高一数学(人教新课标A版)指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固.doc

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固撰稿：刘杨 审稿：严春梅 责编：丁会敏一、知识框图二、目标认知学习目标1.指数函数(1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景；(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点；(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2.对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅 读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函 数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数 的单调性与特殊点；3.反函数知道指数函数与对数函数互为反函数(a0，a1).4.幂函数(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数的图象，了解它们的变化情况.重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质.三、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数， 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中).4.对数的运算性质如果，那么加法：减法：数乘：换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图 象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过 点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若 ，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若 ，其图象在直线下方.四、规律方法指导思维总结1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.指数函数、对数函数、幂函数综合练习 撰稿：江用科审稿：严春梅责编：丁会敏综合练习基础达标一、选择题1下列函数与有相同图象的一个函数是( )A BC D2下列函数中是奇函数的有几个( ) A1 B2 C3 D43函数与的图象关于下列那种图形对称( )A轴 B轴 C直线 D原点中心对称4已知，则值为( )A B C D. 5（2011江西文3）若，则的定义域为( )A B C D 6三个数的大小关系为( )A. B. CD. 7若，则的表达式为( )A B C D二、填空题8从小到大的排列顺序是_.9化简的值等于_.10计算：=_.11已知，则的值是_.12方程的解是_.13函数的定义域是_；值域是_.14判断函数的奇偶性_.三、解答题15已知求的值.16计算的值.17已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.18.(1)求函数的定义域； (2)求函数的值域.综合训练一、选择题1若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )A B C D2若函数的图象过两点和，则( )A BC D3已知，那么等于( )A B8 C18 D4函数( )A是偶函数，在区间上单调递增B是偶函数，在区间上单调递减C是奇函数，在区间上单调递增D是奇函数，在区间上单调递减5（2011 辽宁理9）设函数f(x)则满足的的取值范围是（ ）A B C D 6函数在上递减，那么在上( )A递增且无最大值 B递减且无最小值C递增且有最大值 D递减且有最小值二、填空题7若是奇函数，则实数=_.8函数的值域是_.9已知则用表示_.10设, ,且，则_；_.11计算：_.12函数的值域是_.三、解答题13比较下列各组数值的大小：(1)和；(2)和；(3).14解方程：(1)； (2).15已知当其值域为时，求的取值范围.16已知函数，求的定义域和值域.能力提升一、选择题1函数上的最大值和最小值之和为，则的值为( )A B C2 D42已知在上是的减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D. 3对于，给出下列四个不等式 其中成立的是( )A与 B与 C与 D与4设函数，则的值为( )A1 B-1 C10 D5定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果 ，那么( )A， B，C，D， 6若,则( )A BC D二、填空题7若函数的定义域为，则的范围为_.8若函数的值域为，则的范围为_.9函数的定义域是_；值域是_.10若函数是奇函数，则为_.11求值：_.三、解答题12解方程：(1)(2)13求函数在上的值域.14已知，,试比较与的大小.15已知，判断的奇偶性； 证明答案与解析基础达标一、选择题 1.D ，对应法则不同；.2.D 对于，为奇函数；对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；对于，为奇函数.3.D 由得，即关于原点对称.4.B .5.C .6.D 当范围一致时，；当范围不一致时，注意比较的方法，先和比较，再和比较.7.D 由得.二、填空题8 ， 而.9.16 .10.-2 原式.11.0 ，.12.-1 .13. ；.14.奇函数 三、解答题15解：.16解：原式17解：且，且，即定义域为；为奇函数；在上为减函数.18解：(1)，即定义域为；(2)令，则， 即值域为.综合训练一、选择题1.A .2.A 且.3.D 令.4.B 令，即为偶函数；令时，是的减函数，即在区间上单调递减.5.D 不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D.6.A 令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值.二、填空题7. .(另法)：，由得，即.8. 而.9. .10.-1，-1 又，.11. .12. ，.三、解答题13解：(1)，；(2)，；(3) 14解：(1) ；(2) 15解：由已知得即得即，或，或.16解：，即定义域为；，即值域为.能力提升一、选择题 1.B 当时与矛盾； 当时.2.B 令是的递减区间，而须恒成立，即，.3.D 由得和都是对的.4.A .5.C .6.C .二、填空题7. 恒成立，则，得.8. 须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即.9. ；10.2 .11.19 .三、解答题12解：(1) ，得或，经检验为所求；(2) ，经检验为所求.13解：而，则当时，；当时，值域为.14解：，当，即或时，；当，即时，；当，即时，.15解：(1) ，为偶函数；(2)，当，则，即； 当，则，即，.高考题萃1.(北京文、理)函数的反函数的定义域为( )A. B. C. D.2.(全国2理)以下四个数中的最大者是( )A.(ln2)2 B.ln(ln2) C.ln D.ln23.（2011湖北理 2） 已知，则A B C D4.(江苏)设是奇函数，则使的的取值范围是( )A. B. C. D.5.(天津理)设均为正数，且则( )A. B. C. D.6.（2011北京文3） 如果，那么A. B. C. D.7.(山东理)设a1，1，3，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为( )A.1，3 B.1，1 C.1，3 D.1，1，38.(江苏)设函数定义在实数集上，它的图象关于直线=1对称，且当时，=，则有( )A. B.C. D. 9.(湖南文、理)函数的图象和函数的图象的交点个数是( )A.4 B.3 C.2 D.110.(四川文、理)函数=与=在同一直角坐标系下的图象大致是( )11.(全国文、理)设，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，则 =( )A. B.2 C.2 D.412.(山东临沂模拟理)若，且，则与之间的大小关系是( )A. B. C. D.无法确定13.(全国1文、理)函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 _.14.(上海理)函数的定义域为_.15.(江西理)设函数，则其反函数的定义域为_.16.(上海理)方程的解是_.17.(四川理)若函数(是自然对数的底数)的最大值是，且是偶函数，则 _.18.(江苏南通模拟)设(且)，若(, )，则的值等于_.19.(江苏常州模拟)将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单 位得到图象C2，则C2的解析式为_.20.(江苏无锡模拟)给出下列四个命题： 函数(且)与函数(且)的定义域相同； 函数和的值域相同； 函数与都是奇函数； 函数与在区间上都是增函数. 其中正确命题的序号是：_.(把你认为正确的命题序号都填上)21.(江苏连云港模拟)直线()与函数、的图像依 次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是_.22.(海南大联考模拟文、理)已知lgx+lgy=2lg(x2y)，求的值.23.(宁夏大联考模拟理)根据函数的图象判断：当实数为何值时，方程无解？有一解？有两解？24.(山东淄博模拟理)已知是方程xlgx=2008的根，是方程x10x=2008的根，求的值.25.(江苏苏州模拟)已知.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性；(3)求使的的取值范围.26.(广东广州模拟理)已知函数().(1)求的定义域、值域；(2)判断的单调性；(3)解不等式.答案与解析1.B 解析：函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为.考点透析：根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题.2.D 解析： ，ln(ln2)0，(ln2)2ln2，而ln=ln2ln2，最大的数是ln2.考点透析：根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值(0，1等一些特殊值)结合对数函数的特殊值来加以判断.3.A 解析：. ，；又，=故选A。考点透析：从对数函数与幂函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出要求的集合.4.A 解析：由，得，.考点透析：根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件.5.A 解析：由可知，由可知，由可知，从而.考点透析：根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一.关键是掌握对应函数的基本性质及其应用.6. D 解析：因为 ，所以。又函数在定义域内是单调递减的，所以，故选D。7.A 解析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项.考点透析：根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断.熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质.8.B 解析：当时，=，其图象是函数向下平移一个单位而得到的，时图象部分，如图所示，又函数的图象关于直线=1对称，那么函数的图象如下图中的实线部分，即函数在区间上是单调减少函数，又=，而，则有，即.考点透析：利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系.9.B 解析：函数的图象和函数的图象如下：根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点.考点透析：作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断.指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线对称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂.10.C 解析：函数=的图象是由函数的图象向上平移1个单位而得来的；又由于=，则函数=的图象是由函数的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C.考点透析：根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断.11.D 解析：由于，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，那么=，即=，解得，即=4.考点透析：根据对数函数的单调性，函数=在区间的端点上取得最值，由知函数在对应的区间上为增函数.12.A 解析：通过整体性思想，设，我们知道当时，函数与函数在区间上都是减函数，那么函数在区间上也是减函数，那么问题就转化为，由于函数在区间上也是减函数，那么就有.考点透析：这个不等式两边都由底数为的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手.通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的.13.； 解析：函数的图象与函数的图象关于直线对称，则与函数互为反函数，.考点透析：对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视.14.； 解析：.考点透析：考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题.15.5，+)； 解析：反函数的定义即为原函数的值域，由x3得x-12，所以，所以y5，反函数的定义域为5，+)，填5，+).考点透析：根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题.16.； 解析：(舍去)，.考点透析：求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件.17.1； 解析：，设，此时是减函数，则最大值是，又是偶函数，则，.考点透析：根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值.研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养.18.3； 解析：由于=1，而=3=3考点透析：根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化.19.； 解析：将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1所对应的解析式为；要此基础上，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为.考点透析：根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合“左加右减，上减下加”的规律加以应用.20.、； 解析：在中，函数(且)与函数(且)的定义域都是R，则结论正确；在中，函数的值域为R，的值域为，则结论错误；在中，函数与都是奇函数，则结论正确；在中，函数在上是增函数，在R上是增函数，则结论错误.考点透析：综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容.21.D、C、B、A； 解析：结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A.考点透析：结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题.22.思路点拨：考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x0，y0，x2y0这些条件成立.假如x=y，则有x2y=x0，这与对数的定义不符，从而导致多解.解析：因为lgx+lgy=2lg(x2y)，所以xy=(x2y)2，即x25xy+4y2=0，所以(xy)(x4y)=0，解得x=y或x=4y，又因为x0，y0，x2y0，所以x=y不符合条件，应舍去，所以=4，即=4.考点透析：在对数式logaN中，必须满足a0，a1且N0这几个条件.在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解.23.思路点拨：可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换，将求方程的解的个数转化为两个函数与的图象交点个数去理解.解析：函数的图象可由指数函数的图象先向下平移一个单位，然后再作轴下方的部分关于轴对称图形，如下图所示，函数的图象是与轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当时，两函数图象没有公共点，所以方程无解；