一元函数积分学(智轩考研数学╲〞红宝书╲〞高等数学)

2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学第三章 一元函数积分学2008考试内容 (本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿莱布尼茨（Newton Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用2008考试要求1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分法。3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。第一节 一元函数积分学之一（原函数）一、 原函数的概念及其等价描述1 概念：设有函数和可导函数，如果对区间上的任何一点，都有，则称为在区间上的一个原函数。构成的全体原函数，叫做的不定积分，记为： 或 。2 原函数的性质： 存在，且原函数一定是连续函数； 验证是否为的原函数，分两步 第一步：在区间上是否连续； 第二步：验证是否成立。 当连续时，则一定有原函数，且，因为。 当连续时，则一定有原函数，且可以写成；当不连续时，却不一定是的原函数，但在区间内必连续。 连续奇函数的原函数为偶函数；连续偶函数的原函数为奇函数与常数之和。 当存在第一类间断点时，则一定没有原函数，证明如下：设是的第一类间断点，且在上有原函数，则 由于第一类间断点单侧极限存在，则推出 所以，当存在第一类间断点时，则一定没有原函数。 当存在第二类间断点时，则可能有也可能没有原函数。参见本章相关例题。二、 原函数的应用 题型1 与原函数相关的题法【例 1】设为的原函数，求。 解：【例 2】下列命题不正确的是解：选。，正确；，正确；在内不连续，但它存在原函数；根据原函数的定义有：。显然正确。【例 3】设是在区间上的原函数，则 解：由于，故，但未必有界，例如：在上的原函数是，而在上就无界。故选 【例 4】设, 在区间连续，则在上 解：只有奇函数的原函数才一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是，显然和都是偶函数，故不正确，而的一个原函数为 ，而故为奇函数，所以正确。【例 5】设是在区间的一个原函数，则在在上 解：，故必连续，必存在原函数，故正确。【例 6】，则的原函数是：解：中在点不连续，故都不是的原函数，不满足，故也不是的原函数，因此正确。【例 7】，则： 解：选。 不正确，理由在的分析中。 对本题我们有：显然，是连续的。但是：故不正确。 正确。【例 8】。则在内下列正确的是：解：可以验证为的第二类间断点，因为： ，故为的第二类振荡间断点，可能存在原函数。又： 第二节 一元函数积分学之二（不定积分与变限积分）一、三基及其拓展1基本定义与概念 1）不定积分定义：对任一，可导函数的导函数为，即；那么称为的原函数。全体原函数的集合称为上的不定积分，记为：。连续函数一定存在原函数和具有有限个第二类间断点的非连续函数可能存在原函数，具有第一类间断点的非连续函数不可能存在原函数。2）变限积分定义：在原函数存在的条件下，由不定积分定义衍生而来。 由于是某一个具体函数，由莱布尼茨公式得： 可见：变限积分可以视为不定积分的某一个原函数。 变限积分的求导方法： 3）重要结论：离散点不构成区间，但可以构成函数的定义域；如，它的定义域就是离散点，没有定义区间，故没有原函数 （注意：对于一范围，如果是区间，则成立，不成立；如果是定义域，则都成立。一切初等函数在它的定义区间必连续，故必有原函数；但在其定义域内就不一定，因为定义域不一定包含区间）。 属于反常积分范畴，一般不定积分或定积分的结论不适合反常积分，因为4个一维积分：不定积分、变限积分、定积分和反常积分是四种类型的积分，不可视为同一积分的不同特殊情形。通常我们约定原函数的存在要认为是二者定义域的公共部分；如，公共部分为，的公共部分为初等函数的原函数不一定为初等函数，如初等函数的原函数不是初等函数；原函数不唯一，它们是只差一个常数的函数族，如：；为连续的奇函数为偶函数； 为连续的偶函数为基函数。 但不能说为连续的偶函数，则为奇函数，因为，存在常数； 为连续的周期函数为周期函数的充要条件是；。2必须记住的18个基本积分公式 评注 带不定参数的积分要考虑各参数的取值情况，分别讨论，如：陈氏积分公式： 证明如下：二、积分技巧与方法评 注 积分计算四大总纲领： 利用上述18个积分公式及其逆向思想，把被积函数整体或其部分凑全微分； 分部积分； 换元（三角换元、倒换元、指数换元、根式换元和特殊换元见【例27】）。 积分技巧的本质：积分困难主要是由于被积函数存在分母和根号，如何完全或部分去掉这两个东西就是我们开发求解积分技巧的源泉，详见【例9】分析，其余例题类推。 题型2 利用加减乘除函数及原函数凑微分【例9】 设，求。解：令 ，则，于是 评 注 此题解到的后续计算是关键，按照积分总纲领，去掉分母还可以写成：往下计算十分困难，不可取。按照积分总纲领也可以去掉根号，即令，从而：但计算过程繁琐得多。所以，快速寻找到最佳解法就需要读者多做练习多思考总结。【例10】 解： 【例11】 解一：解二：读者可以验证，两种结果只差一个常数。【例12】 解：【例13】 解： 【例14】 解：【例15】 解：注意到：【例16】 【例17】 【例18】求。解：由有：【例19】设连续，且，求。 解：令 题型3 回归题法【例20】求 解：【例21】设连续，且，求。 解：易知： 【例22】设，求解：设，两边同时取积分得 题型4 待定函数题法【例23】求 解：设，两边求导得： 上式很容易看出，是它的一个特解，根据定积分的定义，故 题型5 相关积分题法 【例24】求 解： 题型6 换元题法（注意：凑微分和换元法是计算积分的两大核心而普遍的技术） 6.1 三角换元 三角换元 _ 去根式 三角换元_万能公式 注意：三角万能代换只有在没有其他简单方法可用时才使用，实际上三角万能代换后计算量很大。 如，如用三角替换反而繁琐。三角换元_和差化积或积化和差 三角换元_倍角公式 评 注：不管引用何种三角替换，其本质是去掉根号和化简，从这个意义上读者根据具体题型要广义使用。【例25】 解：三角换元法：【例26】解：三角换元法：令 6.2 倒换元 【例27】 【例28】解：令6.3 指数或根式换元，如： 【例29】 求 【例30】求 解：令 ，才可以同时去掉两个根式。 【例31】求 解：设评 注 真分式的“极点展开法”与待定系数求法公式 单根情形 重根情形 【例32】求 解：设 【例33】求 解：设 6.4 特殊换元 曲线换元【例34】 解：曲线换元法：令 欧拉换元 （读者学会方法，不必研究例题）【例35】解：，设 又如 对 对 题型7 多级分部积分题法 多项式的各阶导数 0 其他函数的各级积分 陈氏口诀 代换变形多项式；逐次微分直到零；其余积分零对齐；交叉相乘正负和。【例36】 表格： 读者参照陈氏第4技同步练习： 【例37】 表格： 题型8 递推与倒推题法【例38】 递推式一般首先采用分部积分法， 解： 可作为公式用。【例39】 解： 【例40】 解： 同步练习： 【例41】解： 题型9 有理函数的积分题法有理函数的积分可化为整式和如下四种类型积分 ，再用【例38】方法 评 注 上述公式不必记忆，但方法的本质是想办法消除分母的一次项，再用【例38】的结论。具体问题的求解是这一思想出发的。 题型10 抽象函数和分段函数的不定积分题法【例42】 已知；求 解： 【例43】求 解：此类题的定式做法是：关键是画图得出分段区间，化成分段函数后，再积分。 由于分段函数的连续性知： 评 注 对于含有绝对值的函数积分，一般见于定积分题型中，方法是：先令绝对值的项等于零，画图再确定能去掉绝对值的区间，然后分区段积分，详见定积分部分例题。但也可作不定积分，方法是：利用符号函数（常数函数，可提出积分号外）。 如 【例44】解：【例45】解：【例46】设满足 ，且当，求的表达式。 解： 【例47】设在上可导，其反函数为，若， 求。解：令【例48】解：下面考虑综上：=+最后一个不定积分是积不出来的。但相应的定积分可以求得，比如计算：I=。解：利用I=（x=2t）=（）=+2I故：I=评 注 本题提醒读者不要进入“定积分结果是不定积分结果中取两端点值之差”这一误区。第三节 一元函数积分学之三（定积分与反常积分）一、定积分“三基”内容及其拓展1 定义：“脑中有模型，结构心理存，两个关键点，定义得分明。”两个关键点：定积分是结构性的，它是积分和式的极限，而且该极限的结果与区间的分法与各子区间中点的取法无关。模型是： 积分图；结构是： 极限形式；具体来说：1）定对象：有限区间的有界函数； 2）分区间：将分为个子区间，其中规定：，子区间与分法无关，内共有个点， 中间插入个点，其中等分区间只是其中的一种分法； 3）作乘积：在内任意取一点，与取法无关，作乘积，其中：； 对等分情况： 4）求和式：； 5）取极限：； 6）作结论：极限存在，且与区间分法和子区间内点的取法无关时，才是在闭区间上的定积分。定积分的定义的数学形式：（ 实际使用中比较常见 ） 重点应用公式： 下列重要结论成立：如： 2) 3) 2重要结论： 积分7个常用比较定理： 上连续，恒正或恒负或；且 上连续，任意子区间 上连续，且不恒为零， 上连续，；且 积分保序定理：上连续，则 柯西不等式： 积分估值定理： 积分中值定理（平均值公式）： 函数在上的均方根公式： 函数在对称区间的积分特点： ； 评 注 ，因为该积分为广义积分，与定积分定义不符。 周期函数的积分特性：下列周期函数的积分性质，只要被积函数是某一周期函数即可，不一定要求是最小正周期。 平移性质 周期性质 例如的应用： 积分高级技巧： 如求 及等题型。 。 用面积法解释的积分方法。常用奇函数 ， 常用偶函数 如果关于轴对称，那么： ； 关于轴对称, 对多元函数积分有类似结论。华里士公式： 形象记忆掌握法：奇奇1；偶偶半。 意思是：当n为奇数时，分母每项也为奇数，分子相应递减，且结论最后一项为1； 当n为偶数时，分母每项也为偶数，分子相应递减，且结论最后一项为（半）。如： 如积分区域不是，常用的转换公式有： 具有特殊功能的定积分四大区间变换 评 注 区间变换广泛用于积分的合并与拆分，也是处理含参积分问题和大部分积分证明题 的主要手段。二、反常积分的判敛和计算方法2.1 反常积分的几何意义 反常积分存在时的几何意义：函数与轴所围面积存在有限值时，函数在一点的值发散，不会导致面积的发散。例如 的几何意义是：位于曲线 之下，轴之上，直线与之间的图形面积，而点的值虽使发散，但面积可求。2.2 反常积分的两种类型 无穷区间的反常积分 无界函数的反常积分，又称瑕积分（每个被积函数只能有一个瑕点） 其中：评 注 如果反常积分为上述两类的混合型，则拆分几分区间，使原几分为无穷区间和无界函 数两类反常积分之和，参见【例55】。2.3 数学AB或甲乙常考的特殊反常积分（读者根据各自需要选学） 概率积分 函数 性质1 函数在上连续； 性质2 ；性质3 函数 的任意实数 递推公式： 性 质2 与函数的关系 评 注 计算积分解：令 准概率积分 玻色积分 评 注 试证明： 证 明：2.4 常用反常积分的敛散判断结论反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或去穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限 而言：当，为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数 而言：，并且无穷大的阶次不能高于尺度，才能保证收敛；这个尺度常常取1。以下是简化模型的收敛四种实用判断，请务必在理解的基础上记住。陈氏第5技 反常积分敛散性判定的模型和基准 比阶法：设在上可积，在不变号，且 有相同的敛散性 收敛收敛 发散发散陈氏形象记忆法 大收小收；小发大发，同价同敛散。为基准反常积分函数，常常用作基准收敛的反常积分主要有3个： ，常常用作基准发散的反常积分也有3个 评 注 应用例子： ，由于等效的，故原反常积分发散。 ，由于，根据“大收 小收”的原则，故原反常积分发散收敛。 ，使用比阶法：。根据“同价同敛散”的原则，故原反常积分收敛。 如果反常积分收敛，求的范围。 属于混合反常积分 是无界函数的反常积分，只有当，收敛（由于，故此时），是无穷区间的反常积分，只有当，收敛，由于，而此）不影响收敛，综合上诉得：， 。三、定积分的计算方法与技巧 1、利用不定积分公式和重要结论【例49】 解：，为奇函数， ，为偶函数， 根据对称区间定积分的特点，所以=0【例50】 解： 评 注 一般隐含边界为绝对值时，令绝对值内的函数为零，解出分界点，再分段积分。但对象本题的三角函数积分类，由于在积分区间内分界点超过了2个，不宜使用该法，而利用周期函数积分公式。但如果本题积分区间改为，则就可以利用分段积分法了，即。 【例51】 I （） 解：利用 【例52】 解: 利用： 【例53】设，的一个原函数为，求 。解：【例54】连续，（1）求证： （2）求解：（1）令 又因为：（2） 【例55】 解：令 【例56】 解：令 【例57】求的极值。 解：先分段求极值， 再讨论分段点处的连续性。 又当 在处 处连续；但导数不存在，但当很小时，故在处取得极大值1。【例58】设在上可导，求的极值点。 解： 故：是的极小值点。【例59】计算积分 解： 评 注 定积分的计算主要方法还是换元、凑微分和分步积分，目的也是“两去”，即去根号和去分母；基础手段是对称区间公式、周期函数积分公式和代数面积几何法。2、几何法 【例52】 利用几何法计算下列积分： 解： 等于边长长1 的三角形面积。 等于边长为的三角形和就、张角等于的弧形面积之和。 等于椭圆的面积。 评 注 读者可以利用公式验证上述结论；这类题型只有在积分区域为圆或圆上的一部分或椭圆上规范区域（一般由上下限决定）才能够使用几何法。【例60】设在上连续且递减，证明：证明：使用区间变换。 【例61】求解： 设以这种方式趋于正无穷大： 【例62】 解： 【例63】 解： 【例64】求 解： 混合反常积分问题的题型【例65】 讨论积分的值：解：首先需要判敛。由于 。，但在积分区间只有是被积函数的瑕点。故 【例66】试证明：。证明：先判敛：选基准。根据“大收小收” 的原则，原反常积分收敛。 要证明原不等式，右边很简单，因为在区间内，由积分保序性知。左边只要在区间内求出的最小值即可。 【例67】设，证明：曲线在区间上与轴围成的区域右面积存在，并求之。解：依题意是求，由于是无穷区间的反常积分，选基准收敛函数 ，根据“大收小收”的原则，故收敛，面积存在。则 【例68】求解：令，利用画数轴的方法容易得出各积分子区间。 【例69】求 解：令，故而不能取其他区间的值。 评 注 对于含参积分问题，必须优先明确参数的取值范围，写出分段函数形式。第四节 定积分的应用 元素法总则：在微分元范围内，任何曲线和直线等价，任何物理变量可以用常量代换。 一、5大几何应用陈氏第6技 上下原函横面积，左右反函横周长；两轴轮换形除外，平移双函识减符。1.1 平面图形的面积应用 称为左右曲不相交图形，称为上下曲相交图形 评 注 既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。1.2 平面曲线的弧长 1.3 旋转体积 评 注 对左右曲图形 。如果旋转轴为平行于或的直线，比如上下曲绕，如在两曲线的上方，则旋转的体积，则计算如下（其余类推）： 设为离旋转轴的近曲线，为离旋转轴的远曲线，则体积元及体积为： 形象记忆法：上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但你仔细观察一下有规律： 上下曲绕及其平行轴和上下曲绕及其平行轴利用圆面积，其余情形用圆的周长。而且上下曲，定积分方向为，左右曲为，这是定积分要求的；和在形式上满足“导数”关系；还有个特征就是，是交替出现的，如中，而中。1.4 旋转体的侧面积（对于上下曲图形） 形象记忆法：，交替出现。1.5 形心（重点） 质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心是重合的。 曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面和图形和空间图形的形心问题，请对照。） 静力矩定义： 形心坐标 评 注 对质心只要在每项积分中加入线密度为即可，当常数，即几何体均匀时， 质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。上述形心坐标与旋转体的侧面积联系起来，便得到： 古尔金第一定理： 面密度为的均匀平面薄板的形心（上下曲型） 评 注 对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。上述形心坐标与旋转体的体积联系起来，便得到： 古尔金第二定理： 二、4大物理应用（物理应用几何应用+物理定理）2.1 压力或浮力问题（以球形物体受到的水压为例）2.2 引力（万有引力或电场力）问题 例如在轴上有一根长为，均匀质量密度为的木棒，中心放在原点，在轴上处有一个单位质点，则万有引力计算如下： 又如在轴上有一根长为，均匀电荷密度为的木棒，中心放在原点，在轴上处有一个单位电荷，则电场力计算如下： 2.3 做功问题 2.4 质心问题【例70】 与轴所围部分的面积为 解：本题为求几何面积，与轴的交点为，而 故正确。【例71】求曲线与所围图形的较小部分的面积。解：两曲线的交点为，为上下曲，则 【例72】设平面曲线，过点的平面曲线是单调增加函数，过上任一点分别作垂直于和轴的直线和，记，与所围成的面积为，记，与所围成的面积为，求的方程。解：先画出草图。显然三曲线交点为，在最上面，在最下面。为上下曲，为左右曲， 【例73】求的的部分与轴所围平面图形的面积。 解：设所求面积为 【例74】求半径为圆的渐伸线内的弧长。 解：圆的渐伸线方程为： 【例75】 求曲线及所围成的图形绕直线旋转一周的体积。 解： 【例76】 由与确定的区域记为，求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。解： 【例77】过原点作平面曲线的切线，求该曲线和切线与轴围成的图形绕旋转一周的旋转体的表面积。解：设切点为，则切线方程为： ， 又 在切线上，则得切线方程为：。由曲线绕旋转一周的旋转体的表面积应等于绕即轴旋转一周的旋转体的表面积： 由直线线绕旋转一周的旋转体的表面积应等于绕即轴旋转一周的旋转体的表面积： 因此：旋转体的表面积 。【例78】由和所围成的平面图形，绕旋转一周的表面积。解： 【例79】设在上连续非负，在内，设为区域的形心，求证：。证明： ，要证，等价于要证明： （注意：区域的形心公式相当于平面薄板与曲线的形心公式的不同） 构造辅助函数： 同步练习 设在上连续非负，设为区域的形心，求证：。证明：，要证，等价于要证明： 构造辅助函数：【例80】假设区域由曲线及其过点的切线与轴围成，其形心为。（1） 求的值；（2） 求的值，使绕轴一周而生成的旋转体体积为解：（1） （2） 可见灵活运用古尔金定理，可以大大简化计算，顺便说一句，读者放心使用古尔金定理，不要担心国家阅卷组的认可。【例81】已知圆, 其中, 求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.解： 设所求的体积为 方法一：转换法 =表面积:绕轴旋转所得旋转体的表面积为 绕y轴旋转相当于绕x轴旋转. （这是一个重要技巧）该曲线应分成上下二枝（上下曲型）: 所以旋转体的表面积 方法二：直接积分法第三章 一元函数积分学模拟题一、填空题1、已知，则 2、已知，则 3、已知的一个原函数为，则 4、已知，且，则= 5、 6、 7、设=，则= 8、设有一个原函数，则 9、= 10、 11、设=则 12、设连续且，则 13、 14、 15、设，则常数 16、 17、 18、由曲线与两直线及所围成的平面图形的面积是 19、曲线与直线所围成的平面图形的面积是 二、选择题1、若的导函数是，则有一个原函数为（A）1+sinx （B）1-sinx （C）1+cosx （D）1-cosx 2、在下列等式中，正确的结果是（A） （B）（C） （D） 3、设函数与在0，1上连续，且，且对任何，（A） （B）（C） （D） 4、设=，其中=则在区间内（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续 5、设，其中为连续函数。则等于（A） （B） （C）0 （D）不存在 6、设是连续函数，且，则等于（A） （B）（C） （D） 7、设函数在区间上连续，且，则方程在开区间内的根有（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 8、设= ，则（A）在点连续 （B）在 内连续，但在点不可导 （C）在 内可导，且满足 （D）在 内可导，但不一定满足 9、下列广义积分中收敛的是（A） （B） （C） （D） 10、下列广义积分中发散的是（A） （B） （C） （D） 11、下列结论中正确的是（A） 与都收敛 （B） 与都发散 （C）发散 收敛 （D）收敛发散 12、双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（A） （B） （C） （D） 三、解答题1、求 2、求 3、求不定积分4、求不定积分 5、求不定积分I= 6、计算I= 7、已知是函数的一个原函数，求8、求不定积分9、设为的原函数，且当时，=，已知，试求。10、设，求。 11、求12、求 13、求定积分14、设求15、如图1413所示，曲线C的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4），设函数具有三阶连续导数，计算定积分16、求函数在区间上的最大值。17、求极限。18、设函数可导，且，求。19、已知连续，求。20、设函数在内连续，且对所有，满足条件， 求。21、求极限。22、已知，求常数的值。23、计算。 24、计算I=25、设函数在区间上连续，且在内有，证明：在内存在唯一的，使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的3倍。26、过曲线上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围平面图形面积为，试求：（1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程； （3）由上述所围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。27、假设曲线：与x轴，y轴所围成区域被曲线：分成面积相等的两部分，其中是大于零的常数，试确定的值。28、设曲线方程为。（1）把曲线，x轴，y轴和直线所围成平面图形绕x轴旋转一周，