高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1.ppt

3 1 2用二分法求方程的近似解 1 函数y x2 bx c x 0 是单调增函数 则b的取值范围为 2 函数y x 1 x2 2x 3 的零点为 3 方程log2x x2 2的实数解的个数为 b 0 1 1 3 1 1 二分法的定义对于在区间 a b 上 且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点的近似值的方法 叫做二分法 由函数的零点与相应方程根的关系 可以用二分法求方程的近似解 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 2 二分法的步骤给定精确度 用二分法求f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 4 判断是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 f a f b 0 c就是函数的零点 a b c b a b 解析 由题意知选c 答案 c 2 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确到0 1 为 a 1 5b 1 4c 1 3d 1 2 解析 1 4375 1 375 0 0625 0 1 f x 的零点近似值可取1 4375 1 4或1 375 1 4 答案 b 3 已知图象连续不断的函数y f x 在区间 0 0 1 上有唯一零点 如果用 二分法 求这个零点 精确度为0 01 的近似值 则应将区间 0 0 1 等分的次数至少为 次 解析 区间长度为0 1 等分1次区间长度变为0 05 等分2次 区间长度变为0 025 等分3次 区间长度变为0 0125 等分4次 区间长度变为0 00625 0 01 符合条件 答案 4 本题可结合二分法的概念 判断是否具备使用二分法的条件 解题过程 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号 在b中 不满足f a f b 0 不能用二分法求零点 由于a c d中零点两侧函数值异号 故可采用二分法求零点 答案 b 题后感悟 二分法的理论依据是零点存在定理 必须满足零点的两侧的函数值异号才能求解 所以理解好零点存在定理才能正确地使用二分法 解析 须符合连续不间断且零点附近对应函数值符号相异 故选b 答案 b 要求方程2x3 3x 3 0的正实根 可转化为用二分法求函数f x 2x3 3x 3的正的零点 故首先要选定初始区间 a b 满足f a f b 0 然后逐步逼近 解题过程 令f x 2x3 3x 3 经计算 f 0 30 f 0 f 1 0 所以方程2x3 3x 3 0在 0 5 1 内有解 如此继续下去 得到方程的正实数根所在的区间 如下表 由于 0 6875 0 75 0 0625 0 1 所以0 75可作为方程的一个正实数近似解 题后感悟 1 二分法解题流程 2 二分法中对结果要求的 精确度 与 精确到 有何区别 精确度为0 1 是指二分法停止二分区间时 区间 a b 的长度 b a 0 1 此时a 或b 即为零点近似值 而精确到0 1 是指a b四舍五入精确到0 1的近似值相同 这个相同的近似值即为零点近似值 解析 作出y lgx y 3 x的图象可以发现 方程lgx 3 x有唯一解 记为x0 并且解在区间 2 3 内 设f x lgx x 3 用计算器计算 得f 2 0 x0 2 3 f 2 5 0 x0 2 5 3 f 2 5 0 x0 2 5 2 75 f 2 5 0 x0 2 5 2 625 f 2 562 0 x0 2 562 2 625 2 625 2 562 0 063 0 1 方程的近似解可取为2 625 不唯一 题后感悟 1 本题考查函数零点个数问题 这个知识点主要包括以下几个类型 一元二次方程通常用判别式来判断根的个数 指数函数和对数函数等函数的零点个数问题我们一般用图象来解决 2 利用函数的单调性来判断函数零点的个数 如果已知函数f x 在其定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 解析 设y1 log2x y2 4 x则f x 的零点个数即y1与y2的交点个数 作出两函数图象由图知 y1与y2在区间 2 3 有一个交点当x 2时 y1 1 y1 2当x 3时 y1 log23 1 y2 1 在 2 3 内两曲线有一个交点 函数f x log2x x 4只有一个零点 解析 1 2x 2x 6 0 即2x 6 2x 在同一坐标系中作出y 2x和y 6 2x的图象 如图 1 可知有一个交点 故函数f x 2x 2x 6有一个零点 1 准确理解 二分法 的含义顾名思义 二分就是平均分成两部分 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 逐步逼近零点的方法 找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2 运用二分法求方程f x 0的实数解应注意以下几点 1 条件 函数y f x 的图象在 a b 上为一条连续曲线 且f a f b 0时 方可使用二分法 2 技巧 在选择实数解所在的大致区间时 应尽可能地使其长度越小越好 利用表格展现二分法求方程实数解的过程时 表格一般可分为三列 第一列是运算次数 第二列是左端点值 第三列是右端点值 后两列决定了运算的终止与否 当左端点与右端点满足要求精确度的近似值相同时 即可终止运算 用二分法求方程x2 5 0的一个非负近似解 精确度为0 1 错解 令f x x2 5 因为f 2 2 2 22 5 0 160 所以f 2 2 f 2 4 0 说明这个函数在区间 2 2 2 4 内有零点x0 取区间 2 2 2 4 的中点x1 2 3 f 2 3 2 32 5 0 29 因为f 2 2 f 2 3 0 所以x0 2 2 2 3 再取区间 2 2 2 3 的中点x2 2 25 f 2 25 0 0625 因为f 2 2 f 2 25 0 所以x0 2 2 2 25 同理可得x0 2 225 2 25 2 225 2 2375 又f 2 225 0 0494 f 2 2375 0 0064 且 0 0064 0 0494 0 0558 0 1 所以原方程的近似正解可取为2 225 错因 本题错解的原因是对精确度的理解不正确 精确度 满足的关系式为 a b 0 所以f 2 2 f 2 4 0 说明这个函数在区间 2 2 2 4 内有零点x0 取区间 2 2 2 4 的中点x1 2 3 f 2