高中数学 （学习导航+题型探究+备选例题+方法感悟） 2.2.3映射精品课件 北师大版必修1.ppt

2 3映射 学习导航学习目标重点难点重点 映射的概念 原像与像的计算 难点 用映射的概念解释函数的概念 1 映射 1 映射的含义两个 集合a与b间存在着对应关系f 而且对于a中的 元素x b中总有 的一个元素y与它对应 则称这样的对应为从a到b的映射 记作 非空 每一个 唯一 f a b 2 像与原像的概念在映射f a b中 称为原像 称为x的像 记作 3 一一映射f a b的概念一一映射是一种特殊的映射 它满足 a中每一个元素在b中都有 与之对应 a中的 元素的像也不同 b中的每一个元素都有 a中的元素x b中的对应元素y f x y 唯一的像 不同 原像 想一想1 形成映射的两个集合a b必须是数集吗 提示 a b可以是非空的任意集合 数集 点集或其它集合都可以 2 从a到b的映射f a b b中的元素必须有原像吗 提示 b中的元素可以没原像 也可以有唯一的一个原像 也可以有多个原像 2 函数与映射 是一种特殊的映射 是从非空数集到非空数集的映射 函数概念可以叙述为 设a b是两个非空数集 f是a到b的一个映射 那么映射f a b就叫作a到b的函数 函数 做一做1 在映射f a b中 a b x y x y r 且f x y x y x y 则与a中的元素 1 2 对应的b中的元素为 a 3 1 b 1 3 c 1 3 d 3 1 解析 选a 由所给的x 1 y 2可知x y 3 x y 1 2 下列各图表示的是从集合a到集合b的对应 其中哪些是映射 哪些是一一映射 哪些是函数 为什么 解 1 是映射 也是一一映射和函数 因为集合a b都是非空数集 且是 一对一 的对应方式 2 是映射 且是函数 但不是一一映射 因为集合b中的元素1的原像不是唯一的 3 不是映射 更不是一一映射或者函数 因为集合a中的元素0在集合b中有两个对应元素1和 1 4 是映射 且是一一映射 但不是函数 因为集合a b不是数集 题型一映射 一一映射 函数的判断判断下列对应是不是从集合a到集合b的映射 其中哪些是一一映射 哪些是函数 为什么 1 a r b 非负实数 对应关系f y x2 x a y b 2 a r b 正实数 对应关系f y x2 x a y b 3 a x r x 0 b r 对应关系f a中的元素对应它的平方根 4 a x x 2 b y y x2 4x 3 f y x 3 x a y b 解 1 是映射 且是函数 但不是一一映射 因为a中的任何一个元素 在b中都能找到唯一的元素与之对应 又a b均为非空数集 所以此映射是函数 因为x以及x的相反数在b中的对应元素相同 所以不是一一映射 2 不是从集合a到集合b的映射 更不是函数或者一一映射 因为a中的元素0 在集合b中没有对应的元素 3 不是从集合a到集合b的映射 更不是函数或者一一映射 因为任何正数的平方根都有两个值 即集合a中的任何元素 在集合b中都有两个元素与之对应 4 当x 2时 x 3 1 而y x2 4x 3 x 2 2 1 1 因而能构成映射 且是函数 并且b中每一个元素在a中都有唯一的一个原像 所以又是一一映射 方法小结 1 两个集合之间只有一对一 多对一才是映射 其中一对一为一一映射 2 并非所有映射都是函数 只有集合a b都是非空数集时 映射才是函数 变式训练 解析 选b 在a中 当x 3时 x 3 0 而0 b 于是a中有一元素3在b中没有元素和它对应 故不是函数 在c中 集合a中的负数在b中没有元素和它对应 故也不是函数 在d中 集合a中的元素0 其倒数不存在 因而0在b中无对应元素 故同样不是函数 只有b项符合定义 故选b 题型二像与原像的对应已知映射f a b x y x r y r f a中元素 x y 对应b中元素 3x 2y 1 4x 3y 1 1 求a中 1 2 的像 2 求b中 1 2 的原像 3 是否存在这样的元素 a b 使它的像仍是自己 若有 求出这个元素 名师点睛 1 解答此类问题的关键是 分清原像和像 搞清楚由原像到像的对应关系 2 对a中元素 求像只需将原像代入对应关系即可 对于b中元素求原像 可先设出它的原像 然后利用对应关系列出方程组求解 变式训练2 已知 x y 在映射f作用下的像是 x y xy 1 2 3 在f作用下的像是 2 若在f作用下的像是 2 3 则它的原像是 解析 1 2 3 在映射f作用下的像是 2 3 2 3 即 1 6 答案 1 1 6 2 3 1 或 1 3 题型三映射或函数的个数已知a 1 2 3 4 b 5 6 取适当的对应法则 1 以集合a为定义域 b为值域 注意 值域为b 而不是b的子集 即b中元素都有原像 的函数有多少个 2 在所有以集合a为定义域 b为值域的函数中 满足条件f 1 f 2 f 3 f 4 的函数有多少个 思路点拨 根据函数的定义可用列举法探索解题思路 解 1 根据映射与函数的定义 集合a中的元素均可与b中的两个元素对应 故从a到b可建立24 16个函数 审题可要慎之又慎噢 但在1 2 3 4都对应5或都对应6这两种情况下 值域不是b 应予以排除 所以以集合a为定义域 b为值域的函数有14个 2 在上述14个函数中 满足条件f 1 f 2 f 3 f 4 的函数具体为 含义 对应的像由小到大排列 f 1 5 f 2 f 3 f 4 6 f 1 f 2 5 f 3 f 4 6 f 1 f 2 f 3 5 f 4 6 使用一一列举法 所以满足条件的函数共有3个 思维总结 a中有m个元素 b中有n个元素 f a b的映射个数为nm个 变式训练3 1 已知a a b b 1 2 用图示法表示所有从集合a到集合b的映射 这样的映射共有多少个 2 若a a b c b 1 2 从集合a到集合b可以建立多少个不同的映射 从集合b到集合a呢 解 1 依据映射定义 从集合a到集合b的映射有 22 4 个 如图 2 a a b c b 1 2 则从a到b的映射共有 23 8 个 反过来从b到a的映射共有 32 9 个 1 已知集合a 1 2 3 4 5 6 集合b 1 1 3 5 7 9 集合c 8 2 4 10 16 22 对应关系f为 乘2减3 对应关系g为 乘3减5 对应关系h为 先乘2减3 再将所得结果乘3减5 分别求下列映射所对应的函数表达式 1 映射f a b 2 映射g b c 3 映射h a c 解 1 由题意知y f x 函数表达式为y 2x 3 2 由题意知y g x 函数表达式为y 3x 5 3 由题意得y h x g f x g f x 3f x 5 3 2x 3 5 6x 14 函数表达式为y 6x 14 2 2012 西安质检 已知a a b c b 1 0 1 映射f a b满足f a f b f c 求映射f a b的个数 解 1 当a中三个元素都对应0时 则f a f b 0 0 0 f c 有1个映射 2 当a中三个元素对应b中两个时 满足f a f b f c 的映射有4个 分别为1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 3 当a中的三个元素对应b中的三个元素时 有2个映射 分别是 1 1 0 1 1 0 因此满足题设条件的映射有7个 方法技巧1 映射的概念 1