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1 3 2空间几何体的体积 第1章立体几何初步 重点难点重点 柱 锥 台 球的体积公式及球的表面积 体积公式及其应用 难点 求体积的割补法 等积转换法等 1 柱体 锥体 台体的体积 2 球的表面积与体积s球 v球 其中r为球的半径 4 r2 想一想1 底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等吗 2 根据柱体 锥体 台体之间的关系 你能发现三者的体积公式之间的关系吗 提示 柱体和锥体可以看作 特殊 的台体 它们之间的关系如下 1 柱体 锥体 台体之间的关系 2 体积公式之间的关系 做一做3 若正方体的对角线长为a 则它的体积为 5 若一圆台的高为3 一个底面的半径是另一底面半径的2倍 母线与底面成45 角 则它的体积为 答案 63 6 若一个球的体积与其表面积在数值上相等 则该球的半径为 答案 3 名师点评 1 几何体的体积是指几何体所占空间的大小 2 求柱体的体积要注意两点 一是底面积 二是柱体的高 解 若圆柱的母线长是6 则有4 2 r r 2 即此时圆柱的底面半径为2 v 22 6 24 2 若圆柱的母线长是4 则有6 2 r r 3 即此时圆柱的底面半径为3 v 32 4 36 2 思路点拨 1 求ve cdf的关键是求出s cdf和点e到平面cdf的距离 由面面垂直的性质作eh ad于点h 则eh的长即为点e到平面cdf的距离 2 求d点到平面efc的距离 由于vd efc ve dcf 可利用等体积转换法来求 名师微博等积转换的关键是转换顶点 名师点评 三棱锥的 等体积性 即计算体积时可以用任意一个面作三棱锥的底面 求体积时 可选择高和底面积容易计算的来算 利用 等体积性 可求点到平面的距离 利用等体积变换法求点到平面的距离 这是求点到平面距离的又一重要方法 尤其是点到平面的垂线不好作时 往往使用此法 变式训练2 如图 已知abcd a1b1c1d1是棱长为a的正方体 e f分别是棱aa1和cc1的中点 求四棱锥a1 ebfd1的体积 名师点评 确定一个球的条件是球心位置和球的半径 已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积 反过来 已知体积或表面积也可以求其半径 变式训练3 如图 水平地面上有一个大球 现用如下方法测量球的大小 用两个锐角分别为60 和30 的直角三角板 斜边紧靠球面 一条直角边紧靠地面 并使三角板与地面垂直 如果测得pa 5cm 求球的表面积 1 若干体积的水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中 量得水面的高度为6cm 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中 求水面的高度 解 法一 将多面体abcdef补成三棱柱bcf adg 再将这个三棱柱补成四棱柱abcd hkfg 如图1 则有 3 如图所示 直角梯形o2bao1内有一个内切半圆o 把这个平面图形绕o1o2旋转一周得到一个含有内切球的圆台 已知圆台表面积与球表面积的比是k k 1 求它们的体积比 方法技巧几何体的体积的求法有以下几种 1 直接法 即直接套用体
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