明确方位角的含义 然后分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题 解题时也要注意体会正 余弦定理 联袂 使用的优点 例1 2008年上海卷如右图 某住宅小区的平面图呈扇形aoc 小区的两个出入口设置在点a及点c处 小区里有两条笔直的小路ad dc 且拐弯处的转角为120 已知某人从c沿cd走到d用了10分钟 从d沿da走到a用了6分钟 若此人步行速度为每分钟50米 求该扇形的半径oa的长 精确到1米 解 设扇形半径为r米 由题意 得 所以 该扇形的半径oa的长约为445米 例2 2009年海南 宁夏卷为了测量两山顶m n间的距离 飞机沿水平方向在a b两点进行测量 a b m n在同一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的数据有俯角和a b间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算m n间的距离的步骤 解 方案一 需要测量的数据有 a点到m n点的俯角 1 1 b点到m n的俯角 2 2 a b间的距离d 如图所示 方案二 需要测量的数据有 a点到m n点的俯角 1 1 b点到m n点的俯角 2 2 a b间的距离d 如图所示 第一步 计算bm 由正弦定理 第二步 计算bn 由正弦定理 第三步 计算mn 由余弦定理 类型忽视隐含条件导致失误 例 某人计划用长度为2a 1 a 2a 1的铁丝围成一个钝角三角形 则对a有什么限制 正解 需判断出哪一边最大 利用大边对大角 将角转换到余弦定理中去 由构成三角形的条件 还有 分析 解答本题时 容易忽略构成三角形的条件 三角形中任意两边之和大于第三边 导致错解 一 选择题 如图d c b在地平面同一直线上 dc 10m 从d c两地测得a的仰角分别为30 45 则a点距地面的距离等于 a 10mb 5mc 5 1 md 5 1 m 答案 d 2 如图已知两座灯塔a和b到海洋观察站c的距离都等于akm 灯塔a在观察站c的北偏东40 灯塔b在观察站c的南偏东50 则灯塔a与灯塔b的距离为 a akmb akmc akmd 2 km 解析 acb 180 40 50 90 又ca cb a ab2 ac2 cb2 2a2 即ab akm 故选c 答案 c 3 如图 为了测量隧道ab的长度 给定下列四组数据无法求出ab长度的是 a a bb ac a b d 解析 a 已知两边及一边的对角 可用正弦定理解决 b 已知两角及一边 可用正弦定理求解 c 已知两边及夹角 可用余弦定理求解 故选d 答案 d 4 一船自西向东航行 上午10时到达灯塔p的南偏西75 距塔68海里的m处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处 则这只船航行的速度为 a 海里 时b 34海里 时c 海里 时d 34海里 时 解析 依题意 画出示意图 如图 在 mpn中 mpn 75 45 120 mnp 45 由正弦定理 从上午10时到下午2时 共4小时 故所求速度 5 如图 在某点b处测得建筑物ae的顶端a的仰角为 沿be方向前进30米至c处测得顶端a的仰角为2 再继续前进10米至d处 测得顶端a的仰角为4 则 的值为 a 15 b 10 c 5 d 20 答案 a 二 填空题 6 如图 海平面上的甲船位于中心o的南偏西30 与o相距10海里的c处 现甲船以30海里 小时的速度沿直线cb去营救位于中心o正东方向20海里的b处的乙船 甲船需要 小时到达b处 解析 如图 在 boc中 oc 10 ob 20 cob 30 90 120 由余弦定理 得bc2 oc2 ob2 2oc obcos120 102 202 2 10 20 cos120 700 bc 10 7 如图所示 在山根a处测得山顶b的仰角 cab 45 沿倾斜角为30 的山坡向山顶走1000米到达s点 又测得山顶仰角 dsb 75 则山高bc为 米 答案 1000 8 如图 某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形aob c是该小区的一个出入口 且小区里有一条平行于ao的小路cd 已知某人从o沿od走到d用了2分钟 从d沿dc走到c用了3分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 则该扇形的半径为 米 解析 由题意知 od 100米 cd 150米 连结oc 易知 odc 60 由余弦定理知 oc2 od2 cd2 2od cd cos odc 代入数据得oc 50 答案 50 9 文 有一长为1的斜坡 它的倾斜角20 现高不变 将倾斜角改为10 则斜坡长为 解析 如图 abc 20 ab 1 adc 10 abd 160 在 abd中 由正弦定理 答案 2cos10 理 把一根长为30cm的铁丝剪成两段分别作钝角 abc的两边ab和ac 并使 bac 120 要使 abc周长最小 则分成的两段铁丝的长分别是 解析 设其一边为x 则另一边为30 x 由余弦定理求出第三边的长 将周长表示成x的函数 求函数最小值 如图 设ab x ac 30 x bac 120 则由余弦定理得bc2 ab2 ac2 2ab accos bac x2 30 x 2 2x 30 x cos120 bc2 x2 30 x 900 x 15 2 675 当x 15时 bc2最小 即bc最小 周长l 30 bc最小 将30cm的铁丝分为相等的两段时 构成夹角120 的三角形周长最小 答案 15cm15cm 三 解答题 10 要测量河对岸两点a b之间的距离 选取相距里的c d两点 并测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 求a b之间的距离 解 如图 在 acd中 acd 120 cad adc 30 ac cd 在 bcd中 bcd 45 bdc 75 cbd 60 由正弦定理得 11 文 原创题 已知海岛b在海岛a的东偏南15 方向上 a b相距20 km 小船甲从海岛b以40km h的速度沿直线向海岛a移动 同时小船乙从海岛a出发沿北偏东45 方向也以40km h的速度移动 1 经过1小时后 甲 乙两小船相距多少千米 2 若在a b岛周围存在c岛 但不知道c岛的具体位置 只知道 甲船先从b岛沿正西偏北 0 方向行走一段时间后 再向正北方向行走一段时间便到达c岛 总共用时30分钟 但 的大小以及何时改变方向不定 根据上面条件 推测a c两岛间距离d的取值范围 解 1 1小时后 甲船到达m点 乙船到达n点 那么有 am 20 20 40 an 40 man 60 理 2010年福建卷 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇