高考数学 专题辅导与训练 3.2《三角函数的图象与性质》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1三角函数图象的变换 例1 13分 2011 重庆高考 设函数f x sinxcosx cos x cosx x r 1 求f x 的最小正周期 2 若函数y f x 的图象按平移后得到函数y g x 的图象 求y g x 在 0 上的最大值 解题指导 1 先把f x 化成一个函数的形式 再求周期 2 由y g x f x 求出y g x 的解析式 再求最值 规范解答 1 f x 4分故f x 的最小正周期为t 5分 2 依题意得g x f x sin sin 2x 10分当x 0 时 2x g x 为增函数 所以g x 在 0 上的最大值为 13分 三角函数的图象的两种常见的变换方法 1 先平移后伸缩 2 先伸缩后平移由函数y sinx的图象 1 当y af x 中x的系数不是1时 要先变成y af x 平移的量为 2 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 当 1时平移的量是不同的 已知函数f x 2cosxsin x sin2x sinxcosx 2 x r 该函数的图象可由y sinx x r 的图象经过怎样的变换得到 解析 f x 2cosx cosx sin2x sinxcosx 2 2sinxcosx cos2x sin2x 2 sin2x cos2x 2 2sin 2x 2则该函数的图象可由y sinx x r 的图象经过下列变换得到 由y sinx的图象向左平移个单位得到y sin x 的图象 将y sin x 的图象上各点纵坐标不变 横坐标变为原来的得到y sin 2x 的图象 将y sin 2x 的图象上各点横坐标不变 纵坐标变为原来的2倍得到y 2sin 2x 的图象 最后将所得到的图象向上平移2个单位得到y 2sin 2x 2的图象 热点考向2三角函数的图象与性质 例2 14分 2011 浙江高考 已知函数f x asin x r a 0 0 y f x 的部分图象如图所示 p q分别为该图象的最高点和最低点 点p的坐标为 1 a 1 求f x 的最小正周期及的值 2 若点r的坐标为 1 0 prq 求a的值 解题指导 1 由p 1 a 在y asin 的图象上及0 求 2 把a视作点p到x轴的距离 可借助余弦定理求a 规范解答 1 由题意得 t 6 因为p 1 a 在y asin 的图象上 所以sin 1 又因为0 所以 6分 2 设点q的坐标为 x0 a 由题意可知得x0 4 所以q 4 a 8分 连接pq 在 prq中 prq 由余弦定理得 12分解得a2 3 又a 0 所以a 14分 1 五点法 画函数y asin x 的简图常采用 五点法 五个特殊点通常都是取三个平衡点 一个最高点 一个最低点 可把分别取0 2 求出x y 再描点即可 2 由图象求y asin x b的解析式难点在于 的确定 本质为待定系数法 基本方法是 1 寻找特殊点 平衡点 最值点 代入解析式 2 图象变换法 即寻找已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到 通常可由平衡点或最值点确定周期t 进而确定 注意a的符号 的范围 a不一定为函数的最大值 当的范围没有给出时 不唯一 已知函数y asin x a 0 的一段图象如图所示 求函数的解析式 解析 由图得a 2 t 2 y 2sin 2x 又 图象经过点 2 2 2sin k z 又 函数解析式为y 2sin 2x 热点考向3三角函数的性质 例3 13分 2011 北京高考 已知函数f x 4cosxsin x 1 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间 上的最大值和最小值 解题指导 1 把sin x 展开 再把f x 降幂 化成一个函数形式 2 注意三角函数的单调性 角的范围 规范解答 1 因为f x 4cosxsin x 1 4cosx cosx 1 sin2x 2cos2x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 4分所以f x 的最小正周期为 5分 2 因为 所以当2x 即x 时 f x 取得最大值2 10分当2x 即x 时 f x 取得最小值 1 13分 互动探究 题目条件不变 结论变为 1 求函数f x 图象的对称轴 2 求函数f x 的单调递增区间 该如何求解 解析 由例3可知f x 2sin 2x 1 由2x k k z 得 f x 的图象的对称轴为 x k z 2 由 2k k z 得 k x k k z 所以f x 的单调递增区间为 k k k z 1 求三角函数的值域 最值的常用方法 1 化为求代数函数的值域 最值 2 化为求y asin x b的值域 最值 3 化为关于sinx 或cosx 的二次函数式再求值域 最值 2 函数y asin x a 0 0 的单调区间的确定 基本思路是把 x 看作一个整体 运用复合函数的单调性求解 3 对称性问题要利用y sinx的对称轴为x k k z 对称中心为 k 0 k z 等基本结论解决问题 同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标的特征 1 在解决有关三角函数的性质的问题时 一般是先利用三角函数的诱导公式 两角和与差的三角函数公式及二倍角公式进行化简 使之成为一个角的一个三角函数的形式 即y af x 的形式 然后再研究函数的周期性 单调性 最值等性质 2 求单调区间时要注意 的符号 已知函数f x 1 tanx 1 sin 2x 求 1 函数f x 的定义域和值域 2 写出函数f x 的最小正周期和单调递增区间 解析 f x 1 2sinxcosx 2cos2x 2 cosx sinx cosx sinx 2 cos2x sin2x 2cos2x 1 函数f x 的定义域为 x x r x k k z 2x 2k k z 2cos2x 2 函数f x 的值域为 2 2 2 f x 的最小正周期为 令2k 2x 2k k z 得k x k k z 函数f x 的单调递增区间是 k k k z 热点考向4三角函数与其他知识的综合应用 例4 12分 2011 福建高考 设函数f sin cos 其中 角 的顶点与坐标原点重合 始边与x轴非负半轴重合 终边经过点p x y 且0 1 若点p的坐标为 求f 的值 2 若点p x y 为平面区域 上的一个动点 试确定角 的取值范围 并求函数f 的最小值和最大值 解题指导 1 利用三角函数的定义可求sin cos 的值 2 画出平面区域 即可得出 的范围 规范解答 1 由点p的坐标和三角函数的定义可得于是f 2 4分 2 作出平面区域 即三角形区域abc 如图所示 其中a 1 0 b 1 1 c 0 1 于是0 又f sin cos 2sin 8分且故当 即 时 f 取得最大值 且最大值等于2 当 即 0时 f 取得最小值 且最小值等于1 12分 1 三角函数与平面向量结合该问题是近几年高考命题的热点 主要从以下两个方面进行考查 1 利用平面向量的概念 公式 法则 运算律 通过向量的运算 将向量条件转化为三角条件 然后通过三角变换解决三角函数的问题 2 从三角函数与平面向量的关联点 角和距离 处设置问题 把三角函数中的角问题与向量中的夹角问题结合考查 2 关于三角函数与其他知识交汇的命题的解题策略首先要明确题目要考查的知识 正确地运用所涉及的知识点进行解决 知识的交汇处命题一般考查的较为简单 都是各自领域中的典型知识 所以正确应用知识是前提 其次 要考虑知识交汇处的衔接 例如角的范围问题等 需要符合两方面知识特点 最后结论应符合要求 已知等比数列 an 的公比q 3 前3项和s3 1 求数列 an 的通项公式 2 若函数f x asin 2x a 0 0 在x 处取得最大值 且最大值为a3 求函数f x 的解析式 解析 1 由q 3 s3 得解得a1 所以an 3n 1 3n 2 2 由 1 可知an 3n 2 所以a3 3 因为函数f x 的最大值为3 所以a 3 因为当x 时f x 取得最大值 所以sin 2 1 k z 又0 故所以函数f x 的解析式为f x 3sin 2x 利用数形结合思想 解决三角函数零点的个数问题1 数形结合 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 2 利用数形结合思想解决三角函数零点的个数问题的步骤 1 对函数解析式进行变形 把y f x 变为y f x g x 的形式 其中f x g x 都是基本初等函数 且其图象容易画出 2 在同一坐标系下画出函数y f x y g x 的图象 3 观察y f x y g x 的图象的交点个数即可 3 利用数形结合思想解决三角函数零点的个数问题时应注意的问题 1 熟练掌握三角函数的图象与性质 以及利用三角变换作图的方法 准确作出图象 2 对于较复杂的函数 要先化简 再作图 典例 函数f x cosx在