高中数学 1.1《任意角和弧度制》课件 新人教A版必修4.ppt

1 1任意角和弧度制 1 角的概念 初中是如何定义角的 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 这种概念的优点是形象 直观 容易理解 但它是从图形形状来定义角 因此角的范围是 0 360 这种定义称为静态定义 其弊端在于 狭隘 生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体720 跳水运动员向内 向外转体1080 经过1小时 时针 分针 秒针各转了多少度 这些例子不仅不在范围 0 360 而且方向不同 有必要将角的概念推广到任意角 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化 2 角的概念的推广 旋转 形成角一条射线由原来的位置oa 绕着它的端点o按逆时针方向旋转到另一位置ob 就形成角 旋转开始时的射线oa叫做角 的始边 旋转终止的射线ob叫做角 的终边 射线的端点o叫做角 的顶点 正角 与 负角 0 角 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 如图 以oa为始边的角 210 150 660 特别地 当一条射线没有作任何旋转时 我们也认为这时形成了一个角 并把这个角叫做零度角 0 角的记法 角 或可以简记成 角的概念扩展的意义 用 旋转 定义角之后 角的范围大大地扩大了 角有正负之分 如 210 150 660 角可以任意大 实例 体操动作 旋转2周 360 2 720 3周 360 3 1080 还有零角 一条射线 没有旋转 角的概念推广以后 它包括任意大小的正角 负角和零角 要注意 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量 它的正负规定纯属于习惯 就好象与正数 负数的规定一样 零角无正负 就好象数零无正负一样 用旋转来描述角 需要注意三个要素 旋转中心 旋转方向和旋转量 2 旋转方向 旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种 这是一对意义相反的量 根据以往的经验 我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示 那么许多问题就可以解决了 1 旋转中心 作为角的顶点 3 旋转量 当旋转超过一周时 旋转量即超过360 角度的绝对值可大于360 于是就会出现720 540 等角度 3 象限角 为了研究方便 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点重合于坐标原点 角的始边重合于x轴的正半轴 这样一来 角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上 则此角不属于任何一个象限 例如 30 390 330 是第 象限角 300 60 是第 象限角 585 1300 是第 象限角 135 2000 是第 象限角等 4 终边相同的角 观察 390 330 角 它们的终边都与30 角的终边相同 探究 终边相同的角都可以表示成一个0 到360 的角与k k z 个周角的和 390 30 360 k 1 330 30 360 k 1 30 30 0 360 k 0 1470 30 4 360 k 4 1770 30 5 360 k 5 结论 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 k 360 k z 即 任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 注意以下四点 k z 是任意角 k 360 与 之间是 号 如k 360 30 应看成k 360 30 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差360 的整数倍 例1 在0 到360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它是哪个象限的角 1 120 2 640 3 950 12 解 120 360 240 240 的角与 120 的角终边相同 它是第三象限角 640 360 280 280 的角与640 的角终边相同 它是第四象限角 950 12 3 360 129 48 129 48 的角与 950 12 的角终边相同 它是第二象限角 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合s 并把s中在 360 720 间的角写出来 1 60 2 21 3 363 14 解 1 s k 360 60 k z s中在 360 720 间的角是 1 360 60 280 0 360 60 60 1 360 60 420 2 s k 360 21 k z s中在 360 720 间的角是0 360 21 21 1 360 21 339 2 360 21 699 3 k 360 363 14 k z s中在 360 720 间的角是 2 360 363 14 356 46 1 360 363 14 3 14 0 360 363 14 363 14 2 已知角的顶点与坐标系原点重合 始边落在x轴的正半轴上 作出下列各角 并指出它们是哪个象限的角 1 420 2 75 3 855 4 510 答 1 第一象限角 2 第四象限角 3 第二象限角 4 第三象限角 二 弧度制在初中几何里 我们学习过角的度量 1度的角是怎样定义的呢 周角的为1度的角 这种用1 角作单位来度量角的制度叫做角度制 今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度 弧度制 1 圆心角 弧长和半径之间的关系 角是由射线绕它的端点旋转而成的 在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧 不同的点所形成的圆弧的长度是不同的 但都对应同一个圆心角 定值 设 n 弧长为l 半径oa为r 则 可以看出 等式右端不含半径 表示弧长与半径的比值跟半径无关 只与 的大小有关 结论 可以用圆的半径作单位去度量角 2 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角 弧度记作rad 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制 注 今后在用弧度制表示角的时候 弧度二字或rad可以略去不写 3 弧度制与角度制相比 1 弧度制是以 弧度 为单位的度量角的单位制 角度制是以 度 为单位来度量角的单位制 1弧度 1 2 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小 而1度是圆周的所对的圆心角的大小 3 弧度制是十进制 它的表示是用一个实数表示 而角度制是六十进制 4 以弧度和度为单位的角 都是一个与半径无关的定值 4 公式 表示的是在半径为r的圆中 弧长为l的弧所对的圆心角是 rad 5 弧度制与角度制的换算 用角度制和弧度制度量角 零角既是0 角 又是0rad角 同一个非零角的度数和弧度数是不同的 平角 周角的弧度数 平角 rad 周角 2 rad 正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是0 角 的弧度数的绝对值 l为弧长 r为半径 360 2 rad 180 rad 1 1rad 6 用弧度制表示弧长及扇形面积公式 弧长等于弧所对的圆心角 的弧度数 的绝对值与半径的积 弧长公式 由公式 比公式简单 证明 设扇形所对的圆心角为n rad 则 又 r l 所以 证明2 因为圆心角为1rad的扇形面积是 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad 所以它的面积是 例3 1 把112 30 化成弧度 精确到0 001 2 把112 30 化成弧度 用 表示 解 1 112 30 112 5 所以112 30 112 5 0 0175 1 969rad 2 112 30 112 5 例4 把化成度 解 1rad 例5 填写下表 0 2 例6 扇形aob中 所对的圆心角是60 半径是50米 求的长l 精确到0 1米 解 因为60 所以 l r 50 52 5 答 的长约为52 5米 例7 在半径为r的圆中 240 的中心角所对的弧长为 面积为2r2的扇形的中心角等于弧度 解 1 240 根据l r 得 2 根据s lr r2 且s 2r2 所以 4 例8 与角 1825 的终边相同 且绝对