高中数学《2.1.1合情推理》课件2 新人教A版选修12.ppt

2 1合情推理与演绎推理2 1 1合情推理 学习目标1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 知能优化训练 课前自主学案 2 1 1合情推理 课堂互动讲练 课前自主学案 2n 1 10n 1 1 归纳推理由某类事物的 具有的某些特征 推出该类事物的 都具有这些特征的推理 或者由 事实概括出 的推理 称为 简称归纳 简言之 归纳推理是由 由 的推理 部分对象 全部对象 个别 一般结论 归纳推理 部分到整体 个别到一般 2 类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称 简言之 类比推理是由 的推理 3 合情推理归纳推理和类比推理都是根据 事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行 然后提出 的推理 我们把它们称为合情推理 通俗地说 合情推理是指 的推理 类比 特殊到特殊 已有的 归纳 类比 猜想 合乎情理 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围 其前提和结论之间的联系不是必然性的 而是或然性的 结论不一定正确 类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征 推测正在被研究中的事物的特征 所以类比推理的结果具有猜测性 不一定可靠 课堂互动讲练 根据数列前几项的特征 归纳出其通项公式或求和公式 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 n 1 2 3 1 求a2 a3 a4 a5 2 归纳猜想通项公式an 解 1 当n 1时 知a1 1 由an 1 2an 1得a2 3 a3 7 a4 15 a5 31 2 由a1 1 21 1 a2 3 22 1 a3 7 23 1 a4 15 24 1 a5 31 25 1 可归纳猜想出an 2n 1 n n 思维总结 猜想通项公式时 首先从整体形式上分析 整数型 分数型 根式型等 再利用两相邻项之间相减 相除 加减某常数 平方等运算寻找规律 根据特殊几何图形的位置关系或者度量关系 归纳出所有图形的这种关系 如图所示 在圆内画一条线段 将圆分成两部分 画两条线段 彼此最多分割成4条线段 将圆最多分割成4部分 画三条线段 彼此最多分割成9条线段 将圆最多分割成7部分 画四条线段 彼此最多分割成16条线段 将圆最多分割成11部分 1 在圆内画5条线段 彼此最多分割成多少条线段 将圆最多分割成多少部分 2 猜想 在圆内画n n 2 条线段 彼此最多分割成多少条线段 将圆最多分割成多少部分 思路点拨 每增加一条线段 与前面的每条线段最多产生1个交点 而新增加的第n条线段最多与前面的n 1条线段产生n 1个交点 则这n 1个点把第n条线段分为n段 每段把所在区域一分为二 共增加了n块区域且这n 1个点把这些点所在的线段一分为二 又增加了n 1条线段 这样就有 区域增加了n块 线段增加了n n 1 2n 1条 解 设在圆内画n条线段 彼此最多分割成的线段为f n 条 将圆最多分割成g n 部分 1 当n 5时 f 5 f 4 4 5 16 4 5 25 g 5 g 4 5 11 5 16 2 猜想 在圆内画n n 2 条线段 彼此最多分割成f n n2条线段 g 1 2 g 2 g 1 2 g 3 g 2 3 g 4 g 3 4 思维总结 此题中 每增加一条直线 比原来增加几个交点 增加几部分 这种递推关系是解题的关键 变式训练2在平面内观察 凸四边形有2条对角线 凸五边形有5条对角线 凸六边形有9条对角线 由此猜想凸n n 4且n n 边形有几条对角线 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论 如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 解 如图所示 在四面体p abc中 设s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 我们猜想射影定理类比推理到三维空间 其表现形式应为 s s1 cos s2 cos s3 cos 思维总结 四面体 三棱锥 很多性质都可以由三角形的性质类比得出 方法技巧1 归纳推理具有从特殊到一般 由具体到抽象的认知功能 在数列问题中 常用归纳推理猜测求解数列的通项公式 其具体步骤是 1 通过条件求得数列中的前几项 2 观察数列的前几项寻求项的规律 猜测数列的通项公式并加以证明 2 在几何图形中 随着点 线 面等几何元素的变化 探究相应的线段 区域交点的变化情况常用归纳推理的方法解决 分析时要注意规律的寻找 3 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方