纪博元用函数观点看方程(组)与不等式.doc

用函数观点看方程（组）与不等式教学过程知识点1 一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以化为axb0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上，这相当于已知直线yaxb，确定它与x轴交点的横坐标的值。【例1】利用函数图像解出x（1）3x2x4；（2）5x37x1；分析：先将方程化为axb0的形式，再在坐标系中画出函数yaxb的图像，然后观察出直线yaxb与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值。图1【解答】（1）由3x2x4得2x60由图1看出直线y2x6与x轴的交点（3，0）所以x3（2）由5x37x1，得2x40由图2看出直线y2x4与x轴的交点为（2，0）所以x2图2【解后感悟】利用函数图像解一元一次方程，一般需将方程变形为axb0的形式，然后通过观察直线yaxb与x轴的交点坐标确定方程的解。【例2】如图3将一个边长为1的正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个在按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：操作的次数12345正方形个数47101316当所操作的次数为多少时，得到的正方形的个数为25个？图3【解析】可设未知数列方程解答。【解答】解法1：设经过x次的操作后能得到的正方形的个数为25个，则依题意：3x125解得x8解法2：设经过x次操作后，能得到y个正方形，依题意得：y3x1令y25，则有3x125，即3x240.由图4可看出直线y3x24与x轴的交点为（8，0），得x8.图4【方法探究】虽然像这样用一次函数图像来解方程未必简单，但是从函数的角度看问题能发现一次函数与一元一次方程的联系，这种用函数的观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。知识点2 一次函数与一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以转化为axb0或axb0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。【例3】画出函数y2x1的图像，利用图像求：（1）方程2x10的根；（2）不等式2x10的解集；（3）当y3时，求x的取值范围；（4）当33时，求x的取值范围；【分析】此题必须先画出图像，再根据图像求解，通过解方程或不等式也能得到准确答案，但不符合题意要求，本题主要考察观察函数图像的能力。【解答】函数y2x1是一次函数，取两点x0y10连结A（0，1）、B（，0）两点，如图5，直线AB就是函数y2x1的图像。图5（1）直线AB与x轴的交点是B（，0）从图像可以看出当x时，y0即2x10.就是方程2x10的解。（2）从图像上可以看到，射线BA在x轴的上方，它上面的点的纵坐标都不小于零，即y2x10.射线BA上点的横坐标满足x，不等式2x10的解集是.（3）过点（0，3）引平行于x轴的直线CC，交直线AB于C，C的坐标为（1，3），直线CC上点的纵坐标y均等于3，直线下方的点的纵坐标y均小于3，射线CD上点的横坐标满足x1.y时，x的取值范围为x.（4）过（0，3）点作平行于x轴的直线，交直线AB于D（2，3）.从图像中可见，线段DC上的点的纵坐标满足，而横坐标满足。【解后感悟】本例（3）（4）也可以将y2x1代入中求相应的x的值与取值范围，这个事实说明：当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式。知识点3 一次函数与二元一次方程（组）一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。【例4】利用函数图像解方程组.【分析】由于二元一次方程的解可以看作是y关于x的一次函数图像上的点的坐标，所以方程组的解为两个一次函数图像的交点坐标，从而可通过画出两个一次函数图像，从图像上观察出交点坐标，得到方程组的解。【解答】由x2y3得；由2xy1得.在同一直角坐标系内作出一次函数的图像和y2x1的图像，如图所示：观察图像的交点为P（1，1）.所以方程组的解是。【方法技巧】准确地将方程整理为函数解析式是基础；用两点确定直线的方法画一次函数图像，方程组的解直观地体现在图像上是关键。【同类变式一】如图所示，直线在直角坐标系内的交点坐标为（0，2）。试问（0，2）的横、纵坐标可看作是怎样的方程组的解中x、y的值？【分析】用待定系数法求出直线的函数解析式，即可知道是怎样的方程组。【解答】如图所示经过点（0，2）和（2，0），经过点（0，2）和（3，0），从而由一次函数解析式的求解方法得的解析式为yx2，的解析式为所以（0，2）的横、纵坐标可看作方程组的解中x、y的值。【同类变式二】设一次函数yx1与的交点为P，它们与x轴的交点分别为B、A.试求ABC的面积。【分析】由于方程组的解与一次函数交点的坐标只是形式上不同，本质上是一样的，故可以由二元一次方程组的解来确定两个一次函数交点坐标，再结合三角形的性质可求出ABC的面积。【解答】P点的坐标为方程组的解，解得如图所示，一次函数与x轴交于A（4，0），直线yx1与x轴交于B（1，0）。所以AB4（1）5，过P点作PCAB于C，PC5.所以【例5】某中学的校长准备在暑假带领该校的一些“市级三好学生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”。乙旅行社说：“包括校长在内，全体人员均按全票的6折优惠”。若苏州到北京的全票单价为1000元。（1）设学生人数x人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元，分别写出两家旅行社的收费表达式；（2）就学生人数x，讨论哪家旅行社更优惠？【分析】先求出与的表达式，在分别令，三种情况讨论甲、乙两旅行社哪家