高中数学《3.2.1几类不同增长的函数模型》课件 新人教A版必修1.ppt

3 2 1几类不同增长的函数模型 如果你是一个公司的老板 为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 开始按销售利润进行奖励 且奖金y 万元 随销售利润x 万元 的增加而增加 但奖金总数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 为了既能维护公司的利润 又能起到对销售人员的激励作用 你会选择哪种奖励模型呢 1 三种函数模型的性质 2 三种函数的增长速度比较 1 在区间 0 上 函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是 但不同 且不在同一个 档次 上 2 在区间 0 上随着x的增长 y ax a 1 增长速度 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会 3 存在一个x0 使得当x x0时 有 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 logax xn ax 1 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系 其图象如下图 由图中给出的信息可知 营销人员没有销售量时的收入是 a 310元b 300元c 290元d 280元 2 在某种金属材料的耐高温实验中 温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图 给出下面说法 前5分钟温度增加的速度越来越快 前5分钟温度增加的速度越来越慢 5分钟后温度保持匀速增加 5分钟后温度保持不变其中正确的说法是 a b c d 解析 由图象分析单位时间内y的变化量可知 选b 答案 b 3 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下 关于x呈指数型函数变化的变量是 解析 由 指数增长 成倍增加的特点 应是y2 答案 y2 4 某种产品每件80元 每天售出30件 如果每个定价120元 则每天售出20件 如果售出件数是定价的一次函数 则这个函数的解析式是 5 下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表 问 1 各函数随着x的增大 函数值有什么共同的变化趋势 2 各函数增长的快慢有什么不同 解 1 随着x的增长 各函数的函数值都增大 2 y 2x开始增长的速度较慢 但随着x的增大 y增长速度越来越快 y x2增长速度平衡 y log2x开始增长速度稍快 但随x增大 y增长速度越来越慢 类型一线性函数模型应用题 例1 为了发展电信事业方便用户 电信公司对移动电话采用不同的收费方式 其中所使用的 如意卡 和 便民卡 在某市范围内每月 30天 的通话时间x 分 与通话费y1 元 y2 元 的关系分别如图 1 图 2 所示 1 分别求出通话费y1 y2与通话时间x之间的函数关系式 2 请帮助用户计算 在一个月 30天 内使用哪种卡便宜 思路分析 由题目可知函数模型为直线型 可先用待定系数法求出解析式 然后再进行函数值大小的比较 温馨提示 函数的图象是表示函数的三种方法之一 正确识图 用图 译图是解决函数应用题的基本技能和要求 本题由于过原点的直线是正比例函数图象 因此运用了待定系数法求得一次函数解析式 然后利用函数解析式解决了实际问题 借助函数图象表达题目中的信息 读懂图象是关键 类型二二次函数模型应用题 例2 养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt 为保证鱼群的生长空间 实际养殖量不能达到最大养殖量 必须留出适当的空闲量 已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比 比例系数为k k 0 1 写出y关于x的函数关系式 并指出这个函数的定义域 2 求鱼群年增长量的最大值 3 当鱼群的年增长量达到最大值时 求k的取值范围 思路分析 由题意写出函数关系式 利用配方法求得最大值 列不等式求k的范围 温馨提示 这是一道二次函数的应用题 同时考查了正比例函数 一次函数 本题中 最大养殖量 空闲量 空闲率 这些临时定义 使本题理解难度加大 因此 要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇 再找未知量之间的关系 类型三指数函数 对数函数模型应用题 例3 1999年1月6日 我国的第13亿个小公民在北京诞生 若今后能将人口年平均递增率控制在1 经过x年后 我国人口数字为y 亿 1 求y与x的函数关系y f x 2 求函数y f x 的定义域 3 判断函数f x 是增函数还是减函数 并指出在这里函数的增减有什么实际意义 思路分析 递增率问题广泛存在于生产和生活中 研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一 这类问题解决的关键是理解 递增率 的意义 递增率是所研究的对象在 单位时间 内比它在 前单位时间 内的增长率 切记并不总是只和开始单位时间内的值比较 具体分析问题时 应严格计算并写出前3 4个单位时间的具体值 通过观察 归纳出规律后 再推广概括为数学问题后求解 解 1 1999年人口数 13亿 经过1年 2000年人口数 13 13 1 13 1 1 亿 经过2年 2001年人口数 13 1 1 13 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 2 亿 经过3年 2002年人口数 13 1 1 2 13 1 1 2 1 13 1 1 3 亿 经过年数与 1 1 的指数相同 经过x年人口数 13 1 1 x 亿 y f x 13 1 1 x 2 理论上指数函数定义域为r 此问题以年作为单位时间 n 是此函数的定义域 3 y f x 13 1 1 x是指数函数 1 1 1 13 0 y f x 13 1 1 x是增函数 即只要递增率为正数时 随着时间的推移 人口的总数总在增长 温馨提示 在实际问题中 常常遇到有关平均增长率的问题 如果原来产值的基础为n 平均增长率为p 则对于时间x的总产值y 可以用下面的公式y n 1 p x表示 解决平均增长率的问题 要用到这个函数式 温馨提示 由本例归纳到一般有 当a 1且n 0时 在区间 0 上 总存在一个数x0 当x x0时 logax0时 总存在一个数x0 当x x0时 logax ax xn 某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅 现从甲 乙两商场了解到 同一类型餐桌报价每张200元 餐椅报价每把50元 甲商场称 每购买一张餐桌赠送一把餐椅 乙商场规定 所有餐桌椅均按报价的8 5折销售 那么 什么情况下到甲商场购买更优惠 四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于变量x最有可能呈指数型函数变化的变量是 仅有一个变量 解析 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的 从表格可以看出 四个变量y1 y2 y3 y4均是从1开始变化 其中变量y4的增长速度最快 则y4关于x呈指数型函数变化 答案 y4 常用的函数模型有以下几类 1 线性函数模型 也称直线型 线性增长模型 y kx b k 0 线性减少模型 y